Экзаменационные билеты - Брестский государственный

Учреждение образования "Брестский
государственный университет имени
А.С.Пушкина"
УТВЕРЖДЕНО
Протокол заседания кафедры
от 25.11.2013 № 4
Кафедра алгебры и геометрии
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
25.11.2013
г.Брест
По курсу: "Теория чисел"
Специальность: "Математика. Информатика", дневная форма обучения,
5 семестр
Составитель: доцент Гринько Е.П.
1. Понятие делимости в кольце целых чисел. Простейшие свойства
делимости.
2. Отношение делимости на Z.
3. Деление с остатком в кольце Z (определение и теорема о делении с
остатком) (с д-вом).
4. Общие делители и НОД целых чисел. Взаимно простые числа.
5. Алгоритм Евклида.
6. Свойства НОДа целых чисел.
7. Критерий НОДа целых чисел (с д-вом).
8. Теоремы о взаимно простых числах. Следствия из теорем о взаимно
простых числах. Теоремы 1-2 (с д-вом).
9. Общие кратные и НОК целых чисел. Свойства НОКа целых чисел. Теоремы
1-2 (с д-вом).
10. Простые и составные числа. Свойства простых чисел (с д-вом).
11. Теорема Евклида (с д-вом).
12. Основная теорема арифметики.
13. Каноническое разложение числа на простые множители. Критерий
делимости одного числа на другое (с д-вом). Следствие.
14. Число и сумма натуральных делителей числа. Теорема (с д-вом).
15. Распределение простых чисел в натуральном ряду. Критерий простого
числа (с д-вом).
16. Линейные диофантовы уравнения. Критерий разрешимости диофантова
уравнения (с д-вом).
17. Конечные цепные дроби. Теорема (с д-вом).
18. Метод построения подходящих дробей к данной цепной дроби.
19. Свойства подходящих дробей. Свойства 1, 3 (с д-вом).
20. Применение цепных дробей к решению диофантовых уравнений.
21. Сравнения в кольце целых чисел. Свойства сравнений. Теоремы 1, 2 (с двом).
22. Полная система вычетов по модулю m. Теорема 2 (с д-вом).
23. Приведенная система вычетов. Теоремы 1-4 (с д-вом). Следствие.
24. Теоремы Эйлера и Ферма (с д-вом).
25. Сравнения n-й степени с одной переменной и их решение.
26. Сравнения первой степени с одной переменной. Способы решения
сравнений. Теорема (с д-вом).
27. Системы сравнений первой степени с одним неизвестным. Методы
решения.
28. Сравнения высших степеней по простому модулю. Теорема 1 (с д-вом).
29. Системы счисления. Целые систематические числа. Перевод из одной
системы счисления в другую. Лемма, теорема (с д-вом).
30. Числовые функции и их основные свойства. Теоремы 1-3 (с д-вом).
31. Функция E(x) и еѐ применение в теории чисел. Теорема (с д-вом).
32. Функция Эйлера. Свойства функции Эйлера 1-4 (с д-вом).
33. Порядок числа по данному модулю. Первообразные корни. Теоремы 1-6 (с
д-вом). Следствие.
34. Индексы по простому модулю. Свойства индексов. Теорема 2 (с д-вом).
35. Двучленные сравнения. Решение двучленных показат. сравнений.
36. Квадратичные вычеты. Символ Лежандра.
37. Общий признак делимости Паскаля (с д-вом).
38. Признак делимости на составное число (с д-вом).
39. Обращение обыкновенной дроби в десятичную. Критерий (с д-вом).
40. Обращение обыкновенной дроби в чистую периодическую дробь. Теорема
2 (с д-вом).
41. Обращение обыкновенной дроби в смешанную периодическую дробь.
Теорема 3 (с д-вом).
42. Обращение периодической дроби в обыкновенную. Теоремы 1, 2 (с д-вом).
Следствие.
43. Проверка результатов арифметических действий.
44. Решение уравнений 2-ой степени в целых числах.
45. Кольцо целых гауссовых чисел.
46. Китайская теорема об остатках (с д-вом).