О подмене в дискретном пространстве-времени волновой функции частицы, частота которой превышает

О подмене в дискретном
пространстве-времени
волновой функции частицы,
частота которой превышает
предел Найквиста –
Котельникова – Шеннона
Александр Заславский
am-47@mail.ru
(Национальный горный университет, Украина,
Web-Институт исследований природы времени)
В презентации используются элементы анимации.
Поэтому рекомендуется просмотр в режиме «Показ слайдов».
Переход к следующему слайду – по щелчку.
Введение
Мысль о том, что частицы, из которых состоит материальный мир, следует
рассматривать как события, является ключевой в теории относительности, где
события выступают в качестве точек четырёхмерного многообразия. Однако
события в отличие от точек пространства упорядочены во временном ряду. Этот
ряд, согласно воззрениям Уайтхеда, Рассела и других приверженцев философии
процесса, является тем, что наше сознание интерпретирует как частицу,
движущуюся в пространстве.
«То, что раньше считали частицей, надо будет
рассматривать как ряд событий. Ряд событий,
заменяющий частицу, имеет важные физические
свойства и поэтому должен быть нами рассмотрен.
Но у данного ряда событий не больше
субстанциальности, чем у любого другого ряда
событий, который мы можем произвольно выбрать»
Бертран Рассел
«Мыслить вещи как процессы!»
Алфред Норт Уайтхед
2
В понятие «состояние частицы» мы вкладываем разный смысл в
зависимости от угла зрения, под которым этот объект
рассматривается. Состояние может характеризоваться координатами
точки в пространстве (фазовом, гильбертовом, Минковского и т.п.),
скоростью, энергией, импульсом и другими динамическими
параметрами. Любая совокупность параметров, которыми
определяется состояние частицы, дополненная временем
наступления этого состояния, является событием. Общеизвестным
примером события является точка пространства – времени в теории
относительности.
Некоторое множество упорядоченных порядком следования во
времени событий представляет собой то, что мы называем частицей.
Именно об этом идёт речь в цитированном высказывании Рассела.
Упорядоченное во времени множество событий в теории процессов
принято называть потоком. Таким образом, частица являет собой
поток событий. Элементарность частицы как потока событий
означает, что частица рассматривается как нечто целое, т.е., такая
система, которая характеризуется однозначным соответствием
каждого её состояния каждому моменту времени.
Interpretation of the Wave Function
The wave function is a description of
quantum motion of particles, which is
essentially discontinuous and random.
Shan Gao
Miquel Montero
Unit for HPS & Center for time
University of Sydney
Departament de F´ısica Fonamental,
Universitat de Barcelona
N 1
  r , t , T     n, t e j 2 rn N
n 0
Wave function Is Discontinuous
3
Рассматривая частицу как поток событий, необходимо дать
соответствующую интерпретацию её волновой функции. С этой точки
зрения интересны результаты, полученные Шеном Гао. Сравнивая
варианты интерпретации волновой функции квантовой системы в качестве
описания физического поля или эргодического движения (поток
событий) частицы, он получает следующее. Если бы волновая функция
заряженной квантовой системы являлась физическим полем (непрерывно
распределена в пространстве-времени), то масса и плотность заряда были
бы распределены по всему пространству в данный момент времени и,
следовательно, должно было бы существовать гравитационное и
электростатическое взаимодействие собственно волновой функции. Это
противоречит как принципу суперпозиции квантовой механики, так и
экспериментальным наблюдениям. Таким образом, волновая функция не
может являться описанием физического поля. Если же волновая функция
описывает эргодическое движение частицы, то в каждый момент времени
имеется только локализованная частица с массой и зарядом, и, таким
образом, не будет существовать никакого собственного взаимодействия
для волновой функции. Далее утверждается, что классическая
эргодическая модель, которая предполагает непрерывное движение
частиц, не может соответствовать квантовой механике. На этом
основании делается вывод о том, что волновая функция описывает
квантовые движения частиц, которые являются случайными и имеют
прерывистый характер (дискретный поток событий).
Волновая функция дискретного потока событий, не может быть
непрерывной и должна рассматриваться как совокупность выборок, по
которым может быть восстановлен её стандартный вид в предельном
случае, когда пространство-время можно считать непрерывным. Пример
такого представления волновой функции демонстрирует в своих работах
Мигель Монтеро.
  r,t 
?
4
Является ли время непрерывным или
оно дискретно?
Этот вопрос не может быть окончательно
решён на основании одних лишь
спекулятивных рассуждений. Необходим
  xi , yi , zi , ti  некий решающий эксперимент, который бы
расставил точки над «І». В докладе на
основании гипотезы о дискретности
времени предсказывается и исследуется
физическое явление – алиасинг волновой
функции, которое может служить базой
для подобного эксперимента.
Когда частица достигает скорости, при которой средняя интенсивность
следования её мгновенных состояний становится меньше двойной частоты
волновой функции, возникает явление подмены частоты (aliasing effect). То
же самое относится к волновому вектору. Надо сказать, что явление
подмены частот известно в теории и практике обработки сигналов. Однако
в отношении фундаментальных физических проблем оно не
исследовалось.
Дискретность потока событий проявляется в том, что состояния частицы
разделены случайным сколь угодно малым, но отличным от нуля
интервалом. Этот интервал, как будет показано далее, в среднем
оказывается функционально связанным со скоростью движения частицы.
Принимая во внимание, что состояния частицы в непрерывном
пространстве – времени описываются волновой функцией, получаем в
дискретном времени эту функцию как результат восстановления
выборки на множестве дискретных значений. Когда частица достигает
скорости, при которой средняя интенсивность следования её мгновенных
состояний становится меньше двойной частоты волновой функции,
возникает явление подмены частоты (aliasing effect). То же самое
относится к волновому вектору. Надо сказать, что явление подмены частот
известно в теории и практике обработки сигналов. Однако в отношении
фундаментальных физических проблем оно не исследовалось. Можно
предположить, что этому имеется, по крайней мере, две причины. Вопервых, на сегодняшний день при тех уровнях энергии, которые
достигаются в экспериментах с элементарными частицами, ничего
подобного не наблюдалось, во-вторых, доминирующее в физике,
представление о непрерывности времени исключает это явление как
естественное. Но уровни энергии, которые достигаются в экспериментах с
элементарными частицами, растут, и если, наконец, будет достигнут тот
уровень, при котором, всё же, обнаружится алиасинг волновой функции,
это будет означать необходимость пересмотра концепции времени.
Таким образом, вашему вниманию предлагаются результаты
исследования неизвестного ранее физического эффекта, который, после
его экспериментального подтверждения, сможет служить доказательством
дискретности времени.
Демонстрация алиасинга
Так выглядит периодический
А так – этот же процесс при иной
процесс при некоторой дискретности
дискретности
времени
5
Иллюстрацией явления подмены частоты может служить, так
называемый, «эффект частокола». Суть его в том, что если сквозь
щели частокола рассматривать некий процесс, ну, хотя бы морскую
волну, то вместо истинной волны мы увидим совсем другую,
колеблющуюся с другой частотой.
Квант собственного времени
является константой, имеющей одно и то же значение в
любой системе отсчёта.
Первый
0
1
2
 
Δt 0
τ
t = τΔt 0
t0  const , t0  const
t0
 const  t k  t
t0
  
Второ
й
0
Δt0
1
2
  
τ
t = τΔt0
Время второго наблюдателя может
быть приведено к единицам измерения
первого, так, что кванты собственного
времени первого и второго
наблюдателей будут равны друг другу
6
Во избежание недоразумений хочу сразу обратить
внимание на то, что в моём докладе не ставится
задача ответить на вопрос, является ли время
дискретным или оно непрерывно. Дискретность
времени предполагается здесь изначально без какоголибо обоснования, в качестве гипотезы.
Правомочность этой гипотезы, как видно из
предыдущего, опирается на результаты, полученные
Шеном Гао. Предметом же обсуждения являются
следствия, вытекающие из данной гипотезы, а также
возможность и условия их экспериментальной
проверки.
Собственное время наблюдателя, которое
полагается дискретным, измеряется количеством
элементарных событий, отождествляемых с
моментами времени. При этом паре собственных
смежных событий (моментов) ставится в соответствие
константа – квант времени. Длительность кванта
времени принципиально не измерима в собственном
времени, так как она по определению меньше любого
сколь угодно малого его интервала, хотя и не равна
нулю. Напротив, собственное время наблюдателя
измеряется количеством событий – моментов, т.е.,
количеством квантов.
Т.е., квант времени первого наблюдателя в принципе
может быть измерен во времени второго, но не в
собственном времени. Так, например, с помощью своих
часов я могу измерить усреднённую длительность
элементарного интервала (секунды) в часах кого-либо из
слушателей. То же самое кто-либо может проделать в
отношении моих часов с помощью своих, но никаким
образом я не могу измерить длительность секунды в моих
часах тем временем, которое они показывают.
Следовательно, квант собственного времени с
точностью до единиц измерения является
универсальной константой именно вследствие
неизмеримости в собственном времени. Конечно,
каждый наблюдатель может принять величину кванта
собственного времени произвольно, но это, не меняя
ничего по существу, лишь усложнит расчёты, в которых
присутствует время, вследствие необходимости учитывать
соотношение единиц измерения. Пусть, например, квант
собственного времени у одного наблюдателя равен одной
величине, а у второго - другой. Поскольку оба кванта –
константы, то константой также является их отношение.
Следовательно, можно принять, что кванты равны, но
единицы измерения времени разными наблюдателями
относятся как константа. С чем-то подобным мы можем
столкнуться, если когда-нибудь произойдёт контакт с
внеземной цивилизацией. Наверняка, у них окажется своя
единица времени. Квант нашего собственного времени
окажется равным кванту их собственного времени после
приведения единиц измерения времени к единому базису.
Частица как поток событий.
t k
 t0  t0  t0
0
1
2
Собственное время частицы
k
3
tk
Поток событий частицы
0
1
t1
0
2
t 2
1
 t3
2
k
3
3
k
t
Поток собственного времени наблюдателя
t
7
Частица в собственном времени
представлена регулярным потокомвременем, в котором события
отделены друг от друга
одинаковыми промежутками. Эта же
частица, рассматриваемая внешним
наблюдателем в «не собственном»
времени, представляет собой
наблюдаемый извне поток
случайных событий. В этом потоке
события отделены друг от друга в
общем случае не одинаковыми
случайными промежутками времени.
Обобщая, можно сказать: то, что
я ощущаю как поток
времени, для стороннего
наблюдателя является
потоком событий моего Я.
8
Ординарность потока событий
t  0
Поток частицы
как целого
t
t
t  t
В математической
формулировке свойство
ординарности потока означает,
что вероятность попадания на
элементарный участок двух и
более событий пренебрежимо
мала по сравнению с
вероятностью попадания на
него только одного события.
Даже в том случае, когда частица рассматривается
состоящей из каких-то частей – подсистем, каждая из которых
может считаться чем-то целым, её поток событий является
ординарным. Доказательство того, что
сумма ординарных потоков есть ординарный поток,
имеется в теории случайных процессов.
Поток частицы как совокупности подсистем
Поток 1
Поток 2
Поток 3
В том случае, когда частица рассматривается как целое, а не как
сложная система, состоящая из взаимодействующих частей –
подсистем, её состояния строго упорядочены в потоке событий
так, что каждому моменту времени соответствует одно
единственное состояние частицы. Такой поток событий, в теории
потоков называется ординарным.
Ординарность потока означает, что события в нём появляются
поодиночке, а не «пачками» по 2, 3 … . В математической
формулировке свойство ординарности потока означает, что
вероятность попадания на элементарный участок двух и более
событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью
попадания на него только одного события.
Но даже в том случае, когда частица рассматривается состоящей из
каких-то частей – подсистем, каждая из которых может считаться
чем-то целым, её поток событий является ординарным.
Доказательство того, что сумма ординарных потоков есть опять же
ординарный поток, имеется в теории случайных процессов.
Следовательно, в общем случае частица представляет собой
ординарный поток событий.
9
Интенсивность (плотность) потока событий частицы
tk
t0
tk
Ряд распределения случайной величины  k  t , t 
t0 tk  tk
t
 k  t , t  :
  
 k  t , t 
t
t  t
0
1
p0k  t , t  p1k  t , t 
k
k
lim   k  t , t   0  p0k  t , t   1 p1k  t , t  2  p2  t , t   ...  n  pn  t , t   ...
t 0
Математическое ожидание количества
событий частицы на промежутке t  0
Отношение собственных времён объекта
наблюдения и наблюдателя
  k  t , t   lim M  k  t , t   lim p1k  t , t 
t 0
t 0
Собственное время частицы
tk  t0   k  t , t 
Плотность потока событий частицы
  k  t , t  
tk
 t0
 t0  t 
t
t
p1k  t , t 
tk
 t0 lim
1

t

0
t
t
  t   t01
t k
t
Полученный результат является следствием ординарности
потока и интересен тем, что независимо от известных
положений СТО приводит к парадоксу «близнецов». Это
проявляется в том, что собственное время наблюдателя
течёт не быстрее (может течь медленнее) собственного
времени наблюдаемого процесса. В данном случае это
означает, что если некий процесс наблюдаем, то за
фиксированное время наблюдения в нём происходит не
больше событий чем моментов времени наблюдателя.
Если же состояния наблюдателя отождествить с
состояниями только что наблюдавшегося процесса, то
приведенное выше утверждение не изменится, хотя
наблюдатель и объект наблюдения поменялись местами.
Следовательно, парадокс «близнецов» имеет место во
всех случаях за исключением одного, когда количество
событий наблюдаемого процесса равно количеству
моментов времени наблюдателя.
10
Специальная теория относительности устанавливает
функциональную связь промежутков собственных времён
наблюдателя и объекта наблюдения с относительной скоростью
движения объекта наблюдения независимо от наполнения этих
промежутков времени событиями.
tk
V2
 1 2 1
t
c
Принцип относительности для потоков событий, учитывая
наполнение времени событиями, устанавливает функциональную
связь промежутков собственных времён наблюдателя и объекта
наблюдения с плотностью потока событий объекта наблюдения.
tk
 t0  t   1
t
Плотность потока событий наблюдаемой частицы зависит от
скорости её движения в системе отсчёта наблюдателя
1
V2
t V 
1 2
t0
c
Подмена частоты в дискретном времени
В классическом приближении элементарная
(точечная) частица характеризуется:
временем t , координатами r   x, y, z  ,
энергией E , импульсом p   px , p y , pz ,
скоростью V  Vx ,Vy ,Vz 
Z
ti
Y
t1
t2
p, V
tn
E
Xi
Zi
Yi
X
В квантовой механике в непрерывном времени  t    состояние свободной частицы
j k y
описывается волновой функцией,   r, t   Ce j t kr   Ce j t e j  kx x e  y e  j  kz z 
2 - частота, r   x, y, z  - радиус-вектор произвольной точки пространства, t
- непрерывное время, k   k x , k y , k z  - волновой вектор.
Частота и волновой вектор связаны с энергией и импульсом частицы уравнениями де

,
p

k
Бройля E

В потоке ограниченной плотности  t    волновая функция определена на выборочных
(квантованных)
данных, разделённых в среднем промежутком времени t   1 .

  ri , ti      r, t   i t  t  dt

Главная проблема выборок в том, насколько хорошо выборочные данные представляют
заданную частицу. Хорошим является такое представление, когда волновая
функция, восстановленная по выборкам, характеризуется частотой и волновым
вектором, соответствующим энергии и импульсу рассматриваемой частицы. Согласно
теореме о выборках Найквиста – Котельникова – Шеннона условие хорошего
  t kr  r
представления в данном случае имеет вид системы неравенств
 ,

2
2 2
2
11
Если время дискретно, то волновая функция частицы,
являясь функцией времени, не может быть непрерывной.
В потоке ограниченной плотности она определена на
выборочных (квантованных) данных, разделённых в
среднем отличным от нуля промежутком времени,
обратным по отношению к средней плотности потока
событий.
Главная проблема выборок в том, насколько хорошо
выборочные данные представляют заданную частицу.
Хорошим является такое представление, когда волновая
функция, восстановленная по выборкам,
характеризуется частотой и волновым вектором,
соответствующим энергии и импульсу
рассматриваемой частицы. Согласно теореме о
выборках Найквиста – Котельникова – Шеннона такое
представление возможно при условии, что плотность
потока событий больше удвоенной частоты (волнового
вектора) частицы.
Если условия Найквиста – Котельникова – Шеннона не выполняются, частота и (или)
волновой вектор волновой функции, восстановленной по дискретным выборкам,
оказываются иными, не соответствующими тем, которые определяются значениями
энергии и импульса заданной частицы.
12
Период подменной волновой функции
Собственно волновая
функция частицы
  ri , ti 
Подменная
Волновая функция
частицы
2
 t1
E
Период собственно волновой
функции частицы
Состояние частицы в
потоке событий
Средний период потока
событий частицы
Дискретное время наблюдения кратно среднему периоду потока событий
t

,   0,1, 2,...
t
13
t   t1
.
  r,   A  r  e jt  A  r  e
.
.
представим отношение  в виде суммы целой

z


j 
и дробной
q частей числа 

 Z   q
t
Нечётная складка
Чётная складка Z=0,2,4,…
  r,   A  r  e
Z=1,3,5,…
  r,   A  r  1 e jq

jq

 
V
:
V
:

V2
      t z   
z 1 2
t0
c

V2
    t      t   
z 1 2
t0
c
Вид комплексной функции при переходе от
непрерывного аргумента к дискретному кардинально
изменяется. Это можно показать на следующем
примере. Дискрета времени кратна среднему периоду
потока событий. Представим отношение частоты к
плотности потока событий в виде суммы целой и
дробной частей. Если целая часть указанного
отношения является чётным числом, то волновая
функция зависит только от дробной части этого
отношения. Если же целая часть является нечётным
числом, то волновая функция зависит от дробной
части и коэффициента, изменяющего знак волновой
функции в чётные и нечётные моменты дискретного
времени. Соответствующие зависимости частоты от
времени показаны на слайде.
Как видим, дискретность времени приводит к тому,
что монотонная зависимость частоты (энергии) от
скорости нарушается. Соответствующая функция
становится разрывной (сминается в складки). На
чётных складках частота (энергия) увеличивается с
увеличением скорости, а на нечётных – уменьшается.
14
Точки сопряжения складок
c0 F
mc 2
 1
t0
c

Зависимость наблюдаемой частоты
от скорости частицы
mc 2
, E
sup 
Чётная складка
  V , z  0 
 V , z  2 

c2
Отдаваемая
энергия
m t0
1
m pl  t pl

константа

Нечётная складка
  V , z  1
czF
 m
 1
,
c
2 z  1 m pl
mm pl
c2
   czF  
, z  0,1, 2,...,
  2 z  1
 V , z  3
mc 2

c0F c1F

mm pl

c
 c2 F c2F
c1F
V
czF
 m
 1
,
c
2 z m pl
  czF     czF   0, z  1,2,3,...
!!!
Зависимость частоты (энергии) частицы от скорости её движения в отсутствии
алиасинга является монотонной. При увеличении скорости частота монотонно растёт
до бесконечности. Однако вследствие дискретности потока событий при некоторых
значениях частоты происходит её подмена. Это приводит к тому, что монотонная
зависимость частоты (энергии) от скорости нарушается. График зависимости частоты
от скорости как бы сминается в складки. Точки сопряжения складок определяются
равенством частот на чётных и нечётных складках. Таким образом, получаем, что в
ультрарелятивистском случае частота (энергия) частицы в дискретном времени
изменяется совершенно не так, как это следует из традиционной СТО в непрерывном
времени. Энергия частицы при приближении её скорости к световой не только не
растёт монотонно до бесконечности, но, напротив, стремится к нулю через точки
разрыва.
Подмена частоты волновой функции с одной стороны приводит к ограничению
максимально достижимой частоты (энергии) а с другой – к появлению нулевых
значений частоты (энергии) при некоторых значениях скорости частицы,
приближающихся к скорости света. При этом частица отдаёт энергию, превышающую
ту, которая затрачена для её разгона. Частица при переходе через порог НайквистаКотельникова-Шеннона отдаёт свою энергию покоя.
Эта особенность алиасинга волновой функции в случае его подтверждения
открывает принципиально новый путь получения энергии. Разгоняя
заряженную частицу электромагнитным полем до скорости сопряжения нулевой
и первой складок, мы отдаём энергию поля частице. Если разгон продолжается
дальше, то частица отдаёт свою энергию полю. При этом, отдаваемая энергия
превышает затраченную на величину энергии покоя. Такого рода устройство
позволит преобразовывать энергию покоя материи непосредственно в
электрическую.
Если нечто подобное когда-нибудь произойдёт, это будет означать конец века паровых
котлов в энергетике.
Оценка величины кванта времени
Предельная энергия протона в космических лучах имеет порядок
масса протона 938 МэВ, планковская масса 1, 22 1019 ГэВ,
15
1020 эВ,
.
t0 938 10 1,22 1028



2
Esup
 t pl
1040

Редуцированная постоянная тонкой структуры
2
mm pl c
4
6
1,144 103
3
 1,161409732
. 10

,а
2

20
предельная энергия частицы с массой протона равна 0,985 10 эВ. При этом три физические
Близость двух величин (отличие не превышает 2%), даёт основания предположить, что  
константы: квант времени, постоянная тонкой структуры и планковское время оказываются
связанными простым соотношением
5,39056 1044
t0    7,297352 10
 19,668407 1047
2
2
t pl
3
абсолютный предел энергии частицы
Esup  2
m2 c 2
m1c 2
c
2
m pl c 2

c
 1,05 1021 ГэВ  1,685 1012 Дж  467,9 МВт*ч
V
Константа, которая представляет отношение кванта времени к
планковскому времени входит в выражение для предельно
достижимой энергии частицы. Этим открывается возможность её
определения из экспериментальных данных, как это представлено на
слайде.
Квант времени оказывается меньше планковского времени. Из этого
следует, что предельная масса элементарной частицы почти на три
порядка превышает планковскую массу, а предельно достижимая
энергия элементарной частицы имеет порядок месячного
энергопотребления трубопрокатного цеха металлургического завода.
Подмена волнового вектора
kX
  z  0 
k FX
k X V , z  0 
  z  1
k FX
x  VX  t 
k X V , z  1
czkX

c
 VYZ2 
2z  1
1  2  ,
m
c 

 2z  1
m pl
mm pl
c
k X  czkX  
, z  0,1, 2,3,...
  2 z  1
  z  2 
k FX
c
V
cF  z  0  cF  z  1 cF  z  1
k X V , z  2 
k X V , z  1
1
t0
V2
1 2
c
VX
Точки сопряжения складок
k X V , z  2 
  z  0
k FX
X 
16
czkX

c
 VYZ2
2z
1  2
m
c

 2z 
m pl

,

k X  czkX   0, z  1,2,3,4,...
VYZ2  VY2  VZ2
!!!
До сих пор мы рассматривали поток событий во времени.
Найдём теперь плотность потока событий частицы в
пространстве. Пусть частица движется с какой-то определённой
средней скоростью. При этом её состояния разделены во
времени средним промежутком, обратным плотности потока
событий. Для того, чтобы отношение пройденного частицей
пути ко времени, затраченному на этот путь равнялось средней
скорости частицы достаточно, чтобы среднее расстояние
между смежными во времени состояниями равнялось
произведению среднего промежутка времени на среднюю
скорость движения частицы. Из этого следует выражение для
линейной плотности потока событий частицы в пространстве.
Произведя формальную замену: частота – волновой вектор;
длительность – расстояние; квант времени – квант
пространства, сразу получим соотношения, описывающие
подмену волнового вектора.
График зависимости волнового вектора (импульса) от скорости
движения частицы также как и график частоты вследствие
алиасинга сминается в складки. Однако интересно отметить, что
скорость движения частицы в точках сопряжения волнового
вектора отличается от значений, полученных в точках
сопряжения частоты.
Динамика частицы при подмене частоты и волнового вектора 17
Одномерное движение
 ,k
Нарушение принципа наименьшего действия
Подмена энергии и импульса на нечётной складке
F V 
p   p   2 z  1
E   E   2 z  1 F V 
V
2
c m pl
V2
F V  
1 2

c
 V 
k V 
V
N
A
M A
N
A M
c
Функция Лагранжа связана с импульсом и энергией
известными соотношениями
L
p
L  pV  E,
V
Подмена функции Лагранжа на нечётной складке
L   pV   2 z  1 F V   E   2 z  1 F V  
  pV  E   L
N – область нормального движения 
p

EПринцип наименьшего

0
,
0

V

Vдействия
Уравнения де
Бройля
.
A – область аномального движения 
p

E


0
L
L
F V 

V

V
p 

  p  p   p   2 z  1
V
V
V
M – область зеркального движения 
p

E

0
,
0

V

V
!!!
Совместное рассмотрение зависимостей частоты и волнового
вектора от скорости частицы в условиях алиасинга обнаруживает
неоднородность структуры пространства скоростей. Это
пространство оказывается разделённым на области (слои) трёх
характерных типов: нормальную, аномальную и зеркальную.
Частица в нормальной области увеличивает энергию и импульс с
увеличением скорости. В аномальной области с увеличением
скорости энергия и импульс изменяются так, что их производные
имеют разные знаки. И, наконец, в зеркальной области частица
ведёт себя так, как будто её инертная масса становится
отрицательной: энергия и импульс с увеличением скорости
уменьшаются.
В условиях алиасинга волновой функции принцип наименьшего
действия в своём классическом (лагранжевом) представлении
вступает в противоречие с гипотезой де Бройля. Это означает, что
динамика ультрарелятивистских частиц, скорость которых
превышает порог Найквиста-Котельникова-Шеннона, не
вкладывается в известные теоретические схемы. Для
непротиворечивого описания движения и взаимодействия
частиц при скоростях сколь угодно близких к скорости света
требуется пересмотр лагранжева формализма, либо оснований
квантовой механики.
Возможность экспериментального обнаружения
18
алиасинга волновой функции
Условия алиасинга
VYZ
m
 
c
m pl
VYZ
m
 
c
m pl
E
mm pl

mc3
E
VYZ
VYZ
VX
С другой стороны, если частица с энергией E 7  1012эВ
испытывает возбуждение в плоскости, перпендикулярной
направлению её основного движения, с характерной
энергией E  11МэВ, она вследствие алиасинга может
терять устойчивость из за аномального взаимодействия с
электромагнитным полем ускорителя
Если возбуждать вращение
частиц слабым лазерным
излучением порядка 5 107 В/см,
характерное возмущение
двухатомного иона достигает
значения w  0,27 эВ. При этом
требуемая энергия
поступательного движения
частицы E  5,5 1012 эВ,
которая, в принципе, может быть
достигнута в экспериментах (на
сегодняшний день максимальная
энергия протонов, которая
планируется быть достигнутой в
LHC, составляет 7 1012 эВ)
При скорости относительного движения частицы, превышающей
порог Найквиста-Котельникова-Шеннона, вследствие подмены
волнового вектора можно ожидать кардинального изменения
характера движения частицы и (или) спектра излучения при её
взаимодействии с электромагнитным полем или другими частицами.
Наблюдая эти изменения, можно обнаружить алиасинг и исследовать
его свойства. Не вдаваясь в детали подобного эксперимента, найдём,
какой должна быть энергия частицы при его проведении.
Если движение частицы можно рассматривать как одномерное
(скорость в плоскости, ортогональной направлению движения равна
нулю), то для появления алиасинга частице необходимо сообщить
энергию, равную предельно достижимой. Например, для протона эта
20
энергия будет иметь порядок 10 эВ. Такая энергия не достижима
для современных технологий.
Если же движение частицы происходит по винтовой линии, то при
сравнительно небольшой энергии возбуждения вращения частицы в
плоскости, ортогональной направлению основного движения, можно
существенно снизить требуемый для алиасинга уровень энергии.
Эксперименты в LHC при планируемых уровнях энергии могут
сопровождаться нежелательным алиасингом. Если частица
испытывает возбуждение в плоскости, перпендикулярной
направлению её основного движения, она вследствие алиасинга
может терять устойчивость из за аномального взаимодействия с
электромагнитным полем ускорителя.
Алиасинг волновой функции и проблема скрытой массы
Скрытая масса
(Википедия)
Скры́тая ма́сса (в космологии и астрофизике также тёмная
материя, тёмное вещество) — общее название
совокупности астрономических объектов, недоступных
прямым наблюдениям современными средствами
астрономии (то есть не испускающих электромагнитного
или нейтринного излучения достаточной для наблюдений
интенсивности и не поглощающего их), но наблюдаемых
косвенно по гравитационным эффектам (в частности по
эффекту «гравитационной линзы»), оказываемым на
видимые объекты. Учёные считают, что количество тёмной
материи как минимум в 5 раз больше количества видимой.
Скопления галактик Abell
2390 (сверху) и MS2137.32353 в рентгеновском
спектре (слева) и
оптическом (справа,
псевдоцвета).
Дуги — эффект
гравитационного
линзирования фона.
Совокупная наблюдаемая
масса составляет порядка
13 % от расчётной
19
Отсутствует подмена волновой функции
Магнитное поле
m0
E
1 m
V  c1F  c 1  
4 m pl
mc 2
V2
1 2
c
Синхротронное
2
излучение E  0
имеется
Н
Алиасинг волновой функции
Магнитное поле
1 m
V  c 1 
4 m pl
m0
E0
Н
Синхротронное
2
излучение E  0
отсутствует
Перемещаясь в магнитном поле, заряженная частица
излучает. Интенсивность синхротронного излучения
пропорциональна квадрату энергии частицы.
Однако, в условиях алиасинга при некоторых скоростях
частицы её энергия равна нулю. Следовательно, такая
частица может двигаться в магнитном поле, не излучая.
Подобная частица, не обнаруживая себя излучением,
вносит свой вклад в гравитационные эффекты, что,
собственно и составляет проблему скрытой массы.
20
Алиасинг волновой функции и парадокс
Грайзена – Зацепина - Кузьмина
В настоящее время в рамках стандартного подхода общепризнан лимит на величину энергии
релятивистских частиц, рассеивающихся на "реликтовом микроволновом излучении", равный
величине 5 1019 эВ (50 эксаэлектрон-вольт). Этот лимит получил официальное название [Предел
Грайзена — Зацепина — Кузьмина]. В то же время даже на 2000-й год существовало более 20-ти
событий, энергия которых превышала значение 1020 эВ. Последующие уточнения точности
экспериментальных погрешностей измерения каскадных лучей лишь подтвердили достоверность
полученных результатов. Поэтому в дальнейшем это явление и получило название парадокса ГЗК,
поскольку не вписывается в рамки стандартного подхода
Тунелирование сверхэнергетических микрочастиц вследствие алиасинга волновой функции
Микроволновое излучение
Удалённаая
Галактика Х
F

a V  c0F
a

F V  c0F
Наша Галактика
ускорение торможение
Предел ГЗК
Э
н
е
р
г
и
я
>60 Мпс
Расстояние
Э
н
е
р
г
и
я
Тунелирование сверхэнергетических частиц, вследствие которого они могут
перемещаться на значительные расстояния, не рассеиваясь на микроволновом
излучении, может происходить по следующему сценарию.
1. Вследствие естественных или техногенных причин скорость частицы
превышает предел Найквиста-Котельникова-Шеннона.
2. На нечётной складке ускорение направлено противоположно приложенной
силе. Следовательно, удаление частицы от массивных космических объектов
будет происходить с увеличением скорости. При этом энергия частицы
снижается и может оказаться ниже предела ГЗК.
3. Частица с энергией ниже предела ГЗК может беспрепятственно преодолеть
расстояние более 60 Мпс и оказаться в нашей Галактике.
4. Приближаясь к массивному объекту такая частица вследствие
гравитационного воздействия будет тормозиться (ускорение направлено
противоположно приложенной силе). Вследствие снижения скорости её
энергия увеличивается и может превысить предел ГЗК.
5. Наш детектор зарегистрирует эту частицу с энергией выше предела ГЗК.
Учитывая тот факт, что разгоняя частицу до скорости сопряжения 1-й и 2й складок, можно получать и использовать её энергию покоя (слайд №
12), парадокс ГЗК может свидетельствовать о существовании техногенных
источников подобных частиц в иных галактиках.
Основные результаты
1. Показана несовместимость в
ультрарелятивистской области трёх
принципиально важных для физики гипотез:
А) о том, что траектории движения частиц
удовлетворяют принципу наименьшего действия,
Б) об эквивалентности энергии частицы частоте, а
её импульса волновому вектору,
В) о дискретности времени,
Совместимы только любые две из них. Если все
мыслимые случаи движения частиц
удовлетворяют гипотезам А и Б, то гипотеза В не
верна и время следует считать континуальным.
Если верны А и В, то Б не распространяется на
случай алиасинга, когда указанная в Б
эквивалентность нарушается. Если верны Б и В,
то А не может распространяться на все случаи
движения и принцип наименьшего действия
применим лишь при скоростях, ограниченных
пределом Найквиста – Котельникова – Шеннона.
2. В непрерывном времени частота и волновой
вектор неограниченно возрастают при
приближении скорости частицы к скорости света.
В дискретном времени вследствие явления
алиасинга волновой функции, напротив, её
частота и волновой вектор ограничены.
21
3. В ультрарелятивистской области при
дискретном времени существуют такие,
отличные от нуля, скорости частиц, при
которых волновой вектор и частота волновой
функции обращаются в нуль.
4. Известный сегодня верхний предел энергии
космических частиц, оцениваемый величиной
порядка 1020 эВ, даёт основания предположить,
что отношение удвоенного значения кванта
дискретного времени к планковскому времени
есть постоянная тонкой структуры.
5. Условия возникновения алиасинга волновой
функции таковы, что энергия, которая
необходима для воспроизведения этого явления
при поступательном движении частиц,
превышает возможности современного
оборудования. Однако технические
возможности LHC могут оказаться
достаточными для воспроизведения алиасинга
волновых функций частиц, движущихся по
винтовой линии.
6. Алиасинг волновой функции, в случае его
подтверждения, может служить объяснением
таких парадоксов как проблема скрытой
массы и парадокс ГЗК
Благодарю за внимание всех присутствующих
Отдельная благодарность Шульману Михаилу
Ханановичу за советы по подготовке
презентации