Основные понятия стереометрии. Аксиомы - 10 кл.
advertisement
Основные понятия стереометрии h S1 S2 S3 Геометрия 10 класс Р.О. Калошина, ГБОУ лицей №533 План урока Введение Пространственные фигуры Многогранники Аксиоматический метод Аксиомы стереометрии Диктант Планиметрия – геометрия на плоскости. Теперь мы будем изучать геометрию в пространстве — стереометрию (греческое слово «стереос» означает пространственный, а «метрео» — измеряю). Стереометрия –часть геометрии, изучающая пространственные фигуры и их свойства. Пространственные фигуры Пространственной фигурой (или фигурой в пространстве) будем называть произвольное множество точек, расположенное в пространстве. В частности, все фигуры, расположенные в какой-либо плоскости, в том числе и сама эта плоскость (плоские фигуры) — также являются пространственными фигурами. Т.О. свойства плоских фигур, известные из курса планиметрии имеют место и в стереометрии (теоремы о равенстве и подобии треугольников, свойство углов с соответственно параллельными сторонами и т.д.). Однако в стереометрии важнейшими являются пространственные фигуры, не лежащие целиком ни в одной плоскости — неплоские фигуры К ним относятся: куб, прямоугольный параллелепипед (все его грани — прямоугольники), шар, пирамида, призма, цилиндр, конус Многогранники Многогранником будем называть тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Куб, параллелепипед, призма и пирамида являются многогранниками Каждый из многоугольников называется гранью многогранника. Стороны граней называются ребрами многогранника. Вершинами многогранника называются вершины его граней. Отрезок, соединяющий вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Пирамида – это многогранник, одна из граней которого — плоский многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. Треугольные грани называются боковыми гранями пирамиды, общая вершина боковых граней — вершиной пирамиды, многоугольник — основанием пирамиды, отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольную пирамиду чаще называют тетраэдром. Тетраэдр, все грани которого — правильные треугольники, называется правильным. Аксиоматический метод: 1. Перечисляются основные неопределяемые понятия. 2. Формулируются аксиомы, описывающие свойства основных понятий. 3. С помощью основных понятий даются определения более сложных понятий. 4. На основе введенных понятий (как основных, так и прочих) и аксиом доказываются теоремы. 1. Перечисляются основные неопределяемые понятия Основные понятия планиметрии: точка, прямая, расстояние. Эти понятия, являясь идеальными геометрическими объектами, возникли вследствие отвлечения от всего несущественного и случайного в реальных физических объектах окружающего нас мира и их отношениях. Например, точка является идеализацией свойств таких реальных объектов как песчинка, острие иглы, . . . , а прямая — луча света, натянутой нити и т.д. В стереометрии имеется четыре основных понятия: точка, прямая, расстояние, плоскость. 2. Формулируются аксиомы Аксиомы – утверждения, принимаемые без доказательства, отражают тем не менее реальные свойства объектов окружающего мира, послуживших «прообразами» основных понятий геометрии. Так, например, аксиома планиметрии: «Через любые две точки можно провести единственную прямую» отражает наглядное свойство: сколько бы раз мы ни направляли луч света из одной фиксированной точки в другую, он будет описывать одну и ту же прямолинейную траекторию. 3. Даются определения более сложных понятий Так, используя основные геометрические понятия точки и расстояния, определена окружность как множество точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние (радиус) от фиксированной точки (центра). Подобным же образом определялись отрезок, треугольник и другие понятия. 4. На основе введенных понятий и аксиом доказываются теоремы Все теоремы геометрии, как и других разделов математики, доказываются с помощью строгих логических рассуждений (признаки равенства треугольников, теоремы Пифагора и Фалеса и т.д.) Заметим, что для любой плоскости пространства справедливы все основные определения, выводы и аксиомы планиметрии!!! Аксиомы стереометрии Аксиома 1 (аксиома плоскости): В пространстве существуют различные плоскости. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Из этой аксиомы вытекает, что пространство состоит из бесконечного множества точек (так как множество точек плоскости бесконечно), не совпадающего ни с какой плоскостью, и значит, для любой плоскости найдутся точки, не принадлежащие ей. Обозначения: Точки в пространстве будем обозначать заглавными латинскими буквами А, В, С, . . . Прямые – малыми латинскими буквами — а, b, с, l, m, n, . . . Плоскости будем обозначать малыми греческими буквами α, β, γ . . . Изображать плоскости — одним из способов, указанных на рисунке Аксиома 2 (аксиома прямой и плоскости ): Если две различные α точки прямой принадлежат плоскости, ∙A то и все точки прямой принадлежат этой плоскости. ∙B l Таким образом, прямая, не принадлежащая целиком данной плоскости, может иметь с ней не более одной общей точки. В случае, когда прямая и плоскость имеют только одну общую точку, говорят, что они пересекаются (или что прямая пересекает плоскость). Обозначение: l∩α=А Определение ∙A l α Если все точки прямой l принадлежат плоскости α, то говорят, что прямая l лежит в плоскости α и обозначают: l α. •Аналогично используются обозначения: А l (точка А принадлежит прямой l ), Аα (точка А принадлежит плоскости α). •Плоскость, проходящую через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, будем обозначать АВС. Аксиома З (аксиома пересечения плоскостей): Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение — общая прямая. Таким образом, пересечение, т.е. общая часть двух различных плоскостей может быть только прямой Обозначение: α∩β=l В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой (или просто пересекаются). Такие плоскости называют пересекающимися. Замечание Аксиома 3 используется при нахождении сечений различных пространственных фигур плоскостями. При этом сечением пространственной фигуры данной плоскостью, имеющей с ней по крайней мере одну общую точку, называется фигура, состоящая из всех их общих точек. Так, сечением пирамиды АВСD плоскостью α, проходящей через точки М, N и К соответственно ребер АD, ВD и СD, является ∆МNК. Свойства прямой в пространстве ∙A ∙B (AB) 1. Через любые две различные точки пространства проходит единственная прямая. Прямую в пространстве, проходящую через две различные точки А и В будем обозначать (АВ). То же будет обозначать выражение «прямая АВ». Отрезок с концами в точках А и В будем, как и ранее, обозначать АВ. l∩m=F Две различные прямые в пространстве могут иметь только одну общую точку. В этом случае прямые называются пересекающимися l m ● F 2. Прямая и плоскость могут пересекаться, т.е. иметь только одну общую точку. Доказательство В силу аксиомы 1 существует некоторая плоскость α и точка В вне ее. Выбрав на плоскости α произвольную точку А, проведем через точки А и В прямую АВ. Предположим, что прямая АВ имеет с плоскостью α еще одну общую точку, отличную от точки А. Но в силу аксиомы 2 получим, что все точки прямой α, т.е. и В α, что противоречит выбору точки В. Итак, наше предположение неверно, т.е. (АВ) ∩ α = А. α Следствие 1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость. ∙A α l Доказательство Пусть даны прямая l и точка А l. Возьмем на этой прямой две произвольные точки В и С. Точки А, В и С не лежат на одной прямой, так как через точки В и С проходит единственная прямая — прямая l, которая по условию не содержит А. По аксиоме 1 через точки А, В и С проходит некоторая однозначно определенная плоскость α. Точка В α и С α. Т.о. в силу аксиомы 2 l α. Итак: l α и А α, т.е. плоскость α — искомая. Докажем единственность этой плоскости. Любая плоскость, проходящая через l и А, будет проходить через три не лежащие на одной прямой точки А, В и С, а значит и совпадать, по аксиоме 1, с плоскостью α. Следствие 2 Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Доказательство Пусть даны прямые а ∩ b = С . Выберем на этих прямых соответственно точки А и В, не совпадающие с точкой С. Прямая а — единственная прямая, проходящая через точки А и С. Так как Вb и a∩b=С, то точки А,В и С не лежат на одной прямой. По аксиоме 1 существует единственная плоскость, проходящая через эти три точки. По аксиоме 2 плоскость α содержит прямые а и b, т.е. плоскость α — искомая. Любая плоскость β, проходящая через прямые а и b будет проходить и через не лежащие на одной прямой точки А, В и С. По аксиоме 1 это означает, что α = β. Т.о. плоскость α единственна. Плоскости, проходящие через данную прямую Через данную прямую пространства проходит бесконечное множество плоскостей. Доказать самостоятельно! l Характеристическое свойство прямой, плоскости и пространства если фигура в пространстве, отличная от точки, обладает тем свойством, что прямая, соединяющая любые две точки этой фигуры, целиком принадлежит ей, то данная фигура является - или прямой, - или плоскостью, - или совпадает со всем пространством. Аксиома 4 (аксиома расстояния): Для любых двух точек А и В и пространства однозначно определено некоторое неотрицательное число |АВ|, называемое расстоянием между ними и обладающее следующими свойствами: |АВ| = |ВА| |АВ| = 0 тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают; |АС| ≤ |АВ| + |BС|, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда точка В принадлежит отрезку АС. Обозначение: |АВ| — расстояние между точками А и В; АВ – длина отрезка АВ. Каждая из прямых на плоскости разбивает ее на две полуплоскости, обладающие такими свойствами: полуплоскость, определяемая данной прямой l, содержит ее, но не совпадает с ней; если концы отрезка лежат в полуплоскости, но не принадлежат прямой l, то и весь отрезок не имеет общих точек с этой прямой; если же один из концов отрезка принадлежит полуплоскости, а второй — нет, то отрезок имеет с прямой l одну общую точку. Определение Полупространством, определяемым плоскостью α, называется пространственная фигура, обладающая следующими свойствами: 1. она содержит плоскость α, не совпадая с ней; 2. если концы отрезка лежат в полупространстве, но не принадлежат плоскости α, то и весь отрезок не имеет общих точек с плоскостью α; 3. если же один из концов отрезка принадлежит полупространству, а второй — нет, то отрезок имеет с плоскостью α одну общую точку. α α Аксиома 5 (аксиома о разбиении пространства плоскостью): Любая плоскость разбивает пространство на 2 полупространства. Замечание: в дальнейшем аксиомы 4 и 5 будем, использовать неявно, т.е. не ссылаясь на них в отличие от первых трех аксиом УПРАЖНЕНИЯ для ума… 1 вариант 1.Приведите примеры пространственных фигур, плоских фигур, неплоских фигур. Какое минимальное число точек может содержать неплоская фигура? 2 вариант 1.Перечислите основные понятия стереометрии. Попытайтесь дать определение шара, укажите основные понятия, используемые в этом определении. УПРАЖНЕНИЯ для ума… 1 вариант 2.Верно ли, что через три попарно пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость? 2 вариант 2.Верно ли, что можно провести плоскость через любые: а) две точки, б) три точки, в) четыре точки? УПРАЖНЕНИЯ для ума… 1 вариант 3.Укажите различные способы задания плоскостей. Верно ли, что через любые два отрезка, имеющих по крайней мере одну общую точку, проходит единственная плоскость? 2 вариант 3.Дайте определение полупространства. Почему все пространство не может быть полупространством, определяемым некоторой плоскостью α ? УПРАЖНЕНИЯ для ума… 1 вариант 4.Совпадает ли плоскость, в которой лежит трапеция с плоскостью, проходящей через: а) середины ее боковых сторон? 2 вариант 4.Совпадает ли плоскость, в которой лежит трапеция с плоскостью, проходящей через: а) середины всех сторон трапеции? УПРАЖНЕНИЯ для ума… 1 вариант 2 вариант 5.Могут ли три 5.Могут ли три различные плоскости различные плоскости пересекаться только: пересекаться только: а) в одной точке; а) в двух точках; б) по двум б) по двум пересекающимся пересекающимся прямым? прямым?
