documentclass[12pt]{article}

Институт математики и компьютерных наук
Программа междисциплинарного государственного экзамена по математике
2012-2013 уч. год
Специальность 050201.65 Математика
Заочная форма
Геометрия
Вектор, равные векторы, операции над векторами. Линейная независимость векторов.
Координаты вектора.
Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов в трехмерном евклидовом
пространстве.
Метод координат на плоскости и в пространстве. Формулы преобразования аффинных
координат. Координатное задание окружности, сферы, прямой, плоскости.
Исследование взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, двух
прямых в пространстве по их аналитическому заданию.
Группа движений плоскости. Классификация движений.
Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Свойства подобий.
Кривые второго порядка на плоскости. Эксцентриситет, фокусы и директрисы эллипса,
гиперболы, параболы.
Аксиоматика евклидовой геометрии. Абсолютная геометрия. Пятый постулат Евклида и
его эквивалентность аксиоме параллельных.
Планиметрия Лобачевского и ее непротиворечивость. Взаимное расположение прямых на
плоскости Лобачевского.
Аксиоматическое
определение
топологического
пространства.
Непрерывные
отображения. Компактность, связность, отделимость.
n-мерное топологическое многообразие. Эйлерова характеристика двумерного
многообразия. Классификация компактных двумерных многообразий без края.
Математический анализ
Числовая последовательность и её предел. Свойства предела. Необходимый и
достаточный признак сходимости последовательности.
Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функций на
отрезке.
Показательная и логарифмическая функции, их основные свойства. Разложение в
степенной ряд.
Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение в степенной ряд синуса
и косинуса.
Производная, дифференцируемость и условия дифференцируемости. Геометрический и
механический смысл производной. Арифметические свойства производной.
Теорема Лагранжа. Условие постоянства, монотонности функции на промежутке.
Экстремумы, признаки экстремума. Выпуклость и точки перегиба.
Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица интегралов. Общие методы
интегрирования.
Определённый интеграл и его свойства. Некоторые классы интегрируемых функций.
Формула Ньютона-Лейбница.
Приложения определённого интеграла к вычислению площади плоской фигуры, объёма
тела, длины дуги.
Числовые ряды. Признаки сходимости рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Функциональные ряды. Степенные ряды и их свойства. Формула и ряд Тейлора. Признаки
разложимости функции в ряд Тейлора.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с
разделяющимися переменными. Линейные уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Алгебра
Кольцо целых чисел. Наибольший общий делитель, его существование и единственность.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух целых чисел.
Простые числа. Свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел.
Основная теорема арифметики.
Поле комплексных чисел. Различные формы комплексного числа. Теорема Муавра о
возведении комплексных чисел в целую степень.
Определение определителя. Определители 2 и 3 порядков. Миноры и алгебраические
дополнения. Способы вычисления определителей высших порядков.
Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений.
Обратная матрица. Способы нахождения обратной матрицы.
Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Приводимые и неприводимые
многочлены над полем. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых
многочленов над полем.
Корни многочленов от одной переменной, кратные корни. Область целостности.
Производная многочлена от одной переменной, ее свойства. Способы нахождения кратности
корня многочлена.
Разложение многочленов от одной переменной над полем рациональных чисел.
Примитивные многочлены. Теорема Гаусса. Критерий Эйзенштейна.
Группы, подгруппы. Примеры. Смежные классы по подгруппе, их свойства. Конечные
группы. Теорема Лагранжа.
Группы, подгруппы. Примеры. Циклические группы, их свойства. Бесконечные
циклические группы.
Линейные пространства. Базис и размерность линейного пространства.
Линейные отображения. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о связи ранга,
дефекта линейного оператора и размерности векторного пространства.
Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Характеристический
многочлен, его свойства.