Монотонность (возрастание и убывание) функций

Монотонность (возрастание и убывание) функций
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если на
этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее
значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2)>f(x1).
Например, функция у=2х является возрастающей на всей числовой оси;
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если на этом
промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение
функции, т.е. если x2>x1, то f(x2)<f(x1).
Функция у=3х2 является убывающей на промежутке ( - ∞; 0] и
возрастающей на промежутке [0; +∞).
Функцию f называют нестрого возрастающей (нестрого убывающей)
на Х, если из х1<х2 (х1, х2Х) следует f(x1)f(x2) (f(x1)f(x2)).
Функции, возрастающие или убывающие на Х, называют монотонными
на Х.
Функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют
нестрого монотонными на Х.
1) Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа с
функция f+c тоже возрастает на Х;
2) Если функция f возрастает на множестве Х и с>0, то функция fc тоже
возрастает на Х;
3) Если функция f возрастает на множестве Х, то функция – f убывает на
этом множестве;
1
4) Если функция f возрастает и сохраняет знак на множестве Х, то функция
убывает на этом множестве;
𝑓
5) Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже
возрастает на этом множестве;
6) Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их
произведение fg тоже возрастает на Х;
7) Если функция f возрастает и неотрицательна на Х и n – натуральное
число, то функция fn тоже возрастает на Х;
8) Если функция f возрастает на множестве Х, а функция g возрастает на
множестве значений E(f) функции f, то композиция g◦f этих функций
возрастает на Х.
Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т.е. f(x)>0
или f(x)<0), называются промежутками знакопостоянства.
Значения аргумента xD(y) при которых функция f(x)=0 называются нулями
функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.
Непрерывность функции
Если в данной точке у функции разрыв, то это означает, что при
маленьком изменении аргумента значение функции совершает скачок.
Функция непрерывна в данной точке, если при маленьком изменении
аргумента мало будут меняться ее значения.
Пусть функция f монотонна на конечном промежутке [a; b]. Пусть f(a)=c
и f(b)=d. Непрерывность функции означает, что при изменении аргумента от a
до b она принимает без пропусков все промежуточные значения от с до d.
Монотонная функция
промежуточные значения.
непрерывна,
если
она
принимает
все
Примеры решения задач
Пример 1. Доказать, что функция
1
𝑥 4 +3𝑥 2 +2
убывает на отрезке [0; +∞).
Решение. Так как функция х неотрицательна и возрастает на [0; +∞), то
теми же свойствами обладают и функции х4 и 3х2, следовательно, функция
х4+3х2+2 тоже возрастает на [0; +∞).
Отсюда функция
1
𝑥 4 +3𝑥 2 +2
убывает на этом промежутке.
Пример 2. Используя определение монотонной функции, найти значения
а, при которых функция 𝑓(𝑥) = (𝑎2 − 4)𝑥 + 𝑎 − 1 где xR монотонно
возрастает.
Решение. Пусть x2>x1. Функция монотонно возрастает, если выполняется
условие f(x2)>f(x1) или f(x2) – f(x1)=0. Это означает, что f(x2) – f(x1)= (𝑎2 − 4)𝑥2 +
𝑎 − 1- (𝑎2 − 4)𝑥1 − 𝑎 + 1=(𝑎2 − 4)(𝑥2 − 𝑥1 )>0.
Поскольку x2 – x1>0 последнее неравенство выполняется, если a2 – 4>0
т.е. a( - ∞; - 2)(2; +∞).
Ответ: a( - ∞; - 2)(2; +∞)
1, 𝑥 < −1,
Пример 3. Дана функция {𝑥 2 , −1 ≤ 𝑥 < 2,. Определить промежутки
𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 2
знакопостоянства функции, нули функции.
Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические
выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно,
D(y)=R.
1. Исследуем функцию при x< - 1. На данном промежутке функция
принимает значение, равное 1, т. е. она знакоположительна и нулей функции
нет.
2. Пусть −1 ≤ 𝑥 < 2. При таком условии функция задается формулой
y=x2 и x2>0, x[ - 1; 2). Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль x=0.
3. Пусть x2. Очевидно, что при этом условии y>0 так как y=x+2. Нулей
функции на этом промежутке нет.
Упражнения
1. Исследуйте на возрастание и убывание функции:
1) (𝑥 − 2)2 + 1
5)
9)
2)
1
6)
𝑥 2 −4𝑥+5
1
−1
𝑥 2 −6𝑥+8
1
(𝑥 2 −6𝑥+8)2
10)
𝑥 2 +4
3)
7)
𝑥 2 −8𝑥+15
4) 3(𝑥 − 2)4 + 2(𝑥 − 2)2 + 5
𝑥 2 −8𝑥+17
𝑥2
8) 𝑥 8 + 6𝑥 4 + 5𝑥 2 + 7
𝑥 2 +1
𝑥 2 +1
𝑥 2 +4
2. Укажите для функции промежутки возрастания (убывания), если:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
2) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6
3) 𝑓(𝑥) = −𝑥 4 4) 𝑓(𝑥) = − 7
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3
7) 𝑓(𝑥) = |𝑥|
9) 𝑓(𝑥) = −4𝑥
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝑥
8) 𝑓(𝑥) =
6
𝑥
3. Функция является возрастающей в области определения. Сравните значения
функции:
1) 𝑓(5) и 𝑓(−2)
1
5) 𝑓(√2) и 𝑓(√3)
1
1
9) 𝑓 (2 ) и 𝑓(2 )
3
4
2) 𝑓 ( ) и 𝑓( )
3
4
1
3) 𝑓(2√2) и 𝑓(√11) 4) 𝑓 (− 1) и 𝑓(− 2)
6) 𝑓(−8) и 𝑓(8)
7) 𝑓 (− ) и 𝑓(− )
5
7
10) 𝑓(1,02) и 𝑓(1,2)
5
4
5
5
8) 𝑓(3√2) и 𝑓(√19)
4. Функция является убывающей в области определения. Сравните значения
функции:
1) f(29) и f(30)
2
4
2) 𝑓 (− ) и 𝑓(− )
3
5
3) 𝑓(√2) и 𝑓(√3)
5) 𝑓 (− ) и 𝑓(− )
5
7
6) f( - 100) и f(200)
7) 𝑓 ( ) и 𝑓( )
7
21
9) 𝑓(1,03) и 𝑓(1,3)
10) 𝑓 ( ) и 𝑓( )
7
21
4
5
1
5
4) 𝑓(3√2) и 𝑓(√19)
17
8) 𝑓(−7) и 𝑓(7)
2
5. Укажите промежутки знакопостоянства функции:
1) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 7𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 4 − 3√6 − 𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3𝑥 2
5) 𝑓(𝑥) =
7) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 5𝑥
8) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 − 10,15
1
𝑥+3
−1
3) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−5
+2
6) 𝑓(𝑥) = 8 − (𝑥 + 2)3
9) 𝑓(𝑥) = 3 − 5√2 − 𝑥
10) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 2 + 12𝑥
6. Докажите, что функция:
1) f(x)=x3 – 3x убывает на отрезке [ - 1; 1]
2) f(x)=x3 – 3x2 убывает на отрезке [0; 2]
2
3) f(x)=3x -2x возрастает на отрезке [2; 3]
2
4) f(x)=22х-x убывает на отрезке [2; 3]
5) f(x)=x3 – 3x возрастает на промежутках ( - ∞; 1] и [1; +∞)
6) f(x)=x3 – 3x2 возрастает на промежутках ( - ∞; 0] и [2; +∞)
7) 𝑓(𝑥) =
3
2𝑥+1
убывает на промежутке ( - ∞; - 0,5)
8) 𝑓(𝑥) = −5𝑥 2 + 6𝑥 + 19 возрастает на промежутке ( - ∞; 0,6)
9)
10)
7. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки
монотонности:
2, 𝑥 < −5,
1) 𝑦 = {|𝑥 − 4|𝑥| + 3|, −5 ≤ 𝑥 ≤ 6,
2 − (𝑥 + 1)2 , 𝑥 > 6
2
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
8. Найдите промежуток убывания функции:
𝑎2 +2
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1) 𝑦 =
10)
𝑥+4