Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ
advertisement
Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я КЛАССИФИКАЦИЯ МРИП МРИП классифицируются по типу системы поляризующего поля и делятся на: -резистивные; -сверхпроводящие; -с аксиальной симметрией на постоянных магнитах; -планарные на постоянных магнитах. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Открытие явления ядерного магнитного резонанса привело к появлению довольно сложной аппаратуры и приборов, использующих этот эффект. Наиболее широкое применение ядерный магнитный резонанс получил в медицине, спектрометрии, измерительной технике. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Обычно магниторезонансная аппаратура содержит магнитную систему (МС), генерирующую основное и дополнительные магнитные поля, комплекс электронной аппаратуры и управляющий вычислительный комплекс. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я МС – наиболее сложный и дорогостоящий (свыше 50% от общей стоимости) узел магниторезонансной аппаратуры, во многом определяющий ее качество и конкурентоспособность. Поэтому к расчету и изготовлению МС предъявляются высокие требования. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Главной характеристикой МС является высокая (в относительных единицах 10-4 – 10-6) однородность одной из составляющих, чаще всего продольной, магнитного поля в рабочем объеме, достаточно большие величины рабочего объема и индукции магнитного поля. Выполнение этих условий наряду с сохранением умеренного веса и относительно небольшой потребляемой мощности является сложной задачей. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я РАБОЧИЙ ОБЪЕМ МРИП Рабочим объемом (РО) называется область пространства МРИП, в которой выполняются заданные требования по разрешающей способности и контрастности изображения. Следовательно, в РО должна выдерживаться заданная однородность поляризующего и РЧ полей, необходимая линейность градиентов. РО задается в виде диаметра сферы с центром в геометрическом центре всех систем МРИП. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ РАБОЧИЙ ОБЪЕМ Относительный РО (ОРО) – отношение линейного размера РО к линейному размеры зоны доступа, то есть к внутреннему диаметру МРИП с аксиальной симметрией или зазору планарной системы. Величину ОРО удобно выражать в процентах. Обычно ОРО составляет 40 – 50%. Естественно желание разработчиков увеличить этот объем. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я МЕТОДЫ СИНТЕЗА МАГНИТНЫХ СИСТЕМ ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД При использовании локального метода раскладывается в ряд функция индукции магнитного поля в окрестности одной, чаще всего центральной, точки системы. В зависимости от требований к соответствующей системе, ее параметры, то есть расположение и геометрия обмоток, соотношение числа витков в них и т.д., выбираются так, чтобы один или несколько членов ряда обращались в нуль. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Разработка системы локальным методом сводится к решению системы нелинейных уравнений вида Bi 0, i 1,2...k , где Bi – члены разложения функции индукции в ряд. Основным его недостатком является то, что условия синтеза формулируются локально лишь в одной точке системы. Чем дальше от этой точки, тем больше отклонение поля от желаемого. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД При использовании интегрального метода, параметры соответствующей системы подбираются так, чтобы отклонения индукции поля от желаемого значения в некоторых заданных точках объема были минимальными. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Синтез интегральным методом легко осуществить для простых систем, имеющих мало свободных параметров. При усложнении системы и увеличении числа параметров, задача сводится к решению системы уравнений. При большом числе параметров система уравнений становится плохо обусловленной, а ее решение будет неустойчивым. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Основным недостатком интегрального метода является невозможность получения первоначальной конфигурации системы. Поэтому задание правильной начальной конфигурации зависит в этом случае от опыта разработчика. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 3 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я ЛОКАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД Основные недостатки локального и интегрального методов устраняет локально-интегральный метод синтеза, позволяющий увеличить относительный рабочий объем систем. В этом методе используется комбинация локального и интегрального методов. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я ОСНОВНОЙ МАГНИТ Простейшей математической моделью источника магнитного поля, которая используется при расчете МС, является представление электрической катушки в виде бесконечно тонкого витка с током. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.1.1. К расчету магнитного поля витка с током Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Расположим виток с радиусом R и силой тока I на расстоянии z0 от начала цилиндрической системы координат r, z, φ, как это показано на рис.1.1.1. Тогда в произвольной точке пространства M(r, z) продольная составляющая вектора магнитной индукции определяется выражением 0 I Bz (r , z ) 2 2 R( R r cos ) d 0 ( R 2 r 2 z12 2R r cos )3/ 2 , (1.1.1) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я где 0 = 410-7 Гн/м – магнитная постоянная, z1 z 0 z – расстояние от плоскости витка до точки расчета. После интегрирования получим R 2 r 2 z12 0 I Bz ( r , z ) E (k ) K (k ), (1.1.2) 2 2 (R r)2 z 2 2 ( R r ) z1 1 где Е и К – полные эллиптические интегралы второго и первого рода с параметром k 4 Rr ( R r ) z 2 2 1 1/ 2 . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я При r=0, т.е. когда точка расчета находится на оси витка, выражение (1.1.2) принимает вид . (1.1.3) 0 IR 2 Bz (0, z ) 2( R 2 z12 ) 3 / 2 Иногда более удобна запись этого выражения в относительных величинах. Так, после подстановки , имеем 0 I . (1.1.4) B (0, ) z 2 R(1 2 ) 3 / 2 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Такая математическая модель удобна простотой используемых выражений. В этом случае электрические катушки реальных размеров рассчитывают как совокупность бесконечно тонких витков. Однако это приводит либо к существенному увеличению времени расчета, либо к неточностям при расчете магнитных полей. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Точные расчеты магнитных полей правильнее выполнять, представляя катушку МС в виде соленоида конечной длины, прямоугольного сечения с равномерным распределением тока по сечению. Произведем расчет продольной составляющей вектора магнитной индукции, создаваемого таким соленоидом. Пусть соленоид имеет внутренний радиус R, наружный R1 и длину . (рис.1.1.2). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Расположим центр декартовой системы координат в геометрическом центре соленоида и направим ось Z вдоль соленоида, а ось Y так, чтобы произвольная точка пространства M имела координаты M(x0, 0, z0). Рис. 1.1.2. Схема катушки с прямоугольным сечением Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Тогда, используя выражение (1.1.1) ДЛЯ ПРОДОЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ИНДУКЦИИ, можно записать J Bz 0 2 2 R 1 z 2 r (r x0 cos ) d dr dz R z (r 2 x02 z 2 2 r x0 cos )3/ 2 , 1 (1.1.5) где J – средняя плотность тока в сечении, z1 z 0 z c И z 2 z 0 z c – расстояния от точки расчета до концов соленоида. 0 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Обычно расчеты, связанные с повышением однородности магнитного поля, проводятся двумя методами. Интегральным, когда параметры МС подбираются так, чтобы индукция магнитного поля в нескольких точках заданной области имела одинаковые значения. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я И локальным методом, в котором используется разложение в ряд Тейлора функции индукции магнитного поля в окрестности одной, чаще всего центральной, точки МС, а повышение однородности достигается за счет выбора параметров МС таким образом, чтобы коэффициенты членов ряда второго и более высоких порядков равнялись нулю. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Практика показывает, что применение интегрального метода расчета МС незначительно улучшает неоднородность магнитного поля системы по сравнению с локальным методом. Поэтому, расчет будем вести локальным методом. Разложим функцию продольной составляющей индукции магнитного поля МС в ряд Тейлора. Этот ряд можно записать в виде Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Bz ( , ) 0 JR B0 ( , ) B2 ( , ) 2 ... Bn ( , ) n , (1.2.1) zc R1 1 , , относительные толщина и где z R R , длина соленоида R относительное положение точки наблюдения, 0 ( ) , ln 1 (1 ) 2 B0 n Bz Bn n! n 2 1/ 2 2 1/ 2 – коэффициент ряда Тейлора n-го 0 порядка, причем n Bz n Bz . n n Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 4 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Приведем выражения для нескольких первых коэффициентов B n c1 1 , c2 , c3 2 , c4 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 где 1 3/ 2 3/ 2 B2 c1 c3 , 2 1 2 3/ 2 2 3/ 2 B4 2 3 c 15 c c 2 3 c 15 c c , 2 2 1 4 4 3 3 24 1 2 2 2 c1 , c2 , c3 2 , c4 2 . 2 2 2 2 1 1 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 5 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я МС ВТОРОГО ПОРЯДКА Рассмотрим МС, состоящую из двух катушек прямоугольного сечения. Такую систему можно представить как разность двух соленоидов (рис. 1.3.1,а) с одинаковым внутренним радиусом R и геометрическим параметром : большого – длиной L2 2 R 2 , и малого – длиной L1 2 R1. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 5 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.3.1. Магнитная система четвертого порядка: а – схема МС из двух катушек; б – график функции B2 (, ) ; в – результат решения уравнения (1.3.3), представленный в графической форме Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 5 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я • При таких обозначениях можно записать выражение для n-го коэффициента ряда (1.2.1) для индукции магнитного поля системы, которое справедливо для всех его членов B2c (, 1 , 2 ) B2 (, 2 ) B2 (, 1 ) 0 , (1.3.2) • • где индекс n относится к номеру члена ряда, а индекс c обозначает суммарное значение коэффициента для МС. В дальнейшем такие выражения будем называть синтезирующими. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 5 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Значения , 1 и 2 могут быть получены из уравнения B2c ( , 1 , 2 ) B2 ( , 2 ) B2 ( , 1 ) 0, или B2 (, 1 ) B2 (, 2 ) (1.3.3) Найденные значения геометрических параметров 1должны 2 находиться по разные и при этом B2 (, ) стороны от экстремума функции , причем абсцисса экстремума для в диапазоне от 1 max до 3 апроксимируется выражением max 0.5 0.21( 1) 0.05( 1) 2 . (1.3.4) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Уравнение (1.3.3) содержит три независимых параметра и имеет множество решений, которые удобно изображать графически. На рис.1.3.1,в изображено семейство решений для заданного значения 1.3 при изменении параметра x в диапазоне от max 0.53 до 0 (по оси абсцисс). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я По оси ординат отложены значения параметров 1 и полученные в результате решения уравнения (1.3.3) значения параметра 2 . Из графика видно, что при уменьшении значения параметра 1 резко увеличиваются габариты МС. Проведя линию, параллельную оси абсцисс, можно получить значения геометрических параметров МС. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Так, при 1.3 и 1 0.3 , получим 2 0.939 . Значение необходимой плотности тока J для создания магнитного поля с индукцией Bz ном можно рассчитать по формуле J Bz ном / B0c . Если одновременно с решением уравнения (1.3.3) проследить за изменением значения коэффициента B4c, можно увидеть, что оно не принимает значения, равного нулю, ни при каких значениях параметров и . Это позволяет сделать вывод, что в МС, состоящих из двух катушек, может быть скомпенсирован только второй член ряда (1.2.1), а для компенсации последующих членов требуется усложнение МС. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я МС ШЕСТОГО ПОРЯДКА Рассмотрим более сложную МС, состоящую из двух пар катушек с одинаковым внутренним радиусом R (рис.1.4.1,а) и поставим задачей компенсацию членов ряда (1.2.1) второго и четвертого порядков одновременно. Вектор переменных такой МС имеет шесть независимых параметров – P 4(1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 4 ) . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.4.1. Схемы магнитных систем Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Синтезирующее выражение в этом случае будет иметь вид Bnc Bn (1 , 1 ) Bn (1 , 2 ) Bn ( 2 , 3 ) Bn ( 2 , 4 ), n=2,4,…(1.4.1) Положение катушек можно определить, воспользовавшись функцией B4 (), которая имеет два экстремума при 1.3, 1 0.325 и 2 1.350 (см. рис.1.3.1,б). Точные значения параметров МС можно получить, решив систему уравнений Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я B41 B4 (1 , 2 ) B4 (1 , 1 ) 0, (1.4.2) B42 B4 ( 2 , 4 ) B4 ( 2 , 3 ) 0, B 0. zc МС с параметрами, полученными при решении системы (1.4.2), назовем нормальной (рис.1.4.2). Габариты таких МС ( 4 ) резко увеличиваются при увеличении параметра 2 , а их уменьшение может быть достигнуто увеличением значений параметров 1 и 2 . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.4.2. Результат решения системы уравнений (1.4.2) в графической форме (для нормальной МС из четырех катушек) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Этот недостаток может быть исключен при синтезе так называемых компактных МС, параметры которых можно получить, перейдя к системе из двух уравнений B2c 0, B4 c 0 . (1.4.3) На рис.1.4.3 представлено семейство решений системы (1.4.3) при постоянных значениях 1 2 1.3 и изменении параметров 3 и 4 . В качестве искомых были параметры 1 и 2 . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.4.3. Компактирование МС Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Анализируя графики, можно сказать, что габариты компактных МС могут быть значительно уменьшены. Однако при этом уменьшается значение индукции , что приводит к необходимости увеличения диаметров катушек. Остановимся на решении для нормальных МС, где вектор параметров равен P4(1.30, 0.186, 0.474, 1.30, 1.015, 1.70), и проведем дальнейшее преобразование МС, рассмотрев решения системы уравнений (1.4.3) при уменьшении параметра 1 до 0. Семейство этих решений, а также совмещенный график функции , изображены на рис.1.4.4. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.4.4. Преобразование параметров МС из четырех катушек Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я • Интерес представляют два решения: первое – при P41(1.30, 0.096, 0.454, 1.30, 0.721, 1.70), где значение функции B6 c 0 и МС переходит в систему восьмого порядка, и второе – при P42(1.30, 0, 0.236, 1.30, 0.473, 1.70), когда внутренние катушки сливаются в одну. При этом МС превращается в систему из трех катушек и уменьшается число независимых параметров. • Для МС из трех катушек (см. рис.1.4.1,б) вектор параметров имеет пять независимых переменных, а n-й суммарный коэффициент принимает вид • (1.4.4) Bnc Bn (1 , 1 ) Bn ( 2 , 3 ) Bn ( 2 , 2 ) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Решая систему уравнений (1.4.3) с учетом (1.4.4), можно перейти к МС (рис.1.4.1,в), когда между катушками нет зазора. Такие МС известны как скомпенсированные соленоиды Монтгомери с внешним пазом. Для них вектор параметров Pcc (1 , 1 , 2 , 2 ) имеет только четыре независимых переменных, а n-й суммарный коэффициент синтезирующее уравнение принимает вид Bnc Bn ( 2 , 2 ) Bn ( 2 , 1 ) Bn (1 , 1 ) (1.4.5) Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 6 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Делая выводы, можно сказать, что МС шестого порядка могут иметь три конструктивных выполнения: состоять из четырех или из трех отдельных катушек или выполняться в виде скомпенсированного соленоида с внешним или внутренним пазом. Причем, чем больше независимых параметров имеет МС, тем более точно можно ее рассчитать и легче изготовить. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я МС ВОСЬМОГО ПОРЯДКА Для синтеза МС восьмого порядка необходимо найти такой вектор ее параметров, при котором будут скомпенсированы члены ряда (1.2.1) второго, четвертого и шестого порядка, т. е. должна быть решена система уравнений • (k = 2,4,6). (1.5.1) BKC 0 , • Кратко отметим, что повышение однородности магнитного поля скомпенсированных соленоидов может быть достигнуто выполнением на поверхности соленоида еще одного паза меньших размеров, как это предлагается в работе Д.Монтгомери. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я При этом возможна компенсация членов не только шестого, но и восьмого порядков. Однако это существенно усложняет технологию изготовления МС из-за необходимости высокой точности изготовления дополнительного паза. • Рассмотрим МС, состоящую из четырех катушек с вектором параметров P41(1.30, 0.096, 0.454, 1.30, 0.721, 1.70), полученным ранее. На рис.1.5.1 представлено семейство решений системы уравнений (1.5.1) при постоянном значении 1 и изменении 2 . Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.5.1. Область существования параметров МС восьмого порядка из четырех катушек Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я • Дальнейший анализ показывает, что функция B8C приближается к нулю только при значительном увеличении габаритов МС, что позволяет сделать вывод о практической невозможности изготовления МС десятого порядка из четырех катушек. • Перейдем к рассмотрению МС шестого порядка с вектором параметров P42(1.30, 0, 0.236, 1.30, 0.473, 1.70). Так как значение параметра 1 0 , т. е. катушек фактически три, вектор параметров такой системы можно записать в виде P3(1.30, 0.236, 1.30, 0.473, 1.70). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Преобразуем систему уравнений (1.4.3) с учетом синтезирующего уравнения (1.4.4) к виду B2c B2 (1 , 1 ) B2 ( 2 , 3 ) B2 ( 2 , 2 ) 0, (1.5.2) B4c B4 (1 , 1 ) B4 ( 2 , 3 ) B4 ( 2 , 2 ) 0. и поставим задачу найти такой вектор P3 параметров МС, при котором значение коэффициента будет равно нулю. Такой вектор имеет параметры P3(1.30, 0.52, 0.80, 1.10, 1.29). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.5.2. Область существования параметров МС восьмого порядка из трех катушек Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Теперь можно прейти к решению системы уравнений (1.5.1) и получить значения векторов параметров МС восьмого порядка из трех катушек. Начальное значение вектора P3 для таких МС может быть P3(1.01, 0.677, 1.60, 1.189, 1.222). Эти вектора при изменении параметра от 1.01 1до 1.55 представлены на рис. 1.5.2. Сравнивая МС восьмого порядка из трех и четырех катушек, можно сделать вывод, что МС из трех катушек являются предпочтительными, так как они более эффективны с энергетической точки зрения. Далее показано, что они могут быть преобразованы в МС десятого порядка. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я МС ДЕСЯТОГО ПОРЯДКА В предыдущем разделе было показано, что не существует такого вектора параметров P4, при котором МС из четырех катушек становятся системами десятого порядка. Усложним МС, введя еще две катушки, как это показано на рис. 1.6.1. Рис. 1.6.1. Схема магнитной системы из шести катушек Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Вектор параметров такой МС имеет девять независимых переменных , а синтезирующее уравнение принимает вид Bnc Bn (1 , 2 ) Bn (1 , 1 ) Bn ( 2 , 4 ) Bn ( 2 , 3 ) (1.6.1) Bn ( 3 , 6 ) Bn ( 3 , 5 ). Для определения значений вектора P6 воспользуемся ранее полученным вектором параметров P4, используя следующий способ: преобразуем вектор параметров P4 в вектор P6, 5 6 4 . Затем решим положив в начале 3 2 , систему уравнений (1.5.1) с учетом нового выражения (1.6.1) и продолжим решать систему уравнений (1.5.1) при постоянных значениях и изменении параметра от значения, равного , в сторону увеличения. При этом получим полные значения вектора параметров P6. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Таким образом, осуществлен переход от МС восьмого порядка из четырех катушек к МС из шести катушек. Выберем один из векторов P6, например P6(1.300, 0.096, 0.430, 1.300, 0.711, 1.484, 1.300, 1.700, 2.000), для дальнейших расчетов. Изменяя другие параметры МС, можно прейти к вектору параметров P6(1.300, 0.188, 0.226, 1.300, 0.686, 0.743, 1.300, 1.700, 1.863), при котором значение функции . Этот вектор параметров можно использовать в качестве исходного при синтезе МС десятого порядка из шести катушек. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Для компенсации членов ряда (1.2.1) второго, четвертого, шестого и восьмого порядков необходимо решить систему уравнений, которую можно кратко записать в виде (1.6.2) Bkc 0 , (k = 2,4,6,8). Эта система уравнений избыточна по числу независимых параметров и, поэтому, часть из них необходимо использовать как постоянные параметры. Используя предыдущее решение системы уравнений в качестве затравочного и незначительно изменяя один из независимых параметров, можно получить семейство решений системы уравнений (1.6.2). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.6.2. Область существования параметров МС десятого порядка из шести катушек Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я На рис.1.6.2 изображено семейство векторов параметров P6 для МС десятого порядка из шести катушек. Для дальнейшего сравнения выберем вектор P6(1.300, 0.176, 0.239, 1.300, 0.672, 0.769, 1.300, 1.700, 1.994), для которого при R = 1 и J = 1 значение функции . Перейдем к рассмотрению МС десятого порядка из трех катушек, для которых синтезирующее уравнение описывается выражением (1.4.4). Воспользуемся вектором параметров P3(1.060, 0.842, 1.300, 1.170, 1.458), который может быть получен при решении системы из трех уравнений (1.5.1). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Изменяя параметр 2 от 2 1.3 до 2 1.1 , можно получить значения двух векторов P3, при котором значение B8 – мало. Вектор P31(1.060, 2.121, 1.154, 2.445, 3.165) соответствует МС с большими габаритами и не представляет интереса. Вектор параметров P32(1.060, 1.29, 1.158, 1.136, 1.807) можно использовать в качестве исходного при решении системы из четырех уравнений (1.6.2). На рис. 1.6.3 представлено семейство векторов P3 для МС десятого порядка при изменении параметра α2 от α2=1.0 до α2=1.35. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.6.3. Область существования параметров МС десятого порядка из трех катушек Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 7 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Остановимся на МС с вектором P3 (1.055, 1.346, 1.158, 1.555, 1.993), которая при J=1 А/мм2 и R=1 м создает магнитное поле с индукцией 0.066Тл. Таким образом, получены два варианта МС десятого порядка, состоящих из трех и шести катушек. Сравнивая МС, которые имеют одинаковую длину и создают одинаковое магнитное поле, видно, что эффективность МС из трех катушек примерно на 40% больше. Несомненным преимуществом МС из трех катушек является сравнительная простота их конструкции. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я КАРТЫ ПОЛЕЙ МС В результате синтеза получены МС от четвертого до десятого порядков. Произведем их сравнение по областям с одинаковой неоднородностью создаваемого магнитного поля. Расчет магнитного поля производится по формуле (1.1.10) с учетом синтезирующего уравнения для каждой МС. Вследствие симметрии достаточно произвести расчет в одном из квадрантов системы координат. Поле внутри магнитной системы удобно изображать в виде изолиний относительной погрешности создаваемой индукции магнитного поля. Карты магнитного поля для различных типов МС приведены на рис.1.7.1. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Рис. 1.7.1. Карты полей магнитных систем Цифрами обозначены области: 1 – δ <10-1, 2 – δ <10-2, 3 – δ <10-3 4 – δ <10-4, 5 – δ <10-5, 6 – δ <10-6 Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я МС низких порядков имеют малые размеры области с требуемой для МРтомографии неоднородностью (менее 1·10-5), поэтому их использование возможно только при увеличении внутреннего диаметра МС. Как следствие этого, они имеют большую массу и потребляемую мощность. МС десятого порядка имеют рабочую область больше, чем у других элементов аппаратуры, поэтому дальнейшее повышение порядка МС экономически нецелесообразно. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я КОНСТРУКТИВНЫЙ РАСЧЕТ МС Наиболее приемлемой для МР-томографии является МС десятого порядка, состоящая из трех аксиально расположенных катушек. Приведем метод расчета такой МС в относительных единицах. Конструктивный расчет подобных МС имеет ряд особенностей. При расчете приходится учитывать площадь сечения провода, количество слоев в катушках, допустимую плотность тока, допуски на изготовление катушек, предусматривать коррекцию технологических погрешностей с помощью юстировочных устройств и корректирующих катушек, а также возможность охлаждения катушек. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Задача расчета – определение числа слоев и витков в каждой катушке, силы тока и потребляемой мощности, а также массы МС по заданным внутреннему радиусу катушек, допустимой плотности тока и индукции системы. Пусть МС состоит из трех аксиально расположенных катушек (см. рис.1.4.1.б) с одинаковым внутренним радиусом R и вектором параметров P3(α1, β1, α2, β2, β3). Центральная катушка длиной L1=2Rβ1 имеет внешний диаметр D1=2Rα1. Симметрично центральной катушке рассоложены две боковые катушки на расстояниях L3=2R(β3–β2), длиной L2=R(β3–β2) и с внешним диаметром D2=2Rα2. Центральная и боковые катушки имеют площади поперечного сечения S1=R2(α1–1)β1 и S2=R2(α2–1)(β3–β2) соответственно. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Пусть для намотки катушек выбран провод прямоугольного сечения с толщиной αпр, шириной bпр и площадью поперечного сечения Sпр(мм2). Для заданного числа слоев в центральной катушке N1 параметр α1, с учетом коэффициента заполнения по радиусу kR, определяется по формуле α1= N1αпрkR/R+1. Используя формулы (1.6.3), можно получить значения остальных параметров вектора P3. Число витков в слое (или спиралей для СН) в центральной катушке N2 и числа витков в слое N4 производится по формулам • N3=R(α1–1)/( αпрkR), N4=2R(β3–β2)/(bпрkz). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я На практике значения коэффициентов заполнения kR и kz находятся в диапазоне от 0.9 до 0.95. Общее число витков МС Nc=N1N2 +2N3N4. Пусть Bном – требуемая величина индукции магнитного поля (Тл). Действующее значение плотности тока определяется как отношение числа ампер-витков системы к суммарной площади сечения провода • J =I Nc(Sпр Nc)=I/Sпр (А/мм2). Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Обозначим Км=2R2 [(α1 –1)β1 + (α2 – 1)(β3–β2)]/(SпрNc10-6) – коэффициент заполнения по меди. Тогда сила тока I, необходимая для создания поля с индукцией Вном , определяется выражением • I=BномSпр/(μ0B0cRKM), (1.8.1) • где μ0=4π 10-7Гн/м – магнитная постоянная, B0c – значение коэффициента ряда Тейлора (1.2.1) для МС. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я Выбор конкретных значений параметров МС заключается в подборе такого четного значения числа слоев в центральной катушке N1, при котором после решения системы уравнений (1.6.2) значение действующей плотности тока J принимает значение меньше допустимого. На практике для сверхпроводящих МС с принудительным охлаждением в пределах 5…10 А/мм2, а для МС с воздушным охлаждением обычно менее 5 А/мм2. Подбирая толщину намоточного провода bпр, можно добиться, чтобы число слоев в боковых катушках N3 было также четным. Расчет и проектирование магнитных систем. Лекция 8 РАСЧЕТ СИСТЕМ ПОЛЯРИЗУЮЩЕГО ПОЛ Я • На следующем этапе необходимо произвести расчет длины провода • L1=πR(α1+1)/ N1N2 и L2=πR(α1+1)/ N3N4 , • его массы • Мпр=ρ Sпр (L1+2L2)10-6= ρSпрLпр10-6 • (ρ– удельная плотность , для меди ρ=8.93 Т/м2), • сопротивления обмоток Ω=λLпр/Sпр (λ – удельное сопротивление, для меди при 200С λ=0.0175·10-6 ом м). Мощность, потребляемая МС, W=I2 Ω.
