( ) § 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

16
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕСТВИТЕЛЬНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
1. Понятие функции. Способы задания
Пусть D - произвольное подмножество действительных чисел ( D ⊆ R) . Если
каждому числу x ∈ D поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число y = f ( x ) , то говорят, что на множестве D определена числовая
функция f . Множество D называется областью определения функции , а множество
E = { y ∈ R y = f ( x ), x ∈ D} -множеством значений функции.
f(x)
R
f
R
x
Термины функция, отображение, преобразования в дальнейшем будут употребляться как синонимы.
Принята следующая терминология: x - независимая переменная или аргумент, у - зависимая переменная.
Наиболее часто употребляемые способы задания функций : аналитический,
табличный, графический и программный.
Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы конкретно устанавливается алгоритм вычисления.
Аналитическая функция может задаваться с помощью нескольких формул (составная функция).
⎧x + 1, ∀x ∈( − 5;0)
⎪
f ( x ) = ⎨0 x = 0
⎪ 2
⎩x − 6 x ∈( 0;3)
17
y
⎧ x + 1, ∀x ∈ (− 5;0 )
⎪
f ( x) = ⎨0 x = 0
⎪ 2
⎩ x − 6 x ∈ (0;3)
3
1
0
Функция знака:
3
x
-6
⎧− 1, ∀x < 0
⎪
sgn x = ⎨0, x = 0
⎪1
∀x > 0
⎩
y
⎧− 1, ∀x < 0
⎪
sgn x = ⎨0, x = 0
⎪1
∀x > 0
⎩
1
0
x
-1
Функция Дирихле (Петер Густав Лежен Дирихле 1805-1859 )
⎧1, если х - рациональное
f (x ) = ⎨
⎩0, если х - иррациональное
Аналитически функция может быть задана неявно уравнением F(x,y)=0.
Аналитически функция может быть задана параметрически.
Табличный способ задания функции осуществляется перечислением n значений
аргумента x1 , x 2 , x 3 ,..., x n и соответствующих им значений функции y1 , y 2 , y3 ,..., y n
18
Графический способ задания функции состоит в представлении функции
y = f ( x ) в некоторой системе координат. Графиком функции y = f ( x ) называется
множество Γ = { M ( x , y ) ∈ R 2 y = f ( x )} .
Программный способ задания функции состоит в описании функции на одном
из языков программирования.
2. Основные характеристики поведения функции
Одной из основных задач математического анализа является изучение поведения (свойств) функций. Средствами элементарной математики для функции y = f ( x )
в большинстве случаев можно определить следующие характеристики :
-Нули функции и промежутки знакопостоянства
-Периодичность функции
y
x
0
T
T
T
Определение Функция f называется периодической если для нее существует
такое число T ≠ 0 , что выполняются следующие условия:
1. при любом x из области определения x − T и x + T принадлежат области определения;
2. f (x ) = f (x − T ) = f ( x + T )
При этом число T называется периодом функции.
Замечание: Если число T является периодом функции, то для ∀n ∈ N число nT
также является периодом, тогда число T называют главным периодом.
-Четность и нечетность функции
Функция y = f ( x ) называется четной ⇔ ∀x ∈ D( f ):( − x ∈ D( f ) ⇒ f ( − x ) = f ( x ))
19
y
-x
0
x
x
f −x = f x
Функция y = f ( x ) называется нечетной
⇔ ∀x ∈ D( f ):( − x ∈ D( f ) ⇒ f ( − x ) = − f ( x ))
y
f −x =−f x
-x
0
x
x
-Монотонные функции
Функция y = f ( x ) возрастает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
y
f(x)
0
x
a
b
f(x) возрастает на [a;b]
Функция y = f ( x ) убывает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 )
20
y
f(x)
x
0
a
b
f(x) убывает на [a;b]
Функция y = f ( x ) не убывает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x 2 )
y
f(x)
x
0
a
b
f(x) не убывает на [a;b]
Функция y = f ( x ) не возрастает на Х ⇔ ∀x1 , x 2 ∈ X : x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x 2 )
y
f(x)
0
x
a
b
f(x) не возрастает на [a;b]
-Ограниченные функции
21
Функция y = f ( x ) ограничена сверху на Х ⇔ ∃M ∈ R:∀x ∈ X ⇒ f ( x ) ≤ M .
y
x
0
a
b
Функция y = f ( x ) ограничена снизу на Х ⇔ ∃M ∈ R:∀x ∈ X ⇒ f ( x ) ≥ M .
y
x
0
a
b
Функция y = f ( x ) ограничена на Х ⇔ ∃M ∈ R: ∀x ∈ X ⇒ f ( x ) ≤ M .
y
f x ≤ M
0
a
b
x
22
Определение Функция y = f ( x ) называется неограниченной сверху на множестве Х⊆D(f), если для любого числа М существует число х∈D(f), такое, что f ( x ) ≥ M .
3. Сложная функция, обратная функция
Сложная функция. Пусть на некотором множестве D определена числовая функция
u = ϕ ( x ) и Е( u )- множество значений функции u. Далее пусть на множестве Е( u ) задана функция y = f ( u ), ( D( f ) ⊆ E ( u))
тогда функция ϕ переводит элемент х в элемент u, а функция f переводит элемент u в
элемент y :
ϕ
f
x⎯
⎯→ u ⎯⎯→ y ⇔ y = f (ϕ ( x ) ) ⇔ ( f o ϕ )
Таким образом мы получаем сложную функцию (функция от функции) или композицию фуннкций.
y=f(u)
R
R
R
x
ϕ
f
x⎯
⎯→
u⎯
⎯→
y ⇔ y = f (ϕ (x )) ⇔ ( f o ϕ )
Обратная функция. Функция y = f ( x ) является отображением множества
D( f ) → E ( f ) , где D( f ) - область определения; E ( f ) - множество значений функции
y = f (x ) .
Пусть y = f ( x )( D ⎯⎯f → E ) - взаимно однозначное (биективное) отображение.
Так как при биективном отображении каждому элементу y ∈ E ( f ) ставится в соответствие единственный элемент x ∈ D( f ) , то говорят, что на множестве Е определена
функция обратная к функции y = f ( x ) , которую обозначают x = f −1 ( y ) .
23
y=f(x)
R
R
-1
x=f (y)
Примером обратной функции к y = x 3 является функция x = 3 y
Функция, имеющая обратную называется обратимой.
Теорема Если числовая функция y = f ( x ) монотонна, то существует обратная функция x = f −1 ( y ) . При этом, если f - возрастающая то и f −1 - возрастающая, а
, если f - убывающая то и f −1 - убывающая.
Пример Показать, что функция y = 3x + 2 имеет обратную и найти ее аналитическое выражение.
4. Основные числовые функции и их графики
Линейная функция y = ax + b ( a, b ∈ R)
Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c ( a, b, c ∈ R)
Степенная функция y = x α Рассматриваются 4 случая
1. α = 2n
y
1
-1
0
1
x
24
2. α = 2n + 1
y
y-x
1
-1
0
1
x
-1
y
3. α = −2n
1
-1
4. α = −2n + 1
0
1
x
1
x
y
1
-1
0
-1
25
Показательная функция y = a x
Логарифмическая функция y = log a x
Тригонометрические функции
1. y = sin x
2. y = cos x
3. y = tgx
4. y = ctgx
Обратные тригонометрические функции
Гиперболические функции
ex + e−x
четная на R
1. y = chx =
2
y
1
-1
1
0
x
ex − e− x
нечетная и возрастает на R
2. y = shx =
2
y
0
x
26
3. y = thx =
shx
chx
4. y = cthx =
chx
shx
y
1
-1
0
-1
1
x