Исследуем функцию, заданную формулой: Область

3
Исследуем функцию, заданную формулой: y(x)=3x -x+2
Область определения: множество всех действительных чисел
2
Первая производная: y'(x)=9x -1
'  3' '
 3
'  3' '
 3' '
 3'
3x -x+2 =3x  -x +(2) =3x  -x +0 =3x  -x =3x  -1 =
2
2
2
 2
=33x -1 =3·3x -1 =(3·3)x -1 =9x -1
Вторая производная: y''(x)=18x
Вторая производная это производная от первой производной.
'  2'
 2 '  2'
 2'
9x -1 =9x  -(1) =9x  -0 =9x  =9(2x) =9·2x =(9·2)x =18x
Точки пересечения с осью x : x=-1
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к
нулю.
3
3x -x+2=0
3
2 2
3x +3x -3x -3x+2x+2=0
2  2 
 3
3x +3x -3x +3x+(2x+2)=0


(x+1)3x -(x+1)(3x)+(x+1)2=0
2


(x+1)3x -3x+2=0
2
решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1 .
x+1=0
x=-1
Случай 2 .
2
3x -3x+2=0
2
2
D=b -4ac=(-3) -4·3·2=-15
Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.
ответ этого случая: нет решений.
Ответ: x=-1 .
Точки пересечения с осью y : y=2
Пусть x=0
3
y(0)=3·0 -0+2=2
y(x) стремится к бесконечности при x стремящемся к бесконечности.
Error! стремится к бесконечности при Error! стремящемся к
бесконечности.
Критические точки: Error!
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю
и решим полученное уравнение.
2
9x -1=0
2
9x =1
2
x =1:9
Error!
Ответ: Error!.
Возможные точки перегиба: x=0
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую
производную к нулю и решим полученное уравнение.
18x=0
x=0:18
x=0
Точки разрыва: нет
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
y(x)-y(-x) =
3

3
3
 3

=3x -x+2-3(-x) -(-x)+2 =3x -x+2-3(-x) -x-2 =
3
3
3
3
3
3
=3x -x+2+3x -x-2 =3x -x+2-2+3x -x =3x -x+0+3x -x =
3
3
3
3
=3x -x+3x -x =6x +(-2)x =6x -2x
3
6x -2x≠0
y(-x)≠y(x)
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
y(x)+y(-x) =
3

3
3
 3
 
=3x -x+2+3(-x) -(-x)+2 =3x -x+2+3(-x) +x+2 =
3
3
3
3
3
3
=3x -x+2-3x +x+2 =3x -x+2+2-3x +x =3x -x+4-3x +x =
3
3
=3x -x+4-3x +x =4
4≠0
y(-x)≠-y(x)
Тестовые интервалы:
x<-1
y(x)
-
y'(x)
+
y''(x)
-
x=-1
Error!
0
+
+
+
-
Error!
Error!
0
-
Error!
x=0
+
2
-
0
характер графика
возрастает,выпукла
вверх
возрастает,выпукла
вверх
относительный
максимум
убывает,выпукла вверх
точка перегиба
Error!
Error!
+
Error!
0
+
+
Error!
+
+
+
убывает,выпукла вниз
относительный
минимум
возрастает,выпукла
вниз
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на
(+).
Относительный минимум Error!.
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на
(-).
Относительный максимум Error!.
Множество значений функции: множество всех действительных чисел
Наименьшее значение: нет
Наибольшее значение: нет