(лектор Клейменов В.Ф.)для студентов 1 курса специальности

Вопросы по курсу «Алгебра» для студентов 1 курса
специальности «Математика»
1. Операции над множествами и их свойства.
Декартово произведение множеств (определение,
свойства).
2. Отношения и отображения (функции), отношение
порядка (определение, примеры).
3. Отношение эквивалентности (определение, примеры)
4. Теорема о разбиении, фактор-множества.
5. Функции и алгебраические операции (определение,
свойства).
6. Ассоциатиность композиции функций, обратные
функции.
7. Мощность множества. Конечные множества.
8. Натуральные числа (аксиоматика). Метод
математической индукции.
9. Операции сложения и умножения натуральных чисел
и их свойства.
10. Кольца и поля (определение, примеры). Кольцо
вычетов целых чисел.
11. Теорема о вложении в поле частных. Формализация
рациональных чисел.
12. Группы (определения и примеры).
13. Группы подстановок. Определение, примеры.
14. Четность подстановки и ее свойства.
15. Разложение подстановок в произведение
транспозиций и в произведение независимых циклов.
16. Определение четности подстановки по декременту.
17. Порядок группы.
18. Фактор-группа.
19. Теорема о гомоморфизмах.
20. Кольцо многочленов (определение, примеры).
21. Степень многочлена (определение, свойства).
22. Корни многочленов, кратные корни. Теорема о
числе корней.
23. Критерий кратности корня.
24. Интерполяционные формулы.
25. Деление многочленов с остатком. Наибольший
общий делитель, алгоритм Евклида.
26. Теорема о разложении на неприводимые множители.
27. Теорема о присоединении корня.
28. Алгебраические и трансцендентные расширения
полей.
29. Поле комплексных чисел (определение, примеры).
30. Тригонометрическая форма комплексных чисел,
формула Муавра.
31. Группа корней из единицы.