Тема: Возрастание и убывание функции, промежутки

Тема: Возрастание и убывание функции, промежутки знакопостоянства, нули функции,
наибольшее и наименьшее значения функции.
ФИО педагога: Артемьева Ирина Викторовна
Место работы: МОУ Пятницкая ООШ
Должность: учитель математики
Предмет: математика (алгебра)
Класс: 8
УМК: Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова Математика 8, Просвещение, Москва 2007
Объем учебного времени на тему: 14 часов
Место урока в теме: Урок «Возрастание и убывание функции, промежутки знакопостоянства, нули
функции, наибольшее и наименьшее значения функции» - 8 урок по теме «Функции»
Ц е л ь : формировать умение находить свойства функций с опорой на их
алгебраическую и геометрическую модели.
Ход урока
I.
Организационный момент.
II. Устная работа.
1. На рисунке, изображен график функций на отрезке [–4; 4]. Найдите:
а) область определения функции;
б) нули функции;
в) промежутки, в которых значения функции положительны, и промежутки, в которых
значения функции отрицательны;
г) наибольшее и наименьшее значения функции;
д) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых функция
убывает.
2. Постройте график какой-либо функции y = f (x) такой, что:
а) область определения функции – отрезок [–2; 3], наибольшее значение равно 4, а
наименьшее равно –1;
б) функция возрастает при х ≤ 2, убывает при х ≥ 2, а ее нулями являются числа 3 и –1;
в) область определения функции – отрезок [0; 4], наибольшее значение равно 5, а
наименьшее равно 1, и функция является возрастающей на всей области определения;
г) функция положительна на промежутке [–4; 1), отрицательна на промежутке (1; 3],
убывает на отрезке [–4; 2] и возрастает на отрезке [2; 3];
д) функция возрастает при х ≤ 3 и при х ≥ 5; убывает при 3 ≤ х ≤ 5; f (3) = 2, f (5) =
–1
II. Проверочная работа.
Вариант I
1. На рисунке 2 изображен график функции y = f (x) на отрезке [–5; 3]. Ответьте на
следующие в о п р о с ы :
Рис.2
а) Есть ли у функции наибольшее и наименьшее значения; если есть, то чему они
равны?
б) Укажите нули функции.
в) Укажите промежутки, на которых функция возрастает.
г) Укажите промежутки, на которых функция убывает.
2*. Постройте график какой-нибудь функции, определенной на всей числовой оси,
возрастающей при х ≤ 2, убывающей при х ≥ 2, имеющей наибольшее значение, равное 3,
и один нуль.
III. Формирование умений и навыков.
1. № 744 (а, б), 745 (а, в), 749 (а, в, д).
Для нахождения нулей функций нужно решить соответствующие уравнения.
Дополнительно можно дать учащимся еще несколько функций, для которых требуется
найти нули:
при x  1,
х
y
 x  3 при x  1.
а)
2

при x  1,
х
y

 x  5 при x  1.
б)
2. № 750.
Самым простым способом соотношения графика с формулой является нахождение
точек пересечения графиков с осями координат. Во всех трех случаях точка пересечения
с осью у одинакова, поэтому остается выяснить точки пересечения с осью х. Для этого
нужно найти корни каждого квадратного трехчлена.
3. № 751 (а).
Очевидно, что самым простым примером может служить функция y = (x + 3)(x –
1)(x – 7). Однако нужно стремиться, чтобы учащиеся придумали как можно больше
разнообразных функций, обладающих данным свойством. Например:
y = 2(x + 3)(x – 1)(x – 7);
y = –9(x + 3)(x – 1)(x – 7);
y = (x2 + 1)(x + 3)(x – 1)(x – 7);
y = (–x2 – 2)(x + 3)(x – 1)(x – 7).
4. № 752.
После нахождения нулей функций можно отбросить первую из них – функцию f (x).
Для остальных трех надо найти точку пересечения графиков с осью у. Для этого
нужно выполнить раскрытие скобок и найти свободный член. Во второй формуле
свободный член будет отрицательным, то есть ордината точки пересечения графика
функции g (x) меньше нуля, а на данном графике она больше нуля.
Находим, что функция h (x) пересекает ось у в точке (0; 14), а функция p (x) – в точке
(0; 7). Значит, на рисунке изображен график функции h (x).
5. № 753 (а).
Сначала необходимо раскрыть знак модуля:
если
х
≤ 1, то –1 ≤ х ≤ 1;
х
если
> 1, то х > 1 или х < –1.
Перепишем условия, задающие функцию:
1, если x  1,

у   х 2 , если  1  x  1,
1, если x  1.

Получим следующий график:
V. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Какие свойства функции можно найти по ее графику?
– Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?
– Как по графику найти нули функции?
– Как по графику найти промежутки, в которых функция принимает положительные
значения; отрицательные значения?
– Как по графику определить промежутки, в которых функция возрастает; убывает?
– Как найти нули функции по ее графику?
– Как найти нули функции, зная формулу, задающую эту функцию?
– Как по графику найти промежутки возрастания и убывания функции?
Полезно также при подведении итогов предложить учащимся выполнить задание.
Задание. Определить, можно ли начертить график функции такой, что:
а) она возрастает на всей числовой оси и имеет два нуля;
б) убывает на всей числовой оси и все ее значения положительны;
в) функция возрастает на промежутке [0; 5] и принимает положительные значения на
промежутке [0; 3) и отрицательные на промежутке (3; 5].
Если да, то приведите примеры; если нет, то объясните почему.
Домашнее задание: № 741 (б), 747 (г).
Д о п о л н и т е л ь н о : № 753 (б).