Дополнительные метрические соотношения в треугольнике

Дополнительные
метрические соотношения в
треугольнике
ЛЕММА
(о свойстве углов при точке пересечения
биссектрис треугольника)
Если О – точка пересечения биссектрис треугольника
АВС, то имеют место соотношения:
A
(1)
(2)
O
(3)
B
C
Доказательство:
1) Докажем, к примеру, соотношение (1).
2) Т.к. О – центр вписанной в ∆ АВС окружности, то ВО и СО – биссектрисы углов В и С.
3) В треугольнике ВОС
A
O
4) Аналогично доказываются соотношения (2), (3). ■
B
C
Теорема 1
(о радиусе вписанной окружности)
Радиус окружности, вписанной в треугольник, связан с
его сторонами и углами следующими соотношениями:
Доказательство:
1) Пусть дан ∆ АВС с длинами сторон a, b, c и
противолежащими углами α, β, γ соответственно;
пусть r – радиус вписанной окружности с центром О.
А
2) Докажем, к примеру, что
c
β
B
O
r
a
b
3) Соединим точку О с вершинами
треугольника АВС, тогда ВО и СО –
биссектрисы соответствующих углов
треугольника, т.е. ∠OBC = , ∠OCB =
γ
C
4) В силу леммы
∠BОC = 90° +
.
Доказательство:
5) В ∆ ВОС по теореме синусов имеем:
, откуда
А
c
b
O
r
B
D
6)
Пусть D – точка касания вписанной
окружности со стороной BC, тогда OD⊥BC,
OD = r .
7) В прямоугольном
∆
BOD
откуда
a
C
8) Аналогично доказываются два
остальных соотношения. ■
,
Теорема 2
(о площади треугольника)
Площадь треугольника АВС со сторонами a, b, c и
радиусом описанной окружности R вычисляется по
формулам:
(1)
(2)
Доказательство:
А
b
c
B
1) Пусть дан ∆ АВС с длинами сторон a, b, c и радиусом
R описанной вокруг него окружности.
a
2) Докажем соотношения (1) и (2).
C
3) По теореме синусов
откуда
(3)
4) Кроме того,
, откуда
(4)
5) Т.к.
, то в силу (3) имеем
а в силу (3) и (4) имеем
■
Для треугольника АВС справедливы соотношения:
Задача 1.
В треугольнике АВС угол В равен 60°, радиус описанной
окружности равен 2. Найти радиус окружности,
проходящей через вершины А и С и центр вписанного в
треугольник АВС круга.
Задача 2.
Найти радиус окружности, вписанной в треугольник,
если два угла треугольника равны β и γ, а радиус
описанной окружности равен R.
Задача 3.
В треугольнике даны два угла α и β и радиус R
описанной окружности. Найти высоту, проведенную из
третьего угла треугольника.
Задача 4.
Доказать, что площадь прямоугольного треугольника с
острым углом 15° равна восьмой части квадрата
гипотенузы.