ГИА - на отлично! Сборник задач по геометрии

МОБУ «Медведевская средняя общеобразовательная
школа №3 им. 50-летия Медведевского района»
ГИА - на отлично!
Сборник задач по геометрии
Составители: Громова Ольга, 10 класс
Домрачев Николай, 10 класс
Насырова Анастасия, 9 класс
Рокина Елена, 9 класс
Сафина Гузель, 8 класс
Руководитель проекта: Анашина О.А.
п. Медведево, 2012 год
Цель:
Составить сборник задач по геометрии
для подготовки девятиклассников к ГИА.
Задачи:
Систематизировать, расширить и углубить
свои знания по геометрии
Оказать практическую помощь в решении
геометрических задач
Аннотация
При итоговом повторении планиметрии
возникает необходимость в решении задач по
всему курсу. В учебнике «Геометрия 7-9», автор
А.В.Погорелов, такой главы как «Задачи для
повторения» нет. Поэтому возникла идея
составить самим такой сборник задач.
Аннотация
Данный сборник предназначен для
выпускников девятых классов, желающих
успешно сдать ГИА по математике. Он
представляет из себя своего рода копилку задач с
решениями по ключевым темам геометрии.
Кроме того, решение каждой задачи
предполагает повторение не одной, а нескольких
тем курса.
Аннотация
Каждой теме предшествует справочник
основных формул и теорем.
Все решения снабжены красочными чертежами с
необходимыми надписями.
Все задачи сборника соответствует среднему и
высокому уровню трудности.
Содержание:
1. Прямоугольный треугольник
•
•
Справочник ………………………..…8-13
Задачи с решениями……………....…14-27
2. Трапеция
•
•
Справочник ……………………….……29
Задачи с решениями…………………30-45
3. Окружность
•
•
Справочник …………………………47-48
Задачи с решениями…………………49-93
Прямоугольный
треугольник
Прямоугольный треугольник
(справочный материал)
a
__
cos α = c
b
__
sin α = a
a
c
c
tg α = __
b
2
2
a = c + b
α
2
b
Прямоугольный треугольник
(справочный материал)
a
b
h
ac
bc
c
ac : h = h : bc
a c b__c
__
=
h h
h 2 = ac . bc
h = ac . bc
Высота есть средняя
пропорциональная величина между
проекциями катетов на гипотенузу.
Прямоугольный треугольник
(справочный материал)
a
b
h
ac
bc
c
с : a = a : ac
с a__
__
= ac
a
a 2 = a . ac
a = ac . c
Катет есть средняя
пропорциональная величина между
гипотенузой и проекцией этого катета
на гипотенузу.
Прямоугольный треугольник
(справочный материал)
a
c
b
1
__
S=
ab
2
Прямоугольный треугольник
(справочный материал)
R
R
.O
R
Центром окружности, описанной
около прямоугольного треугольника, является середина
гипотенузы.
Прямоугольный треугольник
(справочный материал)
1
__
c =
a
2
a
c
30*
b
Прямоугольный треугольник
Задача №1
Из одной точки проведены к данной прямой 2
наклонные длинной 10 м и 17 м. Проекции
наклонных относятся как 2:5. Найдите длину
перпендикуляра.
Прямоугольный треугольник
Решение к задаче №1
B
Найти: BD
1.
ABD: BD 2  17 2  (5 x) 2
CBD: BD 2  10 2  (2 x) 2
h
289  25 x 2  100  4 x 2
x3
5x
2x
A
D
C 2. BD 2  100  36  64
BD  8
Ответ: ВD=8
Прямоугольный треугольник
Задача №2
Гипотенуза прямоугольного треугольника 10м, а
высота, опущенная из вершины прямого угла на
гипотенузу 4м. Найдите отрезки, на которые
основания высоты делит гипотенузу.
Прямоугольный треугольник
Решение к задаче №2
1.
х 2  10 х  16  0
х1  2
h=4
x
х2  8
10 - x
c = 10
x : 4  4 : (10  х)  16  10 х  х 2
2.
10  х  2
или
10  х  8
Ответ: 2 и 8
Прямоугольный треугольник
Задача №3
В треугольнике ABC угол A=90, катет AB=20, высота
AD=12. Найдите катет AC и cosC.
B
Прямоугольный треугольник
Решение к задаче №3
16
16 + x
20
D
2. 16 : 20  20 : (16  х)
16 х  144
х9
x
A
1. BD 2  20 2  12 2
BD  16
3. ВС = 16+ х = 25
C
4. АС 2  625  400
АС  15
9 3
5. cos C  
15 5
Прямоугольный треугольник
Задача №4
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5,
а сумма катетов 7. Найдите катеты.
Прямоугольный треугольник
В
Решение к задаче №4
Найти: AB и AC
1. 25  x 2  (7  x) 2
x 2  7 x  12  0
x1  3
5
7-х
x2  4
2.
А
х
С
AB  7  x  4
или
АВ  7  х  3
Ответ: 3 и 4
Прямоугольный треугольник
Задача №5
Один из катетов больше другого на 3, отношение
гипотенузы к большему катету 5:4. Найдите
стороны треугольника.
Прямоугольный треугольник
Решение к задаче №5
Найти: AB, BC, AC
1.
B
5
y

4
x3
5 x  15
y 
4
 5 x  15 
2
2

  (3  x )  x
4


7 x 2  54 x  81  0
x1  9
2
2.
y
A
C
9
 посторон.
7
15  45
y 
 15
4
x  3  12
x2  
3.
4.
Ответ:АВ=9, ВС=12, АС=15.
Прямоугольный треугольник
Задача №6
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна
13, один из катетов равен 12. Найдите площадь
треугольника.
Прямоугольный треугольник
Решение к задаче №6
с=13
а=12
S=?
b
Найти: S
1
1. S  ab
2
1
S  12b
2
2. b 2  132  12 2
b5
1
3. S  60  30
2
Ответ: S=30
Окружность
Задача №7
Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8 см.
Найти расстояние от середины гипотенузы до
большей средней линии.
Прямоугольный треугольник
Решение к задаче №7
Найти : КО
Решение :
1)ABC  прямоуголь ный
A
6
AB 2  AC 2  BC 2
AB  10
2) PK , KF , PF  средние линии АВС
К
Р
3)PKF : K  900 ; PF  5; PK  4; PO  x
PF : PK  PK : PO
О
C
F
8
B
PK 2  PF  PO
16
PO 
5
4)PKO : O  900
По теореме Пифагора : KO 2  PK 2  PO 2
KO  2,4
Ответ : КО  2,4
Трапеция
Трапеция
(справочный материал)
B
C
A
A  D
B  C
D
a
m
h
b
bb
b
ab
m
2
ab
S
h
2
Трапеция
Задача №1
Основание трапеции 4 и 18, боковые
стороны 13 и 15. Найти высоту
трапеции.
bb
b
Трапеция
Решение к задаче №1
B
4
C
13
ВС  В1С1  4
АВ1  С1D  18  4  14
15
A
C1D  x
AB1  14  x
D
B1
18
ABB1 :
C1
АВ 2  ВВ1  AB1
2
2
ВВ1  13 2  14  x 
2
bb
b
2
Трапеция
Решение к задаче №1
B
4
C
13
DCC1 :
CC1  CD 2  C1 D 2
2
15
CC1  15 2  x 2
т.к BB1  CC1
2
A
D
B1
18
C1
13 2  14  x   15 2  x 2
2
х 9
CC1  15 2  9 2
2
CC1  12
Ответ: CC1  12
Трапеция
Задача №2
В равнобокой трапеции площадью 27см2
боковая сторона равна меньшему
основанию. Найти высоту трапеции, если
она делит основание в отношении 4:9
bb
b
Трапеция
Решение к задаче №2
D
5x
C
Найти: DE
3х
A
B
4x E
K
9х
1) Пусть DC  5 x;
AE  4 x; BE  9 x; AB  13 x.
т.к. AD  DC  AD  5 x
ADE :
DE  5 x   4 x 
2
2
DE  9 x
DE  3x
2
bb
b
2
2
Трапеция
Решение к задаче №2
D
5x
C
DC  AB
2) S 
 DE
2
2 S  DC  AB   DE
3х
A
B
4x E
K
9х
2  27  5 x  13 x   3 x
x 1
3) DE  3x  3 1  3
Ответ : DE  3
bb
b
Трапеция
Задача №3
Найти площадь прямоугольной трапеции, боковые
стороны которой 12 и 13, основания относятся
как 4:9.
bb
b
Трапеция
Решение к задаче №3
B
4х
Найти: S
C
1.
12
4х
A
т.к. BC  AK  4 x  KD  5 x
13
12
5х
9х
K
Пусть BC  4 x; AD  9 x
D
2
2
2
13

)
x
5
(

12
:
KCD

2.
х 1
4x  9x
12
3. S 
2
S  78
Ответ: S=78
Трапеция
Задача №4
Найти площадь равнобокой трапеции, основания
которой 15 и 33, а диагонали – биссектрисы
острых углов.
Трапеция
Решение к задаче №4
Найти: S
B
15
33  15
AK  DF 
9
2
2. CFD : h 2  152  9 2
C
1.
h
A
K
33
F
h  12
D
15  33
12  288
3. S 
2
Ответ: S=288
Трапеция
Задача №5
В равнобокой трапеции угол при основании 45 ,
боковые стороны 9 2 , а диагональ15. Найти периметр
и площадь трапеции.
Трапеция
Решение к задаче №5
B
Найти: S, P
C
ABK :
15
9 2
9 2
BK  9
BKD : KD 2  15 2  9 2
45
A
BK
 sin 45
9 2
KD  12
K
F
Ответ
P  24  18 2
S  108
D ABK : AK 2  (9 2 ) 2  9 2
AK  9
AD  AK  KD  9  12  21
BC  21  2  9  3
P  3  21  2  9 2  24  18 2
3  21
S 
 9  108
2
Трапеция
Задача №6
В равнобедренную трапецию, один из углов
которой равен 30˚, а S=72, вписали окружность.
Найдите радиус окружности.
Трапеция
Решение к задаче №6
B
c
a
h
C
R
c
30˚
A
F
b
D
Трапеция
Задача №7
Боковые стороны равнобокой трапеции, описанной около
окружности, равны 5 см. Найти среднюю линию
трапеции.
Трапеция
Решение к задаче №7
B
c
A
a
М
C
Найти : MN
Решение :
N
b
c=5
D
1) т.к. окружность вписанна в трапецию,
a  b  2c  a  b  10
ab
2) т.к. MN  средняя линия, MN 

2
10
MN 
5
2
Ответ : MN  5
Окружность
Окружность
(справочный материал)
A
А  вписанный; О  центральный
O
B
C
1
А  О
2
A
А  90  опирается на диаметр
о
C
O
A
B
B
BA=CA
OB=OC-радиусы
N
O
C
D
OB  AN ; OC  AD
Окружность
(справочный материал)
Р
A
C
B
РА PB  PC  PT
O
Т
R
r
a
Для правильных треугольников :
a
R
180 o
2 sin
n
a
r
180o
2tg
n
Для неправильных треугольников :
abc
R
4S 
r
2S 
abc
Окружность
Задача №1
Внутри круга радиусом 13см дана точка М,
отстоящая от центра круга на 5см. Через точку
М проведена хорда АВ, равная 25см. Найдите
длину отрезков, на которые хорда АВ делится
точкой М.
Окружность
Решение к задаче №1
25-х
Окружность
Задача №2
Окружность с центром в точке О, касается
сторон угла В в точках А и С, радиус окружности
равен 7, ВО равно 25. Найдите хорду АС.
Окружность
Решение к задаче №2
Найти: АС
А
О
D
С
Решение :
1) АВ  ВС  сво  со касательных  ВО  биссектрисаВ
2)АВС  равнобедренный  ВD  медиана  AD  DC
0
3
)

АОВ
:

А

90
; AD  OB 
В
BO : AO  AO : DO
49
DO 
25
4)AOD :
по теореме Пифагора : AD 2  AO 2  OD 2
AD  6,72
5) AC  2 AD
AC  13,44
Ответ : АС  13,44
Окружность
Задача №3
Окружность с центром в точке О касается сторон угла В
в точках А и С, радиус окружности равен 6, ВО=2АО.
Найдите площадь треугольника АОС.
А
Окружность
Решение к задаче №3
Найти:S
О
К
С
В
Решение :
1)АОВ :
А  90 0  сво  во касательных, т.к.ВО  2 АО 
В  30 0  катет лежащий
против угла в 30 0  О  60 о
2)АОВ  равнобедренный, т.к. АВ  ВС  сво  во касательных,
ВО  биссектриса  ВО  высота 
АОС : ОК  высота, биссектриса  СОА  120 0
1
3) S  ab  sin 
2
S  0,5  6  6 sin 120 0  9 3
Ответ : S  9 3
Окружность
Задача №4
Окружность с центром в точке О касается сторон угла В
в точках А и С, лучи АО и ВС пересекаются в точке М,
ОМ=9, ВМ=18. Найдите площадь треугольника ВОМ.
Окружность
Решение к задаче №4
Найти : S
Решение :
 АОМ :
ВО - биссектриса - сво - во касательных
ОМ АО

=2
МВ АВ
пусть АО = x; AB = 2x
Δ АВМ :  А = 900
ВМ 2 = МА 2 + АВ 2
х = 5,4; ОС = АО = 5,4
1
S = OC  BM
2
S = 48,6
Ответ : S  48,9
Окружность
Задача №5
Окружность с центром в точке О касается угла В в
точках А и С, отрезок ВО пересекает окружность в
точке К, угол В=60(градусов), ВК=12.
Найдите периметр четырехугольника АКСО.
Окружность
Решение к задаче №5
Найти : Р
Решение :
А
ВО - биссектриса   АВО = 300   АОВ = 600
 АОВ :  А = 900 ;  В = 300 ;  О = 600
О
К
С
В
пусть AO  х; ОВ  12  х
АО  ОС = ОК  х
1
х  (12  х)
2
х = 12
 АОК : ОК = ОС;
О = 600   АОК - равносторонний и АК  АО  12
Аналогично КС = ОС  12
Р = 4х
Р = 48
Ответ : Р  48
Окружность
Задача №6
В прямоугольном треугольнике АВС на катетах
АВ и ВС как на диаметрах построили
окружности. Точка К принадлежит обеим
окружностям и гипотенузе АС. Найти
расстояние от точки К до центра описанной
около треугольника АВС окружности, если АВ=8,
ВС =6
Окружность
Решение к задаче №6
А
4
Р8
В
Найти : ОК
Решение :
F
O
К
С
1. АВС : АС  64  36  10  АО  ОС  5
АF AP
2. АОР ~ АВС - по двум углам 

AB AC
AB  AP
AF 
 3,2
AC
3. AF  FK , т. к. АРК  равнобедренный 
OF  AO  AF  1,8
4. OK  FK  FO  3,2  1,8  1,4
Ответ : ОК  1,4
Окружность
Задача №7
Стороны треугольника 13 и 14 см. служат
касательными к окружности, центр которой
лежит на третьей стороне этого треугольника,
равной 15 см. Определить радиус окружности.
Окружность
Решение к задаче №7
Найти : R
В
13
14
М
N
R
А
R
О
15
1
R 14
R  AB 
 7R
2
2
1
R 13
2) S BOC  R  BC 
 6,5 R
2
2
3) S ABC  p ( p  a )( p  b)( p  c) 
1) S ABO 
с
21  7  8  6  84
4) S ABC  S ABO  S BOC
7 R  6,5 R  84
R
56
9
Ответ : R 
56
9
Окружность
Задача №8
Даны две концентрические окружности. Две
взаимно перпендикулярные хорды большей
окружности касаются меньшей окружности и
делят друг друга на части 7 и 3 см. Найти радиус
меньшей окружности.
Окружность
Решение к задаче №8
С
К
В
Решение :
1) OF  OP  радиусы 
P
F
O
А
Найти : FО
D
OF  AB; OP  CD; AB  CD  по условию
 FKPO  квадрат
2) АОВ : AO  OB  радиусы большей окружности 
AOB  равнобедренный  OF  медиана 
AF  BF  5
3) FK  FB  KB  2
4) т.к.FKPO  квадрат , FO  FK  2
Ответ : FO  2
Окружность
Задача №9
Длина катета АС прямоугольного треугольника
АВС равна 8. Окружность с диаметром АС
пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найти
площадь треугольника АВС, если АМ:МВ=16:9.
Окружность
Решение к задаче №9
А
8
4
O8
AM 16

MB 9
Найти : S ABC
Решение :
М
1)АСМ  прямоуголь ный С  900 ,
т.к.М  900  опирается на диаметр
C
B
2)АСВ : С  900 , СМ  высота 
СМ 2  МВ  АМ  16 х  9 х
СМ  16 х  9 х  12 х
3)АСМ : М  900  АС 2  СМ 2  АМ 2
64  144 х 2  256 х 2
х  0,4
1
1
 АВ  СМ  (16  9) х 12 х  24
2
2
 24
4)АВС : S АВС 
Ответ : S ABC
Окружность
Задача №10
Две окружности радиусом 3 и 1 касаются
внешним образом. Найти расстояние от точки
касания окружностей до их общих касательных.
Окружность
Решение к задаче №10
B
K A
О1
О2
F
А1
К1
В1
B
M
O
1
K
N
F
A
O
2
Найти : FK , FK1
Решение :
1) BM  O2 A  KN  1  противолежащие стороны
прямоуголь ника  О1М  3  1  2
2)МО2О1 ~ NO2 F  по двум углам 
О1О2 MO1 4
2

; 
; NF  0,5
FО2
NF 1 NF
3) KF  KN  NF  1  0,5  1,5; KF  K1 F  1,5
Ответ : KF  1,5
Окружность
Задача №11
Длина одного из катетов прямоугольного
треугольника равна 12. Расстояние от центра
описанного около этого треугольника
окружности до этого катета равно 2,5. Найти
радиус вписанной в этот треугольник
окружности.
Окружность
Решение к задаче №11
А
Найти : r
Решение :
1) Центр описанной окружности находится
на середине гипотенузы  AO  OB  R
2) АМ = МС = 6 - теорема Фалеса 
О
М
r
С
В
т.к. MO  2,5 и МО - средняя линия АВС  СВ  5
3)АВС : АВ  13 - теорема Пифагора 
4)Р АВС  АВ  ВС  АС  13  5  12  30
5) r 
2SABC
PABC
Ответ : r  2
1
2  AC  BC
12  5
= 2

2
PABC
30
Окружность
Задача №12
Центры двух окружностей находятся на
расстоянии 80 . Радиусы окружностей равны 4
и 8. найти длину общей касательной.
Окружность
Решение к задаче №12
B
C
A
O
F
Найти : ВС
Решение :
1) ABCF - прямоуголь ник
AB = CF  4  AO = 4
2) OFA : А  900
по теореме Пифагора : AF  80  16  8
AF  BC  8
Ответ : ВС  8
Окружность
Задача №12
Окружность радиусом 2 внешне касается
окружности меньшего радиуса. К эти
окружностям проведена общая касательная.
Расстояние между точками касания равно 3.
Найти радиус меньшей окружности.
Окружность
Решение к задаче №12
А
М
F
В
О
Найти : BC
Решение :
1) Проведем ОМ  AF  FMO  прямоуголь ный
пусть BO  x; MF  2  x
по теореме Пифагора : FO 2  MF 2  MO 2
( x  2) 2  (2  x) 2  9
x  1,125
Ответ : BC  1,125
Окружность
Задача №13
К окружности проведена касательная АВ (В точка касания), прямая АМ проходит через
центр окружности и пересекает её в точках М и
N. Найдите квадрат расстояния от точки В до
прямой АN, если АМ=1, АВ= 3
Окружность
Решение к задаче №13
B
N
O
C
M A
Найти : BC 2
Решение :
1)AOB : B  90 0
пусть ОВ  ОМ  х  по теореме Пифагора
АО 2  ВО 2  АВ 2
(1  х) 2  х 2  3
х  1  ОВ  ОМ  1
2)ВОА :
ВО 2  ОС  АО
ВО 2
ОС 
; ОС  0,5
АО
3)ВОС : С  900  по теореме Пифагора
ВС 2  ВО 2  СО 2
ВС 2  1  0,25  0,75
Ответ : ВС 2  0,75
Окружность
Задача №14
Две параллельные хорды равны 14 и 40 см,
расстояние между ними 39см. Найдите радиус
окружности.
Окружность
Решение к задаче №14
М
M
А
В
Найти: ОА
R
R
D
О
N
C
R 2  49  576
R  25
Ответ : ОА  25
Окружность
Задача №15
В равнобокую трапецию вписана окружность,
верхнее основание равно радиусу окружности и
равно 2 см. Найдите нижнее основание.
Окружность
Решение к задаче №15
В
M
C
Найти : AD
Решение :
1) BM  MC  1
O
А
F
N
пусть AF  х; по свойству касательных ВМ  ВК  1;
АК  AN  x  1
D
2)BAF : F  900 , по теореме Пифагора :
АВ 2  ВF 2  AF 2
AB  AK  BK ;
( x  2) 2  ( x  1) 2  x 2
x3
AF  3  AN  4  AD  8
Ответ : AD  8
Окружность
Задача №16
В прямоугольной трапеции верхнее основание
равно 3, радиус вписанной окружности равен 2,
площадь трапеции равна 18. Найдите длины
остальных сторон трапеции.
Окружность
Решение к задаче №16
B
M
C
O
А
K
F
D
Найти : АВ, CD, AD
Решение :
1) АВ  МК  2 R  4
BC  AD
2) S ABCD 
 AB
2
3  AD
18 
 4  AD  6
2
3)т.к. окружность вписана в четырехугольник 
ВС  AD  AB  CD
3  6  4  CD
CD  5
Ответ : AB  4; CD  5; AD  6
Окружность
Задача №17
20
В треугольнике АВС С  90 ; sin A  .
29
Найти тангенс В
0
Окружность
Решение к задаче №17
Найти : tgB
Решение :
20
1) sin A  ,
29
CB
 CB  20 x; AB  29 x
sin A 
AB
2)по теореме Пифагора :
A
C
B
AB 2  AC 2  CB 2
AC  (29 x  20 x)( 29 x  20 x)  21x
AC 21x 21
 1,005


CB 20 x 20
Ответ : tgB  1,005
3)tgB 
Окружность
Задача №18
В АВС
С  300 ; АС  20.
Через точки А и В проведена окружность,
касающаяся стороны ВС и пересекающ ая АС вточке М .
Найти отношение АМ : МС , если расстояние от точки В до АС равно 5.
Окружность
Решение к задаче №18
Найти :
B
Решение :
1) BFC : BF  5, C  30 0  BC  10
2) по свойству секущейи касательной :
300
A
F M
АМ : МС
C
BC 2  MC  CA
пусть МС  х, АМ  20  х
100  20  х
х  5;
МС  5
3) АМ  20  5  15
4) АМ : МС  15 : 5
АМ : МС  3
Ответ : АМ : МС  3
Окружность
Задача №19
В окружности радиусом 17,5 проведены диаметр АВ,
хорда АC и ВС, перпендикуляр СD к диаметру АВ.
Найти сумму длин хорд АС и ВС, если АС :AD=5:3.
A
Окружность
Решение к задаче №19
Найти : АС  ВС
Решение :
1) АСD : пусть АС  5 х; AD  3 x; 
CD  4 x  по теореме Пифагора
O
2) АСВ : С  90 0 , т.к. опирается на диаметр;
C
D
B
CD  AB  по условию  AC 2  AB  AD
25 x
AB 
;
3
25 x
т.к. AB  2 R  35 
 35
3
21
x
5
21
3) AC  5 x  5   21
5
4) ACB : CB  AB 2  AC 2  352  212  28
5) AC  CB  21  28  49
Отет : АС  СВ  48
Окружность
Задача №20
Диаметр окружности АВ перпендикулярен хорде СD и
пересекает её в точке М.
Найти СD, если АМ=8, ВМ=16.
Окружность
Решение к задаче №20
В
Найти : CD
Решение :
O
1) ACB : C  900  опирается на диаметр;
СМ  АМ  ВМ  8 16  8 2  высота,
M
С
А
D
прведенная из вершины прямого угла
2) ACD  равнобедренный, т.к. диаметр,
перпенликулярный хорде,
делит эту хорду пополам  CD  2  8 2  16 2
Ответ : CD  16 2
Окружность
Задача №21
Около окружности радиуса 5 описана равнобедренная
трапеция. Площадь четырехугольника, вершинами
которого являются точки касания окружности и
трапеции, равна 40. Найти площадь трапеции.
Окружность
Решение к задаче №21
N
A
Найти : STNBP
B
F
K
C
O
D
T
M
Решение :
NB  TP
1) S 
 AM
2
2) S KACM  40  S ACM  20
пусть АС  х; МС  у
1
1
S ACM   xy; S ACM   S KACM  20
2
2
 x 2  y 2  100

 AC  2 5 ; MC  4 5
1
P 2  xy  20
3) AB  BC  отрезки касательных, прведенных
из одной точки; ОВ  биссектриса угла В
АВС  равнобедренный,
FO  биссектриса угла В 
FB  высота  AFB  900 ; FB  медиана 
AF  FC  5
Окружность
Решение к задаче №21
N
A
B
4) AOB  прямоуголь ный, т.к. ОА  АВ
OF  OA 2  AF 2  25  5  2 5
F
K
5) OAB :
C
O
6) OAB :
D
OA 2  OB  OF ; OB 
AB  OB 2  OA 2 
5 5
2
25  5
 25  2,5 
4
NB  5
7) Аналогично : СРМ  равнобедренный,
ОР  медиана  MD  DC  2 5
T
M
P
8) ODC : DO  OC 2  DC 2  25  4  5  5
9) COP : CD 2  OD  DP; DP  4 5
10) DCP : CP  DC 2  DP 2  20  16  5  10 
TP  20
NB  TB
5  20
11) STNBC 
 AM 
10  125
2
2
Ответ : STNBC  125
Литература
1. Бурмистрова Н.В., Сторостенкова Н.Г. Проверочные
работы с элементами тестирования. М.;Лицей,1998.
2. Балаян Э.Н. Репетитор по математике для
поступающих в вузы. Ростов н/Д: «Феникс». 2003.
3. Учебно-методическая газета «Математика».
Спасибо за
внимание!