Квадратные уравнения

Квадратные уравнения
Уравнение
уравнением.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0,
вида
называется
a0
квадратным
Если а=1, то квадратное уравнение называется приведенным, если а1, то
не приведенным.
Если одно из чисел b или с или оба равны нулю, то квадратное уравнение
называется неполным.
ах2=0 (а0) х=0.
𝑐
𝑐
𝑎
𝑎
ах2+с=0 (а0) 𝑥1 = √− ; 𝑥2 = −√− .
𝑏
ах2+bx=0 (а0) 𝑥1 = 0; 𝑥2 = − .
𝑎
Квадратное уравнение (уравнение второй степени с одним неизвестным)
имеет не более двух решений в области действительных чисел.
Для решения уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, a0 в квадратном трехчлене
выделим полный квадрат: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 +
𝑏 2
)
2𝑎
−
𝑏2 −4𝑎𝑐
4𝑎
.
Разность 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 называют дискриминантом и обозначают буквой D.
В зависимости от дискриминанта возможны следующие случаи:
Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней.
𝑏
𝑏
Если D=0, то уравнение имеет вид (𝑥 + )2 = 0, откуда 𝑥 = − , т.е. два
2𝑎
2𝑎
корня равны.
−𝑏−√𝐷
−𝑏+√𝐷
Если D>0, то уравнение имеет два корня 𝑥1 =
и 𝑥2 =
. При
2𝑎
2𝑎
этом квадратный трехчлен можно разложить на множители: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =
𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ).
𝑏
𝑏2
2
4
Для приведенного квадратного уравнения 𝑥1,2 = − ± √
− 𝑐 при
𝑏2
4
−
𝑐 > 0.
Теорема Виета
𝑏
Сумма корней квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 равна − , а
𝑎
с
произведение .
𝑎
Доказательство. 𝑥1 + 𝑥2 =
𝑥1 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
∙
−𝑏+√𝑏2 −4𝑎𝑐
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
2𝑎
=
+
−𝑏−√𝑏2 −4𝑎𝑐
𝑏2 −(𝑏2 −4𝑎𝑐)
4𝑎2
2𝑎
𝑏
=− ;
𝑎
𝑐
= .
𝑎
Из этой теоремы следует, в частности, что квадратный трехчлен можно
записать в виде 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 .
Для приведенного квадратного уравнения 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑝,
𝑥1 𝑥2 = 𝑞.
Биквадратные уравнения
Уравнение вида 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐 = 0, a0 называется биквадратным.
Решение биквадратных уравнений сводится к решению уравнений
методом введения новой переменной (𝑥 2 =у).
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Если квадратный трехчлен 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 имеет корни 𝑥1 и 𝑥2 , то
квадратный трехчлен может быть представлен в виде произведения: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ).
Примеры решения задач
Пример 1. Решить уравнение 3х2 – 7х=0.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители х(3х – 7)=0.
7
1
Отсюда х=0 или 3х – 7=0. х=0 или х= = 2 .
3
3
Ответ: 0, 2
1
3
Пример 2. Решить уравнение 10х2 – х+1=0.
Решение. D=1 – 40= - 39<0. Корней нет.
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение 3х2 – 14х+16=0.
Решение. D=4>0. 𝑥1 =
14−2
6
= 2 и 𝑥2 =
14+2
6
2
=2 .
3
Ответ: 2, 2
Пример 4. Решить уравнение
2
2−𝑥
1
4
2
2𝑥−𝑥 2
+ =
Решение. Преобразуем уравнение к виду
0
𝑥 2 −6𝑥+8
𝑥(2−𝑥)
2
3
.
4𝑥+𝑥(2−𝑥)−8
𝑥(2−𝑥)
=0
4𝑥+2𝑥−𝑥 2 −8
𝑥(2−𝑥)
=
𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0
𝑥 = 2 или 𝑥 = 4
= 0. {
{
 x=4
𝑥(2 − 𝑥) ≠ 0
𝑥 ≠ 0 или 𝑥 ≠ 2
Ответ: 4
Пример 5. Решить уравнение 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 3 = 0.
Решение. Уравнение после замены у=х2 превращается в квадратное
уравнение у2 – 4у+3=0. D=4, у1=1, у2=3. х2=1  х1=1, х2= - 1; х2=3  х3=√3,
х4 = - √ 3
Ответ: 1, - 1; √3, - √3
Пример 6. Разложить трехчлен 4х2 – 9х+5=0 на множители.
Решение. Корни трехчлена х1=1 и х2=5/4. Отсюда 4х2 – 9х+5=4(х – 1)(х –
5/4)=(х – 1)(4х – 5).
Ответ: (х – 1)(4х – 5)
Пример 7. При каком значении а наибольшее значение функции
у=ах² - 2х+7а равно 6?
Решение. Наибольшее значение квадратичная функция принимает в том
случае, если ветви параболы направлены вниз, т.е. а<0. Найдем вершину
2
2
1
1
y 6  a    7 a  7 a  .
a
a
а
1
7a 2  6a  1  0 . Корни этого уравнения а1=1, а2=  .
7
параболы:
x6 
2
1
 ;
2a a
По
условию
7a 
1
 6;
a
У первой параболы ветви направлены вверх, у второй – вниз.
1
7
Следовательно, а=  .
1
7
Ответ:  .
Упражнения
1. Решите уравнение:
1) −3𝑥 2 = 0
2) 𝑥 2 + 2𝑥 = 0
3) 7𝑥 2 − 1 = 0
4) 10𝑥 2 + 5𝑥 = 0
5) 3𝑥 2 − 5 = 0
6) 2𝑥 2 + 3 = 0
7) −36𝑥 2 + 4 = 0
8) 8𝑥 2 + 12 = 0
9) 3𝑥 2 − 4𝑥 = 0
10) 2𝑥 2 − 14 = 0
2. Решите уравнение:
1) 3𝑥 2 − 7𝑥 + 4 = 0
2) 25𝑥 2 + 30𝑥 + 9 = 0 3) 𝑥 2 − 16𝑥 + 65 = 0
4) 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0
5) 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0
6) 5𝑥 2 − 8𝑥 − 4 = 0
7) 𝑥 2 − 8𝑥 − 9 = 0
8) 3𝑥 2 + 8𝑥 − 3 = 0
9) 2𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0
10) 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0
3. Решите уравнение:
1) 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 6 = 0
2) 4𝑥 4 − 5𝑥 2 − 6 = 0
3) 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 2 = 0
4) 9𝑥 4 − 24𝑥 2 + 16 = 0
5) 7𝑥 4 − 9𝑥 2 + 3 = 0
6) 2𝑥 4 − 3𝑥 2 + 5 = 0
7) 5𝑥 4 + 8𝑥 2 + 3 = 0
8) 9𝑥 4 − 6𝑥 2 + 1 = 0
9) 𝑥 4 + 10𝑥 2 + 25 = 0
10) 25𝑥 4 + 30𝑥 2 + 9 = 0
4. Запишите приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются
числа:
1) х1=0, х2= - 1
2) х1= - 5, х2= - 2
3) х1= - 4, х2=3
4) х1=4, х2= - ¾
5) х1=√5, х2= - √5
6) х1=2+√3, х2=2 - √3
7) х1= - 1+√7, х2= - 1 - √7
8) х1=4, х2= - 3
9) х1=√11, х2= - √11
10) х1=3, х2=4
5. Разложите на множители квадратный трехчлен:
1) 𝑥 2 + 8𝑥 + 15
2) 2𝑥 2 − 16𝑥 + 30
3) 𝑥 2 − 7𝑥 + 10
4) 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1
5) 𝑥 2 − 5𝑥 + 9
6) 4𝑥 4 − 5𝑥 2 − 6
7) 2𝑥 2 − 3𝑥 + 4
8) 𝑥 2 − 7𝑥 + 12
9) 9𝑥 4 − 6𝑥 2 + 1
10) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6
6. Решите задачу:
1) Сумма квадратов трех последовательных чисел равна 365. Найдите эти
числа.
2) Найдите три таких последовательных четных числа, чтобы сумма квадратов
первых двух равнялась квадрату третьего числа.
3) Найдите два последовательных нечетных числа, разность кубов которых
равна 98.
4) Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков.
Произведение этого числа на число, записанное теми же цифрами, но в
обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.
5) Найдите три последовательных положительных числа, если квадрат
большего из них равен сумме квадратов двух других.
6) Сумма квадратов трех последовательных четных натуральных чисел равна
116. Найдите эти числа.
7) Найдите два последовательных натуральных числа, если квадрат суммы этих
чисел на 112 больше суммы их квадратов.
8) Найдите два последовательных числа, разность кубов которых равна 397.
9) Сумма цифр двузначного числа равна 6. Произведение этого числа на число,
записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно 1008. Найдите это
число.
10) Найдите три последовательных положительных четных числа, если квадрат
большего из них равен сумме квадратов двух других.
7. Решите уравнение:
1) (5𝑥 + 3)2 = 5(𝑥 + 3)
2) (𝑥 2 − 6𝑥)2 − 2(𝑥 − 3)2 = 81
3) (4𝑥 + 5)2 = 4(𝑥 + 5)2
4) (𝑥 + 2)2 + (𝑥 − 3)2 = 13
5) (3𝑥 − 5)2 − (2𝑥 + 1)2 = 24
6) (3𝑥 − 8)2 − (4𝑥 − 6)2 + (5𝑥 − 2)(5𝑥 + 2) = 96
7) (2𝑥 + 10)2 = 4(𝑥 + 5)2
8) (𝑥 + 2)2 + (𝑥 − 3)2 = 13
9) (4𝑥 + 5)2 = 5𝑥 2 + 4𝑥
10) (3𝑥 − 5)2 − (2𝑥 + 1)2 = 24
8. Сократите дробь:
1)
5)
9)
2𝑚2 −10𝑚
2)
𝑚2 −7𝑚+10
2𝑎2 −5𝑎−3
6)
4+7𝑎−2𝑎2
5𝑛2 −15𝑛
4𝑥 4 −13𝑥 2 +9
9𝑥 4 −10𝑥 2 +1
3𝑎2 +5𝑎+2
7)
6𝑎𝑏−3𝑎+4𝑏−2
2𝑎2 −5𝑎+3
4𝑥 4 −17𝑥 2 +4
4)
4𝑎𝑏−2𝑎+6𝑏−3
𝑥 4 −3𝑥 2 −4
4𝑥 4 −5𝑥 2 +1
3𝑎2 +16𝑎−12
8)
𝑥 4 −13𝑥 2 +36
10−13𝑎−3𝑎2
𝑥 4 −15𝑥 2 −16
10)
𝑛2 −7𝑛+12
3)
𝑥 4 −17𝑥 2 +16
9. Решите уравнение:
1) (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) − 𝑥 2 (𝑥 − 18) = 0
2) 3𝑥(𝑥 − 2) − 1 = 𝑥 − 0,5(8 + 𝑥 2 )
3) (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 𝑥 + 1) − 𝑥 2 (𝑥 + 4) = 0
4) (𝑥 2 + 3𝑥 − 4)2 + (𝑥 2 + 3𝑥 + 2)2 = 36
5) 𝑥(𝑥 − 15) = 3(108 − 5𝑥)
6) 3(2𝑥 2 + 𝑥 − 2)2 = 8𝑥 2 + 4𝑥 − 9
7) (𝑥 − 7)(𝑥 + 3) + (𝑥 − 1)(𝑥 + 5) = 102
8) 𝑥(7 − 6𝑥) = (1 − 3𝑥)(1 + 2𝑥)
9) (2𝑥 + 1)(𝑥 − 3) − (1 − 𝑥)(𝑥 − 5) = 29 − 11𝑥
10) 2𝑥(𝑥 + 2) = 8𝑥 + 3
10. Решите уравнение:
1)
4)
𝑥 2 +3𝑥
2
𝑥 2 +𝑥
4
=
−
1
1
𝑥+3
2)
4
3−7𝑥
𝑥
7) +
𝑥+7
20
=
= 0,3
3
20
5)
8)
𝑥 2 −3𝑥
7
10
𝑥−3
+ 𝑥 = 11
8
− =1
40
𝑥−20
𝑥
−
40
𝑥
=1
3)
6)
9)
2𝑥 2 +𝑥
3
2
𝑥−5
4
𝑥−2
+
+
−
2−3𝑥
14
𝑥
4
=
𝑥 2 −6
=3
4
𝑥+2
= 1,5
6
10)
3𝑥+4
𝑥−6
=
𝑥−2
4𝑥+3
Дополнительные задания
1. Решите уравнение:
1)
4)
7)
(2y+1)2
25
(3x+2)2
11
14x2
16−x2
10)
2
4−x2
−
−
+
−
y−1
3
x+5
4
11
x−4
=y
2)
= x2
5)
49
8)
=
1
2x−4
x+4
+
7
x(x+2)
(2−x)2
3
(6−x)2
8
3
(2−y)2
−
(7+2x)2
+
−
5
(2x−1)2
3
5
(y+2)2
= 2x
3)
=1−x
6)
=
14
y2 −4
9)
1
x2 −9
2
1−x2
+
−
2
y(y+5)
1
3x−x2
1
1−x
+
+
=
3
2x+6
4
=0
(x+1)2
3
2(y−5)
=
15
y2 −25
=0
Теорема Виета
1. Решите задачу, используя теорему Виета:
1) Разность корней квадратного уравнения 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑐 = 0 равна 6. Найдите с.
2) Один из корней уравнения 𝑥 2 − 13𝑥 + 𝑐 = 0 равен 12,5. Найдите другой
корень и коэффициент с.
3) В уравнении 𝑥 2 + 𝑝𝑥 − 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите другой
корень и коэффициент р.
4) Один из корней уравнения 5𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 24 = 0 равен 8. Найдите другой
корень и коэффициент b.
5) Один из корней уравнения 10𝑥 2 − 33𝑥 + 𝑐 = 0 равен 5,3. Найдите другой
корень и коэффициент с.
6) Разность корней квадратного уравнения 𝑥 2 − 12𝑥 + 𝑐 = 0 равна 2. Найдите с.
7) Коэффициенты b и с уравнения 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, являются его корнями.
Найдите b и с.
8) 𝑥1 и 𝑥2 - корни уравнения 3𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑘 = 0, причем 2𝑥1 = −3𝑥2 . Найдите k.
9)
10) 𝑥1 и 𝑥2 - корни уравнения 𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑘 = 0, причем 3𝑥1 + 4𝑥2 = 29.
Найдите k.
2. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
1) 𝑥 2 − 37𝑥 + 27 = 0
2) 𝑥 2 − 210𝑥 = 0
3) 3𝑥 2 − 10 = 0
4) 2𝑥 2 − 9𝑥 − 10 = 0
5) −𝑥 2 + 𝑥 = 0
6) 𝑥 2 − 2𝑥 − 9 = 0
7) 𝑥 2 + 41𝑥 − 371 = 0
8) 𝑥 2 − 19 = 0
9) 2𝑥 2 + 7𝑥 − 6 = 0
10) 5𝑥 2 + 12𝑥 + 7 = 0
3. Решите задачу:
1) От листа картона, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной 3 см.
Площадь оставшейся прямоугольной части листа равна 70 см 2. Определите
первоначальный размеры листа.
2) Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов,
построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см2.
Найдите стороны прямоугольника.
3) Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 с больше ширины, а
площадь равна 60 см2.
4) Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона
которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите
длину изгороди, если площадь участка 1200 м2.
5) Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь
прямоугольника равна 120 м2.
6) Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 23 см, а
площадь треугольника 60 см2.
7) Площадь доски прямоугольной формы 4500 см2. Доску распилили на две
части, одна из которых представляет собой квадрат, а другая – прямоугольник.
Найдите сторону получившегося квадрата, если длина отпиленного
прямоугольника равна 120 см.
8) Найдите стороны прямоугольника, если одна из них на 14 см больше другой,
а диагональ прямоугольника равна 34 см.
9) В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы,
а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите длину гипотенузы.
10) Дно ящика – прямоугольник, ширина которого в два раза меньше его
длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объем ящика, если площадь его дна на
1,08 м2 меньше площади боковых стенок.
4. Решите задачу:
1) Произведение двух натуральных чисел, оно из которых на 6 больше другого,
равно 187. Найдите эти числа.
2) Представьте число 120 в виде произведения двух чисел, одно из которых на 2
меньше другого.
3) В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в
кинотеатре, если в нем 884 мест?
4) Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна
869.
5) Найдите три последовательных четных числа, если сумма квадратов первых
двух числе равна квадрату третьего числа.
6) Найдите пять последовательных целых чисел, если сумма квадратов трех
первых чисел равна сумме квадратов двух последних.
7) Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы
на 109. Найдите эти числа.
8) Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их
квадратов на 112. Найдите эти числа.
9)
10)
Квадратные уравнения с параметром
Пример. Решите уравнение (2𝑎 − 1)𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 1 − 𝑎 = 0.
Решение. Если 2𝑎 − 1 = 0, т.е. а=0,5, то получим линейное уравнение
−0,5𝑥 + 0,5 = 0, которое имеет один корень 1.
Если 2𝑎 − 1 ≠ 0, т.е. а0,5, то данное уравнение является квадратным.
D=𝑎2 − 4(1 − 𝑎)(2𝑎 − 1) = (3𝑎 − 2)2 >0.
𝑥1 =
𝑎−(3𝑎−2)
2(2𝑎−1)
=
1−𝑎
; 𝑥2 =
2𝑎−1
𝑎+(3𝑎−2)
2(2𝑎−1)
= 1.
Ответ: 1 при а=0,5; 1 или
1−𝑎
2𝑎−1
2
при а0,5
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение 4𝑥 + 3𝑥 − 𝑎 = 0
имеет два корня?
Решение. Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант
9
положительный: D=9+16a>0, откуда 𝑎 > − .
16
9
Ответ: (− ; +∞)
16
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение 𝑎𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
не имеет корней?
Решение. Квадратное уравнение не имеет корней, если дискриминант
9
отрицательный: D=9 – 8a<0, отсюда 𝑎 > .
8
9
Ответ: ( ; +∞)
8
При каких значениях параметра а…
1)
решением
уравнения
действительное число?
2) решением уравнения
действительное число?
𝑎2 𝑥 − 𝑎 + 1 = 6𝑥 − 5𝑎𝑥
(𝑎2 − 2𝑎 + 1)𝑥 = 𝑎2 + 2𝑎 − 3
является
является
3) уравнение (𝑎2 − 1)𝑥 = 2𝑎2 + 𝑎 − 3 не имеет решений?
1
4) уравнение 𝑎𝑥 2 − 2𝑥 + = 0 имеет единственное решение?
3
5)
6)
7)
8) уравнение (2 − 𝑎)𝑥 2 − 𝑥 − 4 = 0 имеет единственное решение?
9) уравнение (2 − 3𝑎)𝑥 2 + 4 − 2𝑥 = 0 имеет единственное решение?
любое
любое
10) уравнение (𝑎 − 2)𝑥 2 + (4 − 2𝑎)𝑥 + 3 = 0 имеет единственное решение?
Пример 3. Найти все действительные значения а, при которых уравнения
𝑥 + 𝑎𝑥 + 1 = 0 и 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑎 = 0 имеют общий корень.
2
𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 1 = 0,
Решение. Составим систему уравнений { 2
. Вычитая
𝑥 +𝑥+𝑎 =0
почленно из первого уравнения второе, получим (𝑎 − 1)(𝑥 − 1) = 0. Тогда
(𝑎 − 1)(𝑥 − 1) = 0,
система равносильна {
. Из первого уравнения а=1 и х=1.
𝑥2 + 𝑥 + 𝑎 = 0
Подставив х=1 во второе уравнение системы, получим а= - 2.
Ответ: - 2; 1
Пример 4. Найти значение параметра р, при котором отношение корней
уравнения 2𝑥 2 + (𝑝 − 10)𝑥 + 6 = 0 равно 12.
Решение. Пусть х1 и х2 – корни уравнения. По условию х1:х2=12 или
х1=12х2. По теореме Виета х1х2=6:2=3, откуда х2=0,5; х1=6 или х2= - 0,5; х1= - 6.
По теореме Виета х1+х2=−
р= - 3 или р=23.
𝑝−10
𝑝−10
2
2
. Тогда
= 6,5 или
𝑝−10
2
= −6,5, отсюда
Ответ: - 3; 23
При каких значениях параметра а…
1) квадрат разности корней уравнения 2𝑥 2 − (𝑎 + 1)𝑥 + 𝑎 + 3 = 0 равен 1?
2) сумма квадратов
наименьшая?
корней
уравнения
𝑥 2 + (3 − 𝑎)𝑥 + 2𝑎 − 18 = 0
3) сумма квадратов корней уравнения 𝑥 2 − 3𝑎𝑥 + 𝑎2 = 0 равна 1,75?
4) один корень уравнения 2𝑥 2 − 6𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 больше другого на 10?
5) корни уравнения 𝑥 2 − 3𝑥 + 2𝑎 + 3 = 0 удовлетворяют условию 5𝑥1 + 3𝑥2 =
23?
6) один корень уравнения 𝑥 2 − 6𝑥 + 1 − 𝑎 = 0 меньше другого на 10?
7) разность корней уравнения 25𝑥 2 − 25𝑥 + 𝑎 − 2 = 0 равна 0,2?
8)
9)
10)
В некоторых задачах требуется исследовать знаки корней уравнения. Для
этого удобно использовать следующую таблицу:
𝒄
𝒂
;q
>0
<0
𝒃
𝒂
Знаки корней
;p
>0
Оба корня отрицательны
<0
Оба корня положительны
=0
Корней нет
>0
Корни разных знаков; больший по модулю корень
отрицателен
<0
Корни разных знаков; больший по модулю корень
положителен
=0
Корни уравнения – противоположные числа
0
Первый корень уравнения 0; второй корень равен −
=0
Оба корня равны 0
=0
𝑏
𝑎
Пример 5. Найти значения параметра k, при которых уравнение 𝑥 2 −
𝑘𝑥 + 16 = 0 имеет два положительных корня.
Решение. D=k2 – 64. Два корня уравнение имеет при D>0, т.е при k>|8|.
Положительными эти корни будут если коэффициент р= - k при х меньше
0, т.е. при k>0. Отсюда два положительных корня уравнение имеет при k>8.
Ответ: (8; +∞)
При каких значениях параметра а…
1) оба корня уравнения (𝑎 − 2)𝑥 2 + 8𝑥 + 𝑎 + 4 = 0 будут положительны?
2) уравнение 𝑥 2 − 2(2𝑎 + 1)|𝑥| + 3𝑎2 + 6𝑎 = 0 имеет два различных корня?
3) уравнение 𝑥 4 − (𝑎 − 3)𝑥 2 + 𝑎 = 0 не имеет корней?
4) уравнение
5)
6)
7)
8)
9)
10)
𝑥+2𝑎
𝑥+1
+
2𝑎−3𝑥
𝑥−3
= 2 имеет единственное решение?
Квадратные уравнения с ограничениями на корни
Существует шесть различных случаев расположения параболы 𝑦(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 на плоскости в зависимости от коэффициента а и дискриминанта
D.
2
Чтобы получить правильные ограничения на коэффициенты необходимо
учитывать:
1) знак числа а показывает, куда направлены ветви параболы: если a>0 –
вверх, если а<0 – вниз;
2) знак дискриминанта показывает, пересекает ли парабола ось Ох: если
D>0, то парабола пересекает ось в двух точках, если D=0 – касается в одной
точке, если D<0 – не пересекает;
3) прямая х=−
𝑏
2𝑎
- ось параболы и одновременно ось симметрии;
4) парабола 𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 проходит через некторую точку А(d; 0)
на оси Ох тогда и только тогда, когда y(d)=0.
Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, m и n –
некоторые числа.
Для того чтобы
Необходимо и достаточно
Расположение параболы
𝒚(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
𝑥 < 𝑚,
{ 𝑥1 < 𝑚
2
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
a>0
−
−
< 𝑚; y(m)>0
𝑏
2𝑎
< 𝑚; y(m)<0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
a0
−
a>0
2𝑎
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
a<0
𝑥 > 𝑚,
{ 𝑥1 > 𝑚
2
𝑏
𝑏
2𝑎
< 𝑚; a·y(m)>0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
−
𝑏
2𝑎
> 𝑚; y(m)>0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
a<0
−
−
x1, x2(m; n)
2𝑎
> 𝑚; y(m)<0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
a0
𝑥1 < 𝑚 < 𝑥2
𝑏
𝑏
2𝑎
> 𝑚; a·y(m)>0
a>0
y(m)<0
a<0
y(m)>0
a0
a·y(m)<0
a>0
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
y(m)>0; y(n)>0;
m<−
a<0
𝑏
2𝑎
<𝑛
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
y(m)<0; y(n)<0;
m<−
a0
𝑏
2𝑎
<𝑛
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0;
a·y(m)>0; a·y(n)>0;
m<−
𝑥1 < 𝑚 < 𝑛 < 𝑥2
a>0
𝑏
2𝑎
<𝑛
y(m)<0; y(n)<0
𝑥1 < 𝑥2
a<0
y(m)>0; y(n)>0
a0
a·y(m)<0; a·y(n)<0
a>0
y(m)>0; y(n)<0
a<0
y(m)<0; y(n)>0
a0
a·y(m)>0; a·y(n)<0
a>0
y(m)<0; y(n)>0
a<0
y(m)>0; y(n)<0
a0
a·y(m)<0; a·y(n)>0
x1(m; n)
x2(m; n)
𝑥1 < 𝑥2
x2(m; n)
x1(m; n)
Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения
(2𝑎 − 1)𝑥 2 + (𝑎 + 1)𝑥 + 2𝑎 + 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение. Рассмотрим функцию 𝑦(𝑥) = (2𝑎 − 1)𝑥 2 + (𝑎 + 1)𝑥 + 2𝑎 + 1.
По условию а0,5. График функции расположен следующим образом:
или
.
2𝑎 − 1 > 0,
Запишем условия для каждого расположения параболы: {
или
𝑦(1) < 0
2𝑎 − 1 < 0,
.
{
𝑦(1) > 0
Объединим эти две системы в одно условие: (2a – 1)y(1)<0. Найдем
y(1)=2a – 1+a+1+2a+1=5a+1. Тогда (2a – 1)(5a+1)<0.
Решим неравенство методом интервалов:
Ответ: ( - 0,2; 0,5)
При каких значениях параметра а…
1) корни уравнения 4𝑥 2 − (3𝑎 + 1)𝑥 − 𝑎 − 2 = 0 заключены в интервале ( - 1;
2)?
2) оба корня уравнения 𝑥 2 − 3𝑎𝑥 + 4𝑎 = 0 больше 2?
3) оба корня уравнения (1 + 𝑎)𝑥 2 − 3𝑎𝑥 + 4𝑎 = 0 больше1?
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)