Задача Определить координаты центра тяжести составного сечения, вычислить

Задача
Определить координаты центра тяжести составного сечения, вычислить
моменты инерции сечения относительно центральных осей, параллельных
сторонам сечения и затем аналитически определить угол наклона главных
осей к осям хс0ус, величину главных МИС и главных радиусов инерции, построить эллипс инерции сечения.
Исходные данные для решения задачи:
- швеллер- Ш №10;
- равнобокий уголок- У №8 (80X80X7);
- лист- Л 200X10.
Рисунок 1
Решение:
Найдем положение центра тяжести фигуры по формулам
;
. Разобьем фигуру на три простые: швеллер I (берем по ГОСТ 8240-89),
прямоугольник II и равнобокий уголок III (берем по ГОСТ 8509-97). Площадь
всей фигуры
А  0,00109  0, 2*0,01  0,00108  0,00417 м2
Для определения статических моментов выберем вспомогательные оси
x`y`, проходящие через верхнюю центральную часть прямоугольника II
(рис. 2). Статический момент каждой фигуры равен площади фигуры, умноженной на координату центра тяжести этой фигуры в системе координат x`y`.
Суммарные статические моменты
Sх  0,00109*(0,05)  0,002*(0,005)  0,00108*0,0223  0,0000404 м2
Sу  0,00109*(0,0856)  0  0,00108*0,084  0,0000571м2
Координаты центра тяжести
уцт 
0, 0000404
 0, 0097 м  9, 7 мм
0, 00417
хцт 
0, 0000571
 0, 0137 м  13, 7 мм
0, 00417
отложены на рис. 2.
Рисунок 2
Проведем через центр тяжести центральные оси х,у (см. рис. 2) и найдем
моменты инерции относительно этих осей, как сумму моментов инерций
простых фигур, составляющих заданную фигуру. Для определения моментов
инерции простых фигур I, II и III используем формулы
,
,
. Моменты инерции относительно собственных осей х0,у0 прямоугольника, уголка и швеллера вычисляем соответственно по формулам и по
справочным данным, взятым, из ГОСТ
;
, - для прямоугольного листа
;
Ix0=174 cм4=174*10-8 м4; Iy0=20,4 cм4=20,4*10-8 м4; Ix0y0=0 – для швеллера
Ix0=65,3 cм4=65,3*10-8 м4; Iy0=0; Ix0y0=0 – для уголка
Найдем для листа:
I x0 
I у0
0, 01*0, 23
 666, 6*108 м 4
12
0, 2*0, 013

 1, 6*108 м 4
12
Отсюда
Iх  174  65,3  666,6  10,9*(8,56) 2  0  10,8*8, 4 2 
 905,9  798,68  762,05  2466,63см4  0,0000247 м4
Iу  20, 4  0  1,6  10,9*(5) 2  20*(0,5) 2  10,8*2, 232 
 22  272,5  5  53,71  353, 21см4  0,0000035 м4
Ixy=0
Теперь найдем положение главных осей инерции. Угол, на который
надо повернуть ось
, чтобы она стала главной осью, определяем по формуле
:
tg 2  
2*0
0;
2466, 63  353, 21
2α= 00 α = 00
В соответствие с правилом знаков проводим главные центральные оси
инерции Y, Z (см. рис. 3). Вычислим моменты инерции относительно этих осей
по формуле
:
I
I
0, 0000247  0, 0000035
(0, 0000247  0, 0000035) 2

 02  (0, 0000141  0, 0000106) м4
2
4
max
 0, 0000247 м 4 I
min
 0, 0000035 м 4
Для проверки вычислений удобно использовать следующее свойство:
сумма моментов инерций относительно двух любых пар ортогональных осей
есть величина постоянная. Тогда должно быть
.
В нашем примере 0,0000247+0,0000035=0,0000247+0,0000035.
Чтобы выяснить, какой момент инерции – максимальный или минимальный соответствует оси X, исследуем знак второй производной функции
по
формуле
=
-2*(0,0000247
-
0,0000035)*cos(0)+4*0*sin(0)<0
Отрицательный знак второй производной означает, что оси X соответствует максимальное значение момента инерции, т. е.
Iх  I
max
 0, 0000247 м 4 Iу  I
min
 0, 0000035 м 4
Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей по
формуле
iх 
и построим эллипс инерции.
0, 0000247
0, 0000035
 0, 077 м  77 мм i у 
 0, 029 м  29 мм
0, 00417
0, 00417
Эллипс инерции показан на рис. 3. Видно, что эллипс вытянут в том
направлении, в котором вытянута фигура.
Рисунок 3