Исследуем функцию, заданную формулой: yx=6x2-9x

2
3
Исследуем функцию, заданную формулой: y(x)=6x -9x-x
Область определения: множество всех действительных чисел
Первая производная: y'(x)=12x-9-3x
2
(6x2-9x-x3)' =
Производная суммы равна сумме производных.
2 '
' 3 '
= 6x -(9x) - x
=
( )
( )
Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную
функции.
Воспользуемся правилом производной степени .
2 ' ' 2
=6 x -9x -3x =
( )
Воспользуемся правилом производной степени .
2
=6(2x)-9·1-3x =
2
=6(2x)-9-3x =
Раскрываем скобки.
2
=6·2x-9-3x =
Производим группировку.
2
=(6·2)x-9-3x =
=12x-9-3x
2
Вторая производная: y''(x)=12-6x
Вторая производная это производная от первой производной.
(12x-9-3x2)' =
Производная суммы равна сумме производных.
'
'
2 '
=(12x) -(9) - 3x
=
( )
Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную
функции.
Производная константы равна нулю.
'
2 '
=12x -0-3 x
=
( )
'
2 '
=12x -3 x
=
( )
Воспользуемся правилом производной степени .
=12·1-3(2x) =
=12-3(2x) =
Раскрываем скобки.
=12-3·2x =
Производим группировку.
=12-(3·2)x =
=12-6x
Точки пересечения с осью x : Error!
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
2
3
6x -9x-x =0
Изменяем порядок действий.
3 2
-x +6x -9x=0
Изменим знаки выражений на противоположные.
3 2
x -6x +9x=0
Решаем уравнение методом разложения на множители.
Выносим общий множитель.
2
x x -6x+9 =0
(
)
Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1 .
x=0
Итак,ответ этого случая: x=0 .
Случай 2 .
2
x -6x+9=0
Находим дискриминант.
2
2
D=b -4ac=(-6) -4·1·9=0
Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.
Error!
Итак,ответ этого случая: x=3 .
Ответ: Error!.
Точки пересечения с осью y : y=0
Пусть x=0
2
3
y(0)=6·0 -9·0-0 =0
Вертикальные асимптоты: нет
Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.
2
3
6x -9x-x
Изменяем порядок действий.
3 2
-x +6x -9x
Горизонтальные асимптоты: нет .
Наклонные асимптоты: нет .
Изменяем порядок действий.
3 2
-x +6x -9x
y(x) стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности.
Error! стремится к бесконечности при Error! стремящемся к бесконечности.
Критические точки: Error!
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное
уравнение.
2
12x-9-3x =0
Изменяем порядок действий.
2
-3x +12x-9=0
Изменим знаки выражений на противоположные.
2
3x -12x+9=0
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
2
x -4x+3=0
Находим дискриминант.
2
2
D=b -4ac=(-4) -4·1·3=4
Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.
Error!
Error!;Error!
Ответ: Error!.
Возможные точки перегиба: x=2
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим
полученное уравнение.
12-6x=0
Перенесем известные величины в правую часть уравнения.
-6x=-12
Изменим знаки выражений на противоположные.
6x=12
Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.
x=12:6
x=2
Ответ: x=2 .
Точки разрыва: нет
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
y(x)-y(-x) =
2
3
2
3
= 6x -9x-x - 6(-x) -9(-x)-(-x) =
(
)(
Раскрываем скобки.
)
2
3
2
3
=6x -9x-x -6(-x) +9(-x)+(-x) =
Выносим знак минус из произведения.
2
3 2
3
=6x -9x-x -6x -9x-x =
2
3 2
3
=6x -9x-x -6x -9x-x =
Производим сокращение.
3
3
=-9x-x -9x-x =
Приводим подобные члены.
3
=(-18)x+(-2)x =
Выносим знак минус из произведения.
3
=-18x-2x =
Изменяем порядок действий.
3
=-2x -18x
3
-2x -18x≠0
y(-x)≠y(x)
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
y(x)+y(-x) =
2
3
2
3
= 6x -9x-x + 6(-x) -9(-x)-(-x) =
(
)(
)
Раскрываем скобки.
2
3
2
3
=6x -9x-x +6(-x) -9(-x)-(-x) =
Выносим знак минус из произведения.
2
3 2
3
=6x -9x-x +6x +9x+x =
2
3 2
3
=6x -9x-x +6x +9x+x =
Производим сокращение.
2
2
=6x +6x =
Приводим подобные члены.
2
=12x
2
12x ≠0
y(-x)≠-y(x)
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Тестовые интервалы:
y(x)
y'(x)
y''(x)
характер графика
x<0
+
-
+
убывает,выпукла вниз
x=0
0
-
+
0<x<1
-
-
+
убывает,выпукла вниз
x=1
-4
0
+
относительный минимум
1<x<2
-
+
+
возрастает,выпукла вниз
x=2
-2
+
0
точка перегиба
2<x<3
-
+
-
возрастает,выпукла вверх
x=3
0
0
-
относительный максимум
x>3
-
-
-
убывает,выпукла вверх
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).
Относительный минимум Error!.
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).
Относительный максимум Error!.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции: множество всех действительных чисел
Наименьшее значение: нет
Наибольшее значение: нет