Лекция «Интегральное исчисление

ЛЕКЦИЯ № 2
Тема: Интегральное исчисление
Основные вопросы темы:
1. Первообразные функций и неопределенный интеграл
2. Основные свойства и формулы неопределенного интеграла
3. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного
интеграла. Основные свойства.
4. Дифференциальные уравнения.
5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Исторические сведения.
История понятия «интеграл» тесно связана с задачами на вычисление
площадей, поверхностей и объемов тел. Само слово «интеграл» придумал
Бернулли в 1690 г., которое переводится как «приводить в прежнее
состояние».
1. Первообразная функции
Определение 1. Функция F (х) называется первообразной для функции f (x),
если выполняется равенство 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥).
Например:
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 ⟹ 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 , т. к. (𝑥 3 )′ = 3𝑥 2 .
2) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ⟹ 𝐹(𝑥) = sin 𝑥 , т. к. (sin 𝑥)′ = cos 𝑥.
Определение 2. Если функции f (x) имеет первообразную F (х), то она имеет
бесконечное множество первообразных вида F (х) + с, где с =const.
Например:
𝑓(𝑥) = 5𝑥 4
𝐹(𝑥) = 𝑥 5 , т. к. (𝑥 5 )′ = 5𝑥 4
𝐹(𝑥) = 𝑥 5 + 11, т. к. (𝑥 5 + 11)′ = 5𝑥 4
𝐹(𝑥) = 𝑥 5 − 12, т. к. (𝑥 5 − 12)′ = 5𝑥 4
Определение 3. С геометрической точки зрения графики первообразной
можно получить друг из друга параллельным переносом вдоль оси ОУ.
y = F(x) + c
y
y = F(x)
y = F(x) – c
x
0
Определение 4. Процесс нахождения
интегрированием.
Интегрирование
–
дифференцированию.
первообразной называется
это
действие,
обратное
Определение 5. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется
совокупность всех первообразных вида F (х) + с и обозначается
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, где
f (x) – подынтегральная функция
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – подынтегральное выражение.
Например:
∫ 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 𝑐.
2. Основные свойства и формулы неопределенного интеграла
1) интеграл от суммы
∫(𝑓(𝑥) ± 𝜑(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥.
2) постоянный множитель можно выносить за знак ∫
∫ 𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
3) интеграл от сложной функции
1
∫ 𝑓(𝑘𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑘 𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) + 𝑐.
Формулы интегрирования
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
𝑎𝑥
8)
9)
+𝑐
∫
𝑑𝑥
𝑥
= ln|𝑥| + 𝑐
∫ cos
1
2 𝑥𝑑𝑥
= 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐
1
10) ∫
= −𝑐𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐
sin 2 𝑥𝑑𝑥
11) ∫ 1 = arcsin 𝑥 + 𝑐 = − arccos 𝑥 + 𝑐
∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑎 + 𝑐
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝑐
√1−𝑥 2
12) ∫ 1 = arctg 𝑥 + 𝑐 = − arcctg 𝑥 + 𝑐
1+𝑥 2
Например:
а) ∫ 6𝑥 5 𝑑𝑥 = 6 ∫ 𝑥 5 𝑑𝑥 = 6 ∙
𝑥6
6
б) ∫(cos 𝑥 + 3𝑥) 𝑑𝑥 = sin 𝑥 +
+ 𝑐 = 𝑥 6 + 𝑐.
3𝑥 2
2
+ 𝑐.
3. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл и его свойства
Рассмотрим на плоскости ХоY фигуру, ограниченную сверху графиком
функции y = f (x), снизу на оси ох отрезком [a;b], с боков прямыми x=a, x=b.
y
x=a
x=b
y=f(x)
0
a
b
x
Такая фигура называется криволинейной трапецией.
Определение 6. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная
линиями:
сверху – графиком функции;
снизу – отрезком [a;b], лежащим на оси ох;
с боков прямыми x=a, x=b.
Определение 7. Определенным интегралом называется площадь
𝑏
криволинейной трапеции и обозначается ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑆кр.тр. ,
где a – нижняя граница интегрирования, b – верхняя граница
интегрирования,
f (x) – подынтегральная функция.
Формула Ньютона-Лейбница
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝐴)
𝑎
Например:
1)
2
∫0 𝑥 3 𝑑𝑥
=
𝑥4
2
| =
24
4 0
4
−
04
4
=4
𝜋
3
𝜋
3
𝜋
1
1
3
2
2
2) ∫0 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥|0 = − cos + cos 0 = − + 1 = .
Основные свойства
𝑎
1) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑏
𝑎
2) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑐
𝑏
3) ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, если все интегралы существуют
Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской
фигуры
1
Пример. Вычислить Sф, ограниченной линиями: 𝑦 = , 𝑥 = 1, 𝑥 = 𝑒.
𝑥
Построим данную фигуру.
1
𝑦 = – гипербола,
𝑥
x = 1, прямая параллельная оси oy,
x = e, прямая параллельная оси oy.
y
y=
0
e≈2.7185
l
x
x=l
x=e
Построенная фигура является криволинейной трапецией.
𝑒1
𝑆ф = ∫1 𝑑𝑥 = ln|𝑥||1𝑒 = ln 𝑒 − ln 1 = 1 − 0 = 1(ед2 ).
𝑥
4. Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения имеют широкое применение в медицине:
1) для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и
стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови;
2) для описания медико-биологических приложений ультразвука УЗИ,
ультразвуковая физиотерапия;
3) для вычисления доли убыли концентрации лекарственного вещества после
введения в организм (фармакологическая кинетика).
Определение 8. Дифференциальным уравнением называется уравнение,
связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у
и ее производные 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0; 𝐹(𝑥, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 0 .
Определение 9. Дифференциальное уравнение называется обыкновенным,
если искомая функция зависит от одной независимой переменной.
Определение 10. Порядком дифференциального уравнения называется
порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.
Например:
𝑦 ′′′ = ln 𝑥 – уравнение третьего порядка.
Определение 11. Решением дифференциального уравнения называется такая
функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Определение 12. Общим решением дифференциального уравнения
называется такое решение, в которое входит столько независимых
постоянных, каков порядок уравнения.
Определение 13. Дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение, в которое входят производные первого порядка
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) = 0.
5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 14. Дифференциальным уравнением с разделяющимися
переменными называется уравнение вида
Для решения разделим переменные
𝑑𝑦
𝜑(𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥)𝜑(𝑦).
= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, а затем проинтегрируем
обе части.
Например:
𝑦′ −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3
cos
=
𝑑𝑦 =
2𝑥
= 0. (𝑦 ′ =
𝑑𝑥
𝑑𝑦
)
3
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
3
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
3
𝑑𝑥 ⟹ ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2 𝑑𝑥 ⟹ 𝑦 = 3𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 .
𝑐𝑜𝑠 𝑥