Степенные ряды

{функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости пример – радиус интервала сходимости – примеры }
Функциональные ряды
Пусть задана бесконечная последовательность функций,
определенных в области D: U1 ( x ); U2 ( x ); U3 ( x )
Выражение вида:
Un ( x )

U1 ( x )  U2 ( x )  U3 ( x )  ...  Un ( x )  ...  Un ( x )
называется функциональным рядом.
(1)
n 1
Если в выражении (1) положим x = x0 , то получим некоторый
числовой ряд:

U1 ( x0 )  U2 ( x0 )  U3 ( x0 )  ...  Un ( x0 )  ...  Un ( x0 )
n 1
(2)
Функциональные ряды
Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x0,
если числовой ряд (2), получившийся из ряда (1) подстановкой
x = x0, является сходящимся рядом. При этом x0 называется
точкой сходимости ряда.
Множество всех точек сходимости функционального
называется областью сходимости данного ряда.
ряда
Обозначим область сходимости ряда – Ds .
Как правило, область Ds не совпадает с областью D, а является
ее частью:
Ds  D
Пример
@
Найти область сходимости функционального ряда:

ln x  ln x  ...  ln x  ...  ln n x
2
n
n 1
Решение
Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии
со знаменателем q = ln x
Такой ряд сходится, если
q  1  ln x  1
1  ln x  1  1 e  x  e
n
Область определения функций ln x :

Область сходимости ряда - Ds
D:
x 0
Поэтому:
Ds  D
Область определения сходимости функционального ряда
Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки
области сходимости, следовательно сама является некоторой
функцией от х :
Для функции f(x) имеет место разложение
f ( x )  U1 ( x )  U2 ( x )  U3 ( x )  ...  Un ( x )  ...
Ряд (1) сходится к функции f(x)
Область определения этой функции совпадает с областью
сходимости ряда Ds .
Пример
@

Найти сумму ряда:
n
2
n
x

1

x

x

...

x
 ...

n 0
Решение
Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = x и первым
членом b1 = 1 .
b1
S

q 1
1
2
1 q
 1  x  x  ... x  1
1 x
Имеет место разложение:
S 
1
1 x
x 1
n-частичная сумма и остаток ряда
Как и в случае числовых рядов, для функционального ряда (1)
можно составить последовательность частичных сумм :
U1 ( x )  U2 ( x )  U3 ( x )  ...  Un ( x )  Un 1 ( x )  Un 2 ( x )...
S1(x) S2(x)
Sn(x)
Тогда: f ( x )  lim Sn ( x )
n 
rn(x)
для любых x из области сходимости.
rn ( x )  Un 1 ( x )  Un 2 ( x )  ...
Таким образом:
При
- n -й остаток ряда.
f ( x )  Sn ( x )  rn ( x )
n   rn ( x )  0

f ( x )  Sn ( x )
Степенные ряды
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую
роль играет ряд, членами которого являются степенные функции
аргумента x, то есть так называемый степенной ряд.

n
2
n
a
x

a

a
x

a
x

...

a
x
 ...
 n
0
1
2
n
(1)
n 0
где а0, а1 ,а2 ,…, аn : постоянные числа – коэффициенты степенного ряда.
Ряд (1) расположен по степеням x.
Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням
(x - x0) , то есть ряд вида:

n
2
n
a
(
x

x
)

a

a
(
x

x
)

a
(
x

x
)

...

a
(
x

x
)
 ...
n
0
0
1
0
2
0
n
0
n 0
Ряд (2) легко приводится к ряду (1) подстановкой x - x0 = z, поэтому при
изучении степенных рядов мы ограничимся степенными рядами вида (1).
(2)
Сходимость степенных рядов
Любой степенной ряд вида (1) сходится в точке x = 0 :
a0  a1  0  a2  0 2  ...  an  0 n  ...  a0
Об области сходимости степенного ряда (1) можно судить, исходя из
следующей теоремы Абеля:
Теорема Абеля
1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении x  x0  0
то он абсолютно сходится при всех значениях х, для которых
выполняется условие: x  x0
2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении x  x0  0
то он расходится при любом значении x при котором: x  x0
Сходимость степенных рядов
Из теоремы следует, что существует такая точка x0 ,что интервал:
 x
0
; x0

весь состоит из точек сходимости ряда, а при всех х вне этого
интервала ряд расходится.
ряд расходится

Интервал  x0 ; x0
степенного ряда.
 x0
ряд сходится
0
ряд расходится
x0
 называют интервалом сходимости
Положив x0  R интервал сходимости можно записать
в виде : (-R; R).
Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.
Сходимость степенных рядов
В частности, если ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то
считаем R = 0.
Если ряд сходится при всех действительных значениях х, то
считаем R  
На концах интервала сходимости, то есть при x = - R и при x = R
сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости составим ряд из модулей
членов данного степенного ряда
a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...
и применим к нему признак Даламбера.
Допустим существует предел:
Un 1
 lim
lim
n 
n  U
n
an 1 x n 1
an x n
an 1
 x lim
0
n  a
n
Сходимость степенных рядов
По признаку Даламбера ряд сходится, если:
an 1
x lim
1
n  a
n

x 
1
an 1
lim
n  a
n

an
x  lim
n  a
n 1
Таким образом, для степенного ряда (1) радиус сходимости равен:
an
R  lim
n  a
n 1
Аналогично, пользуясь признаком Коши, можно установить, что
R 
1
lim
n 
n
an
Сходимость степенных рядов
an 1
 0 , то можно убедиться, что ряд
Если lim
n  a
n
сходится на всей числовой оси, то есть R   .

Интервал сходимости степенного ряда (2):
n
a
(
x

x
)
 n
0
n 0
находят из неравенства
x  x0  R
Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан
неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят
без определения радиуса сходимости, а непосредственно
применяя признаки Даламбера или Коши для ряда, составленного
из модулей членов данного ряда.
Пример
xn
@ Найти область сходимости степенного ряда : 
n 1 n !

Решение
an
Найдем радиус сходимости по формуле: R  lim
n  a
n 1
1
an 
n!
an 1
1
1


n  1  ! ( n  1 ) n !
( n  1 )n !
R  lim
 lim( n  1 )  
n 
n 
n!
Следовательно, ряд сходится при всех действительных значениях х.