Формир основных матем понятий в 7
advertisement
Группа № 1. Формирование основных математических понятий в 7-9 классах В условиях инновационной образовательной среды учащиеся выступают как субъект деятельности. При этом учителю необходимо сделать акцент на формировании логического мышления учащихся для достижения результатов обучения (компетенций) и, как следствие, гармоничному (соотношение логика – интуиция) развитию учащихся. Методы, приемы, формы организации деятельности обучающихся должны быть направлены на их активную познавательную самостоятельную деятельность: знания учитель не предлагает в готовом виде, а организует их поиск обучающимися. Эта работа приводит к росту сознательного изучения материала, всестороннему развитию обучающихся, повышению учебной мотивации. Критериями уровня сформированности логического мышления выбраны умения: 1.применять знания в новых ситуациях, 2.выявлять причинно-следственные связи, 3. логично объяснять результат. Осознанное изучение приемов логического мышления приводит к более высокому уровню сформированности многих научных понятий, к росту учебной мотивации, к развитию когнитивных и креативных способностей обучающихся, их учебной самостоятельности. Логическое мышление является средством познания объективного мира, в процессе логического мышления происходит отражение мира в определенных формах и законах. Под формами логического мышления понимаются: - понятия, - суждения, - умозаключения. Логическое мышление в процессе оперирования понятиями, суждениями, умозаключениями подчиняется основным формально-логическим законам (закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания) и основным законам материалистической диалектики (закон единства и борьбы противоположностей, закон взаимного перехода количественных и качественных изменений, закон отрицания отрицания) Последние законы всеобщие, они действуют в природе, обществе, мышлении. Кроме законов диалектики в объективном мире существуют общенаучные законы (закон сохранения энергии) и законы конкретных наук (математики, физики, химии, биологии и др.). Развивать логическое мышление в процессе обучения это значит: развивать у учащихся умение сравнивать наблюдаемые предметы, находить в них общие свойства и различия; вырабатывать умение выделять существенные свойства предметов и отвлекать (абстрагировать) их от второстепенных, несущественных; учить детей расчленять (анализировать) предмет на составные части в целях познания каждой составной части и соединять (синтезировать) расчлененные мысленно предметы в одно целое, познавая при этом взаимодействие частей и предмет как единое целое; учить школьников делать правильные выводы из наблюдений или фактов, уметь проверять эти выводы; прививать умение обобщать факты; развивать у учащихся умение убедительно доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения. Для маленьких детей еще не свойственно обдумывать что-то абстрактно, в уме. Самые первые стадии формирования логического мышления у малышей – наглядно-действенное и наглядно-образное. Чтобы осмыслить – нужно видеть и трогать. Главная форма деятельности – игра. Абстрактно-логическое мышление. Функционирование данного типа мышления происходит с опорой на понятия. Понятия отражают сущность предметов и выражаются в словах или других знаках. Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Полноценное изучение математических понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы – формирование понятийного аппарата темы. Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Понятия в языке выражаются словами («клетка», «угол», «суффикс», «молекула», «монархия») или словосочетаниями («тригонометрическое уравнение», «реакция окисления»). В понятии отражаются только существенные признаки предметов. Каждый существенный признак отдельно от других является необходимым, а все вместе – достаточны для того, чтобы отличить данный предмет от всех остальных. Вывод и осмысление новых знаний понимают как выявление взаимосвязей между понятиями, а также уяснение характера взаимосвязей. Учитель всегда должен иметь в виду, что, чем больше связей удалось реализовать на уроке, тем выше уровень остаточных знаний. Для большинства учебных ситуаций верно статистически установленное “правило трех связей”, определяющее оптимальное количество взаимосвязей каждого из понятий с другими. Различают понятия в широком смысле и научные понятия. Первые формально выделяют общие (сходные) признаки предметов и явлений и закрепляют их в словах. Научные понятия отражают существенные и необходимые признаки, а слова и знаки (формулы), их выражающие, являются научными терминами. В быту, да и в науке, значение слова «понятие» может отличаться от его значения в философии или формальной логике. Понятие считается составным, если оно опирается на другие понятия, и элементарным в противном случае (например: «Элементарные понятия статистики») Понятия можно разделить на абстрактные и конкретные, и, в каждом из них, на эмпирические и теоретические. Понятие называется эмпирическим, если оно выработано на основе непосредственного сравнения общих свойств некоторого класса наличествующих (доступных для изучения) объектов или явлений, и теоретическим, если оно выработано на основе опосредованного анализа некоторого класса явлений (или объектов) при помощи ранее выработанных понятий, концепций и формализмов. Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий. Итак, логика в понятиях различает - объем (класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им) Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др. Например, понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие) По объему математические понятия делятся на + единичные (если в объем понятия входит только один предмет) Примеры единичных понятий: «наименьшее двузначное число», «цифра 5», «квадрат, длина стороны которого 10 см», «круг радиусом 5 см». + общие ( отображает признаки определенного множества предметов). Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента. Примеры общих понятий: «множество двузначных чисел», «треугольники», «уравнения», «неравенства», «числа кратные 5», «учебники математики для начальной школы». - содержание (система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс). Чтобы раскрыть содержание понятие, следует путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам По содержанию различают понятия + конъюнктивные и дизъюнктивные, Понятия называются конъюнктивными, если их признаки взаимосвязаны и по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса, признаки связаны союзом «и». Например, объекты, относящиеся к понятию треугольник, обязательно должны состоять из трех отрезков прямой и быть замкнутыми. Понятия называются дизъюнктивными, если их признаки не дополняют друг друга, а заменяют, признаки связаны союзом «или». Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т.д. + абсолютные и конкретные, Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д. + безотносительные и относительные. Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона. Между содержанием и объемом понятия существует зависимость: чем меньший объем понятия, тем больше его содержание. В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими понятиями. В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость. В родовидовом отношении находятся понятия «сложение (вычитание, умножение, деление)» и «арифметическое действие», понятие «острый (прямой, тупой) угол» и «угол». Группа № 2. Математические определения. Типы ошибок в определении понятий Заключительный этап формирования понятия – его определение, т.е. принятие условного соглашения. Под определением понимается перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведённых в связное предложение (речевое или символическое). Словесное определение понятия называется термином. Например, «число», «треугольник», «круг», «уравнение» - термины. Определить понятие - это перечислить все существенные признаки объектов, которые входят в данное понятие. Определение решает две задачи: выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других и указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки. Знание определения не гарантирует усвоения понятия. Методическая работа с понятиями должна быть направлена на преодоление формализма, который проявляется в том, что учащиеся не могут распознать определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается. Определения подразделяются на: а) явные, в которых чётко выделены определяемое и определяющие понятия (например, определение через ближайший род и видовое отличие); б) неявные, которые строятся по принципу замены одного понятия другим с более широким объёмом и окончание цепочки есть неопределяемое понятие, т.е. формально-логическое определение (например, квадрат – ромб с прямым углом; ромб – параллелограмм с равными смежными сторонами; параллелограмм – четырёхугольник, с попарно параллельными сторонами; четырёхугольник – фигура, состоящая из 4 углов, 4 вершин, 4 сторон). Основное требование при построение определений: определяемое множество должно быть подмножеством минимального множества. Например, сравним два определения: (1) Квадрат есть ромб с прямым углом; (2) Квадрат есть параллелограмм с равными сторонами и прямым углом (избыточное). Отметим типичные ошибки, которые встречаются у учащихся при определении понятий: 1) использование не минимального множества в качестве определяющего, включение логически зависимых свойств (характерно при повторении материала). Например: а) параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны; б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она, пересекаясь с этой плоскостью, образует прямой угол с каждой прямой, проведённой на плоскости через точку пересечения, вместо: “прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна ко всем прямым этой плоскости”; 2) использование определяемого понятия и в качестве определяющего. Например, определяется прямой угол не как один из равных смежных углов, а как углы с взаимно перпендикулярными сторонами; 3) тавтология – определяется понятие через само это понятие. Например, две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия; 4) иногда в определении указывается не то определяющее множество, из которого выделяется определяемое подмножество. Например, “медиана есть прямая …” вместо ”медиана есть отрезок, соединяющий…”; 5) в определениях, даваемых учащимися, иногда совсем отсутствует определяемое понятие, что возможно лишь тогда, когда учащиеся не приучены давать полные ответы. Методика исправления ошибок в определениях предполагает, первоначально, выяснения сути допущенных ошибок, а затем предупреждение их повторения. Остенсивные определния - это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием. Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение. В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д. На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Первоначально выделяют неопределяемые понятия, на основании которых определяются математические понятия следующими способами: 1) через ближайший род и видовое отличие: а) дескриптивное (выясняющее процесс, при помощи которого определение построено, или описывающее внутреннее строение в зависимости от тех операций, при помощи которых данное определение было построено из неопределяемых понятий); б) конструктивное (или генетическое), указывающее происхождение понятия. Например: а) прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые; б) окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Примеры определений через род и видовой признак: «Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельные», «Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны», «Прямоугольником называется параллелограмм, у которого углы прямые», «Квадратом называется прямоугольник, в которым стороны равны», « Квадратом называется ромб, у которого прямые углы». Рассмотрим определения квадрата. В первом определении ближайшим родом будет «прямоугольник», а видовым признаком - «все стороны равны». В втором определении ближайший род «ромб», а видовой признак - «прямые углы». Если же взять не ближайший род («параллелограмм»), то видовых признаков квадрата будет два «Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые». 2) индуктивно. Например, определение арифметической прогрессии: 3) через абстракцию. Например, натуральное число – характеристика классов эквивалентных конечных множеств; 4) аксиоматическое (косвенное определение). Например, определение площади фигуры в геометрии: для простых фигур площадь – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами: а) равные фигуры имеют равные площади; б) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей; в) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими. Примеры генетических определений: «Угол - это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг». К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень. Например, «Натуральный ряд чисел -- это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.». Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин. Например, единицы времени год, месяц, час, минута. Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а 1= а, а 0=0 Выделяют два пути введения определения математических понятий: абстрактнодедуктивный и конкретно-индуктивный. Введение понятий абстрактно-дедуктивным методом. При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить абстрактнодедуктивный метод. Особенность этого метода состоит в том, что каждое определение вводится сразу, в готовом виде, без предварительного разъяснения на конкретных примерах и образцах. Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом: 1. Дать определение нового понятия (уравнение вида аx2–bx+c=0, гдеа≠0называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного). 2. Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия (x2+px+q=0, ax2+c=0, ax2+bx=0, ax2=0), проведя своеобразную классификацию этого понятия. В данном случае классификация может быть такой: Привести некоторые контр примеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bx+с=0 неполным квадратным уравнением). 3. Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами (x2–7x+12=0, 2x2– 32=0 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению. 4. Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известную qt 2 можно рассмотреть как квадратное уравнение qt 2 2S 0 ; использовать 2 квадратное уравнение при решении текстовых задач). формулу S Введение понятий конкретно-индуктивным методом. Сущность конкретно-индуктивного метода заключается в том, что на основе рассмотрения частных примеров учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию определения. Например, ознакомление учащихся с простыми и составным числами можно провести следующим способом: 1. На доске написать такие два ряда чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, … 2. Выявление и отбор существенных признаков данных понятий. Например, учитель может дать учащимся такое задание: найти все делители каждого из чисел, содержащихся в первом ряду, и найти все делители каждого из чисел, содержащихся во втором ряду. 3. Формулировка определения этих понятий; первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся). 4. Четкое определение (учитель); повторение определения (учащиеся). Таким образом, пользуясь конкретно-индуктивным методом, учитель дает учащимся такие конкретные примеры, в которых на первый план выступают существенные признаки данного понятия, и привлекает учащихся к этим признакам. Конкретно-индуктивный метод находит большое применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактно-дедуктивный метод. Кроме данных двух методов введения математических понятий существует еще один: Учащиеся готовятся к сознательному восприятию, к пониманию нового определения, формулировка которого им сообщается затем в готовом виде. При осуществлении данного метода и конкретноиндуктивного используется эвристический метод, в классе создается проблемная ситуация, которая способствует самостоятельному «открытию» учащимися новых знаний. В одних случаях можно составить такие упражнения, чтобы на их основе учащиеся легко и быстро сформулировали определение нового понятия. В других случаях этого добиваться не стоит, достаточно ограничиться подготовкой к восприятию нового определения. Например, приступая к изучению геометрической прогрессии, учитель предлагает следующие упражнения. Выпишите несколько первых членов последовательности (хn) , у которой х1=2, хn+1=xn∙3. Такая последовательность называется геометрической прогрессией. Попытайтесь сформулировать определение геометрической прогрессии. Упражнение учащиеся выполняют свободно, опираясь на аналогию с уже известным им определением арифметической прогрессии. Когда же вводится понятие арифметической прогрессии, то путем дополнительных вопросов также можно добиться самостоятельного формулирования учащимися определения. Но здесь на аналогию они не опираются, так как с подобным определение встречаются впервые. Поэтому с целью экономии учебного времени лучше изменить упражнение, исключив из него требование о самостоятельном формулировании определения, например: Выпишите несколько последовательных членом последовательности (хn), у которой х1=4, хn+1=xn+3. Далее учитель говорит, что такая последовательность называется арифметической прогрессией, и сам сообщает ее определение. Таким образом, метод ознакомления учащихся с новым определением выбираю в зависимости от характера изучаемого материала, наличие учебного времени, уровня развития учащихся и других факторов. Учитывая, что упражнения являются основным средством формирования понятий в средней школе, сопоставим в виде схемы каждый этап формирования понятия и соответствующие ему виды упражнений: Отсюда следует, что одна из основных целей методики преподавания математике – выявить наиболее рациональные способы, с помощью которых можно дать определение того или иного понятия. От этого зависит, насколько хорошо у учащихся сформируется представление о новом понятии. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами. Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного. Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой -- маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д. Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения. Этапы формирования понятия Мотивация введения понятия Выделение существенных свойств понятия Усвоение логической структуры определения понятия Применение понятия Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями Упражнения, реализующие их Упражнения на применение изученных понятий и теорем. Упражнения практического характера. Упражнение на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам. Упражнения с моделями фигур. Упражнения на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия. Упражнения на выделение следствий из определения понятия. Упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий). Упражнения на составление родословной понятия. Упражнения на применение понятия в различных ситуациях. Упражнения на систематизацию понятий. так, формирование понятия осуществляется в несколько этапов: 1. мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории); 2. выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия); 3. формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия). И Этапы формирования понятия Мотивация введения понятия Выделение существенных свойств понятия Усвоение логической структуры определения понятия Применение понятия Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями Упражнения, реализующие их Упражнения на применение изученных понятий и теорем. Упражнения практического характера. Упражнение на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам. Упражнения с моделями фигур. Упражнения на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия. Упражнения на выделение следствий из определения понятия. Упражнения на дополнение условий (распознавание и выведение следствий). Упражнения на составление родословной понятия. Упражнения на применение понятия в различных ситуациях. Упражнения на систематизацию понятий. Итак, формирование понятия осуществляется в несколько этапов: 1. мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории); 2. выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия); 3. формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).
