Сравнительный анализ некоторых методов композиции вычислительных подобластей
advertisement
Сравнительный анализ некоторых методов композиции вычислительных подобластей студент: Данилин Александр научный руководитель: Илюшин Александр Иванович Введение • Программирование задач с большими объемами вычислений порождает необходимость распараллеливания для уменьшения времени работы. • Распараллеливание сопряжено с разбиением исходной задачи на меньшие подзадачи. • Разбиение физической области на подобласти представляется самым естественным из известных походов (например, по сравнению с разбиением по процессам). Цель работы Реализовать метод приграничных полуполос, сравнить результаты его работы с результатами работы метода приграничных полос. Методы декомпозиции данных Метод приграничных полос Суть метода: • Просчитываются основные подобласти, граничные условия между ними берутся с предыдущего временного слоя; • Пересчитываются приграничные подобласти неправильных значений (в одномерном случае сразу, в случае большей размерности из-за соседства приграничных подобластей эти два пункта проделываются дважды, то есть пересчитываются подобласти подобластей). Методы декомпозиции данных Метод приграничных полуполос – модификация метода приграничных полос, позволяющая применять метод к задачам с разнородными подобластями и, соответственно, решателями. подобласть А подобласть А полоса полуполоса А подобласть Б подобласть Б полуполоса Б Методы декомпозиции данных Метод приграничных полуполос Метод отличается тем, что приграничная полоса неправильных значений не формируется в отдельную подобласть, которую в дальнейшем просчитал бы один вычислительный узел. Вместо этого формируются две полуполосы, которые просчитываются каждая на своём узле, что сокращает затраты на пересылки, но лишает граничных условий на границе между полуполосами. Для их нахождения необходим итерационный процесс. Преимущество метода– применимость к разнородным задачам, в которых нельзя сформировать единую полосу из двух разнородных подобластей. Постановка задачи • Исходная задача – вся область, граничные и начальные условия. • Заменяем исходную задачу множеством задач для подобластей и условиями сопряжения на границах между подобластями. • Условия сопряжения – равенство потоков и значений искомой функции на внутренних границах между подобластями (на примере теплопроводности). Алгоритм сопряжения Сопряжение на внутренней границе представляет из себя итерационный процесс пересчёта приграничных полуполос: 1. В точках внутренней границы ищется полусумма потоков в граничащих подобластях. 2. Полуполосы пересчитываются с граничным условием второго рода на внутренней границе равным найденной полусумме потоков. 3. В точках внутренней границы ищется полусумма значений в граничащих подобластях, если она меньше допустимой ошибки, выход из цикла. 4. Иначе полуполосы пересчитываются с граничным условием первого рода на внутренней границе равным найденной полусумме значений. Реализация Схема для уравнения теплопроводности. Двумерный случай. Схема переменных направлений: Реализация Зависимость ширины распространения возмущений от коэффициента теплопроводности и шага по времени Для нахождения ширины распространения возмущений считалась следующая задача: нулевые начальные условия, на границе слева, сверху и снизу – ноль, справа – подогревание единицей. В таблице представлены размеры полосы (в шагах по икс), в точках которой температура больше error = 0.01: Сетка 500x300 Реализация Эксперимент по сравнению аналитического, последовательного и параллельного решений. Проверка правильности решателя и последовательной программы. Начальные условия Граничные условия Аналитическое решение Следующие результаты для коэффициента 10, момента времени 0.1 (1000 шагов по 0.0001). Реализация Аналитическое решение Реализация Счёт всей области на одном вычислительном узле Реализация Независимый счёт двух подобластей без коррекций значений на внутренней границе Реализация Независимый счёт двух подобластей с коррекцией значений на внутренней границе Реализация Аналитическое решение Реализация Точность Сетка 501x300 1000 шагов по времени Доля приграничной полосы 10% Максимум погрешности параллельного счёта с коррекцией, относительно счёта всей области Реализация Эксперимент по сравнению последовательного и параллельного решений. Начальные условия Граничные условия Следующие результаты для коэффициента 10, момента времени 0.01 (1000 шагов по 0.00001). Реализация Счёт всей области на одном вычислительном узле Реализация Независимый счёт двух подобластей без коррекций значений на внутренней границе Реализация Независимый счёт двух подобластей с коррекцией значений на внутренней границе Реализация Счёт всей области на одном вычислительном узле Реализация Алгоритм приграничных полос Реализация Точность Сетка 501x300 1000 шагов по времени Доля приграничной полосы 10% Максимум погрешности параллельного счёта с коррекцией, относительно счёта всей области Реализация Эксперимент с разными коэффициентами теплопроводности. Начальные условия: всюду 0.5 Граничные условия: слева – 0 справа – 1 сверху и снизу – 0.5 Коэффициенты: слева – 0.1 справа – 10 Реализация Алгоритм полуполос с разными коэффициентами. Правый больше левого в сто раз. Реализация Точность Сетка 501x300 1000 шагов по времени Доля приграничной полосы 10% Слева охлаждение только начало распространяться, а справа тепло перешло уже за середину области. Выводы Теоретическое сравнение методов декомпозиции на примере двух подобластей За 100% берётся время независимого счёта подобластей без коррекции значений внутренней границы. Доля приграничной полосы (пересечения подобластей) 10%. Метод Шварца в предположении сходимости с одной итерации. Niter – среднее количество итераций пересчёта полуполос. В экспериментах Niter ~ 1.5 (в условиях слабого изменения решения вблизи внутренней границы Niter < 1). Выводы Сходимость алгоритма полуполос не была доказана теоретически, однако установлена экспериментально. Результаты 1. 2. 3. 4. Разработан алгоритм приграничных полуполос, написана и отлажена программа его реализации для двух подобластей. Написана и проведены первичные тестирования программы алгоритма приграничных полос. Написана и проведены первичные тестирования программы алгоритма приграничных полуполос для n подобластей. Получены результаты, подтверждающие перспективность использования метода приграничных полуполос в задачах с разнородной физической областью. Спасибо за внимание
