Лекция №7. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного поперечного сечения

Лекция №7. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Подобное движение газа наблюдается во впускном
коллекторе карбюраторного двигателя, где подогрев
осуществляется с целью испарения топливной пленки.
Подводом теплоты к газу, движущемуся в
трубе постоянного сечения, можно изменить скорость его
движения. Процесс подвода теплоты вносит особый вид
сопротивления – при подогреве движущегося газа полное
давление падает.
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Для получения зависимостей, связывающих изменение скорости с подводом
теплоты (dQ), воспользуемся полученными ранее уравнениями:
- неразрывности
 d   dV V
- состояния в дифференциальной форме
dp  R ( dT  Td )
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Объединяя эти уравнения, получим
dp

 RdT  RT
d

 RdT  RT
С помощью уравнения Эйлера ( VdV   dp /  ) исключим
dV
 VdV  RdT  RT
V
и преобразуем полученное уравнение
 RTk

VdV  2  1  RdT .
V k

(57)
dV
V
dp / 
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Правую часть заменим уравнением энергии
RdT 
k 1
k 1
dQ 
VdV
k
k
после чего уравнение (57) примет вид

a2
1  2
V

,
V
k 1
 dV  
dQ
k
k
или, используя число Маха, окончательно получим
M
2

dV
k 1
1
  2 dQ
V
a
(58)
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Из уравнения (58) следует, что при М < 1 подвод теплоты приводит к
ускорению потока, отвод – к торможению его.
При М > 1 подвод теплоты приводит к торможению потока , отвод – к
ускорению потока.
Подвод теплоты вызывает изменение температуры газа T1 и температуры
изэнтропически заторможенного газа T01 , наблюдаемых до участка
подогрева, на величину T  T  T , и T  T  T , причем за участком
2
1
0
02
01
прогрева вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами
T2 и T02 .
Полагая, что приток теплоты не нарушает баланса массы и количества
движения, для газа на участке подогрева воспользуемся уравнениями:
неразрывности
и импульсов
V  const
;
p  V 2  const .
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Преобразуем эти уравнения к виду:
k p V
pV
1
k
V 
 k 2  kpM
 pM
 const
k p1
RT
a
kRT
2



V
2
 
p  V  p1 
p 


V2 
p1  k 2   p 1  kM 2  const
a 



(59)
Разделим второе уравнение на первое и получим связь числа М с
термодинамической температурой
2
1  kM
M
T  const
.
Учитывая связь между термодинамической температурой Т и температурой
торможения то получим.
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
T0
1  kM 2
1  kM 2

T0  const
k 1 2
M
k 1 2
1
M
M 1
M
2
2
Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим
участок подогрева,
M2
M1

2
1  k M2
1  k M12
k 1 2
k 1 2
M2 1
M2
M1 1 
M1
2
2

1  kM22
1  kM12
T2
T1
T20
T10
(60)
(61)
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Приведем некоторые вычисления.
Предположим M 1  0,2 , T1  300 К. Подводом теплоты поток ускоряется
до M 2  0,5 .
Определим температуру T2 по формуле (60).
M2
T2 1  kM 22 M 2 1  kM12 0,5 1  1,4  0,2 2
1,056




2
,
5
 1,95
2
2
M
T1
M 1 1  kM 2 0,2 1  1,4  0,5
1,35
1
1  kM12
T2  T1 (1,95) 2  300  3,8  1100К.
Предположим M 1  2 , T1  1000 К. Подводом теплоты поток замедляется
до M 2  1,5.
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Определим температуру
T2 .
T2
1,5 1  1,4  2 2
6,6


0
,
75
 1,19
T1
2 1  1,4  1,5 2
4,15
T2  1000 (1,19) 2  1400 К.
Подвод теплоты при любом движении увеличивает термодинамическую
температуру и температуру торможения.
Для определения уменьшения давления и плотности зададимся
соотношением температур Т 2
Т
 1
Т1
Т1
и числом М1 до прохождения участка подогрева. По (60) найдем М2, и
затем по (59) отношение давлений
2
р2 1  kM1

p1 1  kM 22
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Для определения соотношения плотностей применим уравнение
состояния
2
 M 1  1  kM 22
2
p 2T1




 1  kM 2
1
p1T2
M
2 

1
Энтальпия («теплосодержание») заторможенного газа
складывается из энтальпии в потоке и кинетической энергии:
i01
V12
 i1 
2
i02
V22
 i2 
2
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
Вследствие подвода теплоты энтальпия в конце трубы больше, чем в ее
начале, на величину подведенного количества теплоты

1 2
Q  i02  i01  c p T02  T01   c p T2  T1   V2  V12
2

Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
k 1
M 1
M
2
f M  
1  kM 2
f ' M  
1 M 2
1  kM 
2 2
1
k 1
M2
2
Функция f(M) имеет максимум при М = 1, и этот максимум
равен
f (1) 
1
2k  1
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
f M  
f ' M  
k 1
M
2
1  kM 2
M 1
1 M 2
1  kM 
2 2
1
k 1 2
M
2
Функция f(M) имеет максимум при М = 1, и этот максимум равен
f (1) 
1
2k  1
Движение подогреваемого газа по трубе постоянного
поперечного сечения
На рисунке приведен график функции f(M) для (k = 1,4)Как видно из
графика и формулы подогрев газа при М1 < 1 вызывает возрастание
функции f(M2) и числа М2, а при М1 > 1, наоборот приводит к убыванию
числа М2. Следовательно, подвод теплоты к дозвуковому потоку
ускоряет его, отвод теплоты – замедляет. В случае сверзвукового потока
подвод теплоты замедляет его, а отвод – ускоряет.
F(M)
0,4
0,3
0,2
0,1
0,4
0,8
1,2
1,6
М