Document 4296929

Автономное учреждение среднего профессионального
образования Ханты-Мансийского автономного округа –Югры
Сургутский профессиональный колледж
Сборник практических
работ по математике
Профиль: социально-экономический
Сургут, 2013
1
Сборник практических работ по математике.
Профиль: социально-экономический
Сургутский профессиональный колледж, 2013
Составитель: Т.Н. Масанина, преподаватель математики
Сборник составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине
«Математика», содержит девять практических работ. Предназначен для
учащихся социально-экономического профиля по профессии 260807.01
«Повар, кондитер».
Рассмотрено на заседании методического объединения «Математика, физика,
информатика». Протокол № 2 от 30.10. 2013
Рекомендовано
к
печати
Методическим
профессионального колледжа.
Протокол № 2 от 8 ноября 2013г.
2
советом
Сургутского
Оглавление
Пояснительная записка ........................................................................................ 4
Перечень практических работ ............................................................................. 5
Практическая работа №1 ..................................................................................... 6
Тема: Вычисление площадей и объёмов геометрических тел ........................... 6
Практическая работа №2 ................................................................................... 10
Тема: Решение алгебраических уравнений и неравенств ................................ 10
Практическая работа №3 ................................................................................... 12
Тема: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства ..... 12
Практическая работа №4 ................................................................................... 15
Тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства
............................................................................................................................. 15
Практическая работа №5 ................................................................................... 17
Тема: Преобразование тригонометрических выражений ................................ 17
Практическая работа №6 ................................................................................... 19
Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств ........................ 19
Практическая работа №7 ................................................................................... 22
Тема: Нахождение производной ....................................................................... 22
Практическая работа №8 .................................................................................. 24
Тема: Исследование функций с помощью производной и построение
графиков ............................................................................................................. 24
Практическая работа №9 ................................................................................... 26
Тема: Вычисление интеграла. Вычисление площадей фигур с помощью
интеграла ............................................................................................................ 26
3
Пояснительная записка
Сборник практических заданий по дисциплине «Математика»
составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине,
разработанной на основе примерной программы учебной дисциплины
«Математика» для профессий начального профессионального образования и
специальностей среднего профессионального образования 2008 года.
Сборник состоит из девяти практических работ, каждая из которых
проводится после изучения соответствующей темы курса. Сборник содержит
теоретический материал, образцы решения примеров и описание хода
выполнения практических работ, что помогает
учащимся при
самостоятельном выполнении работ. Все работы содержат задания разного
уровня сложности.
Сборник рекомендован для учащихся профессии 260807.01 «Повар,
кондитер».
4
Перечень практических работ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наименование тем
Количество
часов
Вычисление площадей и объёмов геометрических тел
2
Решение алгебраических уравнений и неравенств
2
Показательная функция. Показательные уравнения и 2
неравенства
Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения 2
и неравенства
Преобразование тригонометрических выражений
2
Решение тригонометрических уравнений и неравенств
2
Нахождение производной
2
Применение производной к построению графиков 2
функций
Вычисление интеграла. Вычисление площадей фигур с 2
помощью интеграла
Итого
18
5
Практическая работа №1
Тема: Вычисление площадей и объёмов геометрических тел
Цель: Научиться применить формулы объемов и площадей многогранников
и фигур вращения для решения задач практического содержания.
Теоретический материал
Основные формулы
№ Наименование
п/ фигуры
п
1 Куб
𝑺б
𝑺п
𝑽
𝑺б = 𝟒𝒂𝟐
𝑺п = 𝟔𝒂𝟐
𝑽 = 𝒂𝟑
2
Прямоугольный
параллелепипед
𝑺б = 𝒑 ∙ Н
𝑺п = 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 +
𝟐𝒂𝒄
𝑽=𝒂∙𝒃∙𝒄
3
Призма
𝑺б = 𝒑 ∙ Н
𝑺п = 𝑺б + 𝟐𝑺𝒐
𝑽=𝑺∙𝑯
4
Пирамида
𝑺п = 𝑺б + 𝑺𝒐
𝑽=
5
Цилиндр
𝑺б = 𝟐𝝅𝑹𝑯
6
Конус
𝑺б = 𝝅𝑹𝒍
𝑺п = 𝝅𝑹𝒍 + 𝝅𝑹𝟐
𝑽=
𝟏
𝝅𝑹𝟐 ∙ 𝑯
𝟑
7
Сфера, шар
-------------
𝑺п = 𝟒𝝅𝑹𝟐
𝑽=
𝟒
𝝅𝑹𝟑
𝟑
𝑺б =
𝟏
𝒑∙𝒉
𝟐
𝑺п = 𝟐𝝅𝑹𝑯 + 𝟐𝝅𝑹𝟐
𝟏
∙𝑺∙𝑯
𝟑
𝑽 = 𝝅𝑹𝟐 ∙ 𝑯
Ход работы
1. Записать вид геометрического тела и сделать его чертеж.
2. Выяснить, по какой формуле будете находить данные значения.
3. Выяснить. Что в этой формуле вам неизвестно.
4. Найти неизвестные величины.
5. Записать решение. Данные внести в таблицы.
Вид
Формулы,
геометрического используемые для
тела
вычисления
6
Ответ
Образец решения
Определить сумму денег, которую нужно уплатить за побелку одной
классной комнаты, ширина, длина и высота которой соответственно равны
8,6м, 4,3 м, 3,2м. Побелка одного квадратного метра стоит 360 рублей. Окна
и двери составляют 7,2% общей площади.
Решение:
1. Записать вид геометрического тела. Комната – это прямоугольный
параллелепипед.
Находим площадь стен, т.е. площадь боковой поверхности прямоугольного
параллелепипеда (призмы) по формуле: 𝑺б = 𝒑 ∙ Н.
Найдем периметр: 𝒑 = (𝟖, 𝟔 + 𝟒, 𝟑) ∙ 𝟐 = 𝟐𝟓, 𝟖 м;
𝑺б = 𝟐𝟓, 𝟖 ∙ 𝟑, 𝟐 = 𝟖𝟐, 𝟓𝟔 м𝟐 .
2. Площадь побелки составляет 100%-7,2%=92,8%.
3. Запишем 92,8% в виде числа 92,8%=0,928
4. Находим площадь побелки стен: 𝟖𝟐, 𝟓𝟔 м𝟐 ∙0,928=76,61568 м𝟐 .
5. Округлим данное число 76,61568 м𝟐 ≈77 м𝟐 .
6. Вычислим площадь потолка по формуле: 𝑺потолка = 𝒂 ∙ 𝒃.
7. 𝑺потолка = 𝟖, 𝟔 ∙ 𝟒, 𝟑 = 𝟑𝟔, 𝟗𝟖 м𝟐 .
8. Округлим число 𝟑𝟔, 𝟗𝟖 м𝟐 ≈ 𝟑𝟕 м𝟐 .
9. Найдем общую площадь для побелки: стен и потолка
10.𝑺побелки = 𝟕𝟕 м𝟐 + 𝟑𝟕 м𝟐 = 𝟏𝟏𝟒 м𝟐.
11.Найдем сумму денег, которую надо уплатить за побелку комнаты.
Так как побелка одного квадратного метра стоит 360 рублей, то
стоимость побелки всей комнаты будет равна 360 руб. ∙114=41 040руб.
12..Заполним таблицу:
Вид
Формула площади
геометрическог
о тела
Прямоугольный
параллелепипед
𝑺побелки = 𝑺б + 𝑺потолка ;
𝑺б = 𝒑 ∙ Н;
𝑺потолка = 𝒂 ∙ 𝒃;
7
Стоимость Общая
одного
стоимость
квадратног
о метра
360 руб.
41 040руб.
Решить самостоятельно
1-й вариант
1. Определить сумму денег, которую нужно уплатить за побелку одной
классной комнаты, ширина, длина и высота которой соответственно равны
9,4 м, 6,5 м, 4,2 м. Побелка одного квадратного метра стоит 80 рублей.
Окна и двери составляют 9,1% общей площади.
2. Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого
равна 50 м, ширина 25 м и глубина 4 м. Сколько плит прямоугольной
формы размером 80 см и 60 см нужно для облицовки дна и стен бассейна?
3. Ведро цилиндрической формы имеет высоту 4,9 дм, а диаметр дна 32 см.
Сколько квадратных дециметров листового железа необходимо для
изготовления ведра, если на швы нужно добавить 5% всей поверхности
ведра?
4. Автоцистерна для перевозки молока имеет форму цилиндра. Внутренний
диаметр, которого равен 1,4 м, а длина - 3,5 м. Сколько тонн молока
можно налить в такую цистерну, если заполнить ее доверху? плотность
молока 1032 кг/м3.
5. Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25
см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см3. Найти его массу.
2-й вариант
1. Комната имеет длину 6,8 м, ширину 4,7 м и высоту 3,5 м. Площадь дверей
и окон составляет 1/5 части всей площади стен. Сколько рулонов обоев
необходимо для оклеивания комнаты, если длина рулона 12 м, а ширина –
0,5 м ?
2. Для прокладывания водопроводных труб вырыли котлован длиной 257,5
м, шириной 1,2 м и глубиной 1,4 м. Сколько кубических метров земли
было вынуто из котлована?
3. Сколько необходимо краски для покраски колонны цилиндрической
формы, диаметр основания которой равен 63 см, а высота – 38 дм, если на
один квадратный метр поверхности колонны расходуется 200 г краски?
4. Вычислите количество нефти в тоннах, находящейся в цистерне
цилиндрической формы, диаметр которой равен 22 м, а высота 8м,
плотность нефти 800 кг/м3.
5. Сколько молибдена потребуется на изготовление 120 шариковых
г
подшипников, диаметр которых 0,4 см. а плотность молибдена 10,22 3 .
см
8
3-й вариант
1. Бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина основания
которого равна 2,25 м, ширина 12 дм. Емкость бака равна 6,75 м3 .
Вычислите высоту бака.
2. Комната имеет длину 8,23 м, ширину 5,5 м и высоту 4,2 м. Определить
объем комнаты и площадь, которую необходимо белить. Окна и двери
составляют 9,1% общей площади.
3. Необходимо окрасить круглую трубу диаметром 1,4 м и высотой 2,9 м.
Сколько потребуется для этого краски, если на один м2 поверхности ее
идет 250 г?
4. Сколько тонн бензина помещается в подземном бензохранилище,
имеющем цилиндрическую форму, если диаметр цилиндра равен 1,8 м, а
длина его – 6,5 м? Плотность бензина 720 кг/м3.
5. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? На
швы добавить 8% от площади поверхности мяча.
9
Практическая работа №2
Тема: Решение алгебраических уравнений и неравенств
Цель: научиться решать квадратные уравнения и неравенства, используя
формулы дискриминанта и корней уравнения.
Теоретический материал.
Приведенное квадратное уравнение: 𝒙𝟐 + 𝒑𝒙 + 𝒒 = 𝟎.
Теорема Виета:
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒑,
𝒙𝟐 ∙ 𝒙𝟐 = 𝒒.
Полное квадратное уравнение: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Его дискриминант: 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐.
Решение полного квадратного уравнения:
𝐷 > 0 ⇒ 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝐷
;
2𝑎
𝑏
𝐷 = 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 = − ;
2𝑎
𝐷 < 0 нет действительных корней.
Ход работы.
1. Решить уравнения, неравенства, найти область определения и
данные внести в таблицу.
Пример коэффициенты
Значение
Формулы
Ответ
дискриминанта для
a
b
c
вычисления
корней
2. Образец решения.
Решить уравнение: 𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0
Найдём дискриминант𝐷 = 25 + 24 = 49 > 0. Применим формулу корней
квадратного уравнения: 𝑥1,2 =
Находим по формуле:
−5 − 7
𝑥1 =
= −6,
2
Пример
𝑥 2 + 5𝑥 − 6 = 0
−5±√49
коэффиц
иенты
a b c
1 5 -6
2
.
𝑥2 =
−5 + 7
= 1.
2
Значение Формулы для
дискрими вычисления
нанта
корней
49
−𝑏 ± √𝐷
𝑥1,2 =
2𝑎
10
Ответ
𝑥1 = −6
𝑥2 = 1
Решить самостоятельно
№
п/п
1
1.1
1.2
1.3
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Решить уравнения
𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0;
2𝑥 2 − 9𝑥 + 10 = 0;
9𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = 0;
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 = 0
5𝑥 2 + 14𝑥 − 3 = 0
2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = 0
1.4
𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0;
3𝑥 4 − 7𝑥 2 + 2 = 0
𝑥 2 − 4𝑥 = 5
4𝑥 + 𝑥 2 = −15
𝑥 2 − 6𝑥
5
=
𝑥−5
5−𝑥
8
= 3𝑥 + 2
𝑥
2
2.2
2.3
Решить неравенство
𝑥 2 − 22𝑥 − 23 ≤ 0;
𝑥 2 − 3𝑥 − 10 > 0;
𝑥 2 − 8𝑥 + 15 < 0;
3𝑥 2 − 8𝑥 + 5 ≥ 0;
х2 + 3х − 40 > 0
х2 + 5х − 36 ≤ 0
2.3
(6𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 4) < 0;
(𝑥 + 2) ∙ (4𝑥 − 8) > 0
(2,5𝑥 + 5) ∙ (𝑥 − 3) < 0
3
3.1
Найти область определения
у = √𝑥 2 − 7𝑥 + 12
у = √𝑥 2 − 4
11
у = √𝑥 2 − 𝑥 − 12
Практическая работа №3
Тема: Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства
Цель: научиться строить график показательной функции. Используя свойства
показательной функции и свойства степеней, научиться решать
показательные уравнения и неравенства.
Теоретический материал
Степени чисел от 0 до 10
n
𝟐𝒏
𝟑𝒏
𝟒𝒏
𝟓𝒏
𝟔𝒏
𝟕𝒏
𝟖𝒏
𝟗𝒏
𝟏𝟎𝒏
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
9
16
25
36
49
64
81
100
3
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
4
16
81
256
625
1296
2401
4096
6561
10000
5
32
243
1024
3125
7776
16807
32768
59049
6
64
729
4096
15625
46656
117649
7
128
2187
16384
78125
279936
8
256
6561
65536
390625
9
10
512
1024
19683 59049
262144
Свойства степеней
1. 𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 ;
4.
𝒂𝒎
𝒂𝒏
2. 𝒂𝒏 ∙ 𝒃𝒏 = (𝒂 ∙ 𝒃)𝒏
𝒎
= 𝒂𝒎−𝒏
𝒂 𝒏
𝒏
5. 𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎
7. (𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎∙𝒏
8. 𝒂−𝒏 =
3. 𝒂𝟎 = 𝟏
𝒃 −𝒏
6. ( ) = ( )
𝒃
𝒂
𝟏
𝒏
𝒎
9. √𝒂𝒎 = 𝒂 𝒏
𝒂𝒏
Образец решения
Пример 1
Решить уравнение: 22х−4 = 64;
Решение: Представим 64 как 26 и перепишем заданное уравнение в виде:
22х−4 = 26 . Это уравнение равносильно уравнению: 2х − 4 =
6, откуда находим: х = 5 .
Ответ: х=5
Пример 2
1 2х−3,5
Решить уравнение: ( )
3
Решение: Преобразуем
уравнение в виде:
1 2х−3,5
(3)
1
√3
=
1
√3
как
;
1
1
1
=
32
1 2
(3)
и перепишем заданное
1
=
1 2
(3) .
Это уравнение равносильно уравнению:
12
2х − 3,5 = 0,5 , откуда находим х = 2.
Ответ: х = 2
Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)
Пример 1
Решить уравнение: 4х + 2х+1 − 24 = 0.
Решение: Заметив, что
4х = (22 )х = 22х = (2х )2 , а
2х+1 = 2 ∙ 2х
Перепишем заданное уравнение в виде:
(2х )2 + 2 ∙ 2х − 24 = 0
Вводим новую переменную: t = 2x , тогда уравнение примет вид:
t 2 + 2t − 24 = 0
Решив квадратное уравнение, получим:
t1 =4, t 2 = −6. Но так как t =
x
2 , то надо решить два уравнения:
2х = 4
и
2х ≠ −6
Решим первое уравнение:
2х = 22 отсюда следует, что х = 2.
Рассмотрим второе уравнение.
Второе уравнение не имеет решения, так как 2х > 0 для любых значений х.
Ответ: 2
Метод выноса за скобки
Пример 1
Решить уравнение: 3х+1 − 2 ∙ 3х−2 = 25
В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то
есть 3х−2 . В результате получим:
3х+1
3х−2 (
−
х−2
3
2∙3х−2
3х−2
) = 25;
3х−2 (3х+1−(х−2) − 2) = 25;
3х−2 (3х+1−х+2 − 2) = 25;
3х−2 (33 − 2) = 25;
3х−2 ∙ 25 = 25;
3х−2 = 1 ,
3х−2 = 30 , отсюда следует, что х = 2.
Ответ: х = 2.
Системы показательных уравнений
Пример 1
Решить систему.
2х + у = 1
{ х+у
3 =9
Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого
уравнения у, получим у = 1 − 2х . Тогда 3х+(1−2х) = 9 или 31−х = 32 , откуда
13
1 − х = 2, х = −1. Следовательно, у = 1 − 2 ∙ (−1), у = 3.
Ответ: (−1; 3).
№ Вариант 1
Вариант 2
п/п
1
Построить график функции
1.2
𝑦 = 2𝑥
2
2.1
Вычислить
1
5
5.1
1
Вариант 4
1 𝑥
𝑦=( )
2
1 𝑥
𝑦=( )
3
2
1
4 −2
64 ∙ ( )
9
Решить уравнения
2𝑥 = 128
7𝑥 = 49
5𝑥+1 − 5𝑥 = 20
25 −2 2 −1
( ) ∙( )
49
7
(0.008)−3 ∙ 25−1
83 ∙ 2−1
3𝑥 = 81
49𝑥 = 7
7𝑥+2 + 7𝑥 = 350
5𝑥 = 25
3 = 81𝑥
7𝑥+1 + 3 ∙ 7𝑥 = 70
5𝑥 = 625
49𝑥 = 73𝑥
2𝑥+3 − 2𝑥 = 28
22𝑥 − 6 ∙ 2𝑥 + 8 = 0
72𝑥 − 8 ∙ 7𝑥 + 7 = 0
9𝑥 − 7 ∙ 3𝑥 − 18 = 0
4𝑥 + 2𝑥 − 20 = 0
𝑥+𝑦 =5
22𝑥−𝑦 = 16
{
−
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
𝑦 = 3𝑥
Вариант 3
2
3
Решить систему
𝑥−𝑦 =4
𝑥 + 𝑦 = −2
{ 𝑥+𝑦
{ 𝑥+5𝑦
5
= 25
6
= 36
Решить неравенство
0.2𝑥 > 1
0.52𝑥−1 < 1
{
23𝑥 < 16
14
𝑥−𝑦 =5
3𝑥+2𝑦 = 9
52𝑥 > 125
Практическая работа №4
Тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и
неравенства
Цель: научиться
решать логарифмические уравнения и неравенства,
используя свойства логарифмической функции и свойства логарифмов.
Теоретический материал:
Основное логарифмическое тождество:
𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒃.
Свойство логарифмов:
1. log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐 = log 𝑎 (𝑏 ∙ 𝑐) ;
𝑏
2. log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐 = log 𝑎 ;
𝑐
𝑟
3. log 𝑎 𝑏 = 𝑟 ∙ log 𝑎 𝑏;
1
4. log 𝑎𝑟 𝑏 = log 𝑎 𝑏;
5. log 𝑎 𝑏 =
𝑟
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
.
Образец решения:
Пример 1. Решите уравнение:
переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:
Проверка:
𝑥1 = 7
lg(72 − 6) = lg(8 + 5 ∙ 7)
lg43 = lg43, 𝑥1 = 7- является корнем уравнения.
𝑥2 = −2
lg((−2)2 − 6) = lg(8 + 5(−2))
𝑙g (-2) – не существует, 𝑥2 = −2 - не является корнем уравнения.
Ответ: 𝑥 = 7
Пример 2. Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь
легко: x > 0.
Используем подстановку:
Уравнение принимает вид:
15
Обратная подстановка:
Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку
являются положительными числами.
Решить самостоятельно:
№ Вариант 1
п/п
Вариант 2
Вариант 3
1
1.1
Вычислить
log 3 1
1.2
log 7 49
log 1 49
2
2.1
2.2
Решить уравнения
log 3 x = 4
log 2 (x + 7) = 3
log 5 x = 2
log 3 (x − 9) = 1
log 3 x = −2
log 4 (2x + 1) = 0
2.3
log 5 (3x − 1) = log 5 6
log 8 (2x + 5) = log 8 7
log 0.4(3 − x) = log 0.4 (2x + 1)
2.4
lg 2 x − 5lgx + 6 = 0
lg 2 x + lgx − 6 = 0
2lg 2 x − 7lgx + 3 = 0
2.5
log 3 (x 2 − 6x + 7) = 2
log 5 (x 2 − 11x + 43) = 2
log 3 (x 2 − 6x + 17) = 2
3
3.1
Решить неравенства
log 1 x ≥ −2
log 3 x < log 3 5
log 2 x ≤ 0
log 0.5(2x + 1) < 0.5(2 − 3x)
log 2 (x − 1) < log 2 (2x −)
3
3.2
log 8 (5x − 8) < log 8 (2x + 7)
log 3 9
7
16
1
3
1
log 2
8
log 3
Практическая работа №5
Тема: Преобразование тригонометрических выражений
Цель: научиться преобразовывать тригонометрические выражения, используя
основные формулы тригонометрии.
Теоретический материал
Основные формулы тригонометрии
Синус и косинус суммы и разности аргументов:
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛽 + cos 𝛼;
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛽 + cos 𝛼;
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽;
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽;
𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽
𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) =
;
1 − 𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑡𝑔𝛽
Формулы двойного аргумента:
sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼;
cos 2𝛼 = (cos 𝛼)2 − (cos 𝛼)2 ;
2 ∙ 𝑡𝑔𝛼
𝑡𝑔2𝛼 =
;
1 − 𝑡𝑔2 𝛼
Формулы понижения степени:
1 − cos 2𝛼
(sin 𝛼)2 =
;
2
1 + cos 2𝛼
(cos 𝛼)2 =
;
2
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение:
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin
cos
;
2
2
𝛼−𝛽
𝛼+𝛽
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 sin
cos
;
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
cos
;
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin
sin
.
2
2
17
Решить самостоятельно
Вариант 1
1
1.1
2
2.1
2.2
Вариант 2
Вариант 3
Вычислить выражение, используя формулы синус и косинус суммы и
разности аргументов:
sin 1050
sin 1050
sin 750
Найдите значение выражения, используя формулы синус и косинус суммы и
разности аргументов:
cos 1070 cos 1070
+ sin 1070 sin 170
sin 630 cos 270
+ cos 630 sin 270
cos 360 cos 240
− sin 360 sin 240
sin 510 cos 210
− cos 510 sin 210
cos 1060 cos 740
− sin 1060 sin 740
sin 780 cos 330
− cos 780 sin 330
cos 1050 cos 50 + sin 1050 cos 850
sin 950 cos 50 − cos 950 sin 1850
3
3.1
Упростить выражение, используя формулы двойного аргумента:
sin 2𝛼
(cos 𝛼)2 − cos 2𝛼
(cos 750 − sin 750 )2
= sin 𝛼
cos 𝛼
(cos 150 )2 − (sin 150 )2
(cos 150 + sin 150 )2
2 sin 150 cos 150
3.2
3.3
4
4.1
4.2
4.3
sin 750 cos 50 − cos 750 cos 850
cos 3750 cos 50 − sin 150 sin 3650
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
cos − sin sin
12
4
12
4
2.3
Известно, что
𝑠𝑖𝑛 α = 0,8,
π
0< 𝛼 < 2
Известно, что
cos α = 0,8,
π
0< 𝛼 < 2
Найдите:
sin 2𝛼, cos 2𝛼
Найдите:
sin 2𝛼, cos 2𝛼
cos
Известно, что
5
sin 𝛼 = 13,
𝜋
2
<𝛼<𝜋
Найдите:
sin 2𝛼, cos 2𝛼
Представить в виде произведения:
sin 400 + sin 160
sin 520 − sin 360
cos 460 − cos 740
cos 200 + cos 400
sin 1120 − sin 380
cos 140 + cos 460
Докажите, что верно
равенство используя
формулы преобразования
сумм тригонометрических
функций в произведение:
Докажите, что верно
равенство используя
формулы преобразования
сумм тригонометрических
функций в произведение:
Докажите, что верно
равенство используя
формулы преобразования
сумм тригонометрических
функций в произведение:
sin 200 + sin 400 − cos 100 = 0
cos 760 + cos 240 − cos 260 = 0
cos 850 + cos 350 − cos 250 = 0
18
Практическая работа №6
Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств
Цель: научиться решать тригонометрические уравнения, используя свойства
обратных
тригонометрических
функций
и
формул
решения
тригонометрических уравнений.
Теоретический материал:
Формулы для повторения
arcsin(− a) = − arcsin a
arccos (−a) = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎
arctg (−a) = − arctg a
arcctg (−a) = 𝜋 − arcctg a
Общие формулы решения тригонометрических уравнений
𝑠𝑖𝑛 х = а, |а| ≤ 1; 𝐼𝐼. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = а, |а| ≤ 1
х
х = (−1)𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧 𝑥 = ± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 2𝜋𝑛, 𝑛 𝜖 𝑧
tg x = a, a – любое число
x = arctg x + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
ctg x = a, a – любое число
х= arcctgx + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
Частные решения тригонометрических уравнений
sin x=0
х=𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
sin x=1
𝜋
x= + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
sin x=-1
𝜋
x= − + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
cos x=0
𝜋
x= + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
cos x=1
x= 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
cos x=-1
x=𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
2
2
2
Значение тригонометрических функций
град
радиан
00
0
sin𝛼
0
cos 𝛼
1
tg 𝛼
0
ctg 𝛼
Не
существ
300
𝝅
𝟔
1
2
√3
2
√3
3
√3
450
𝝅
𝟒
√2
2
√2
2
1
600
𝝅
𝟑
√3
2
1
2
900
𝝅
𝟐
1
√3
1
√3
3
не
существ
0
19
0
Образец решения №1
Решить уравнение:
2sin2 x − 5sinx + 2 = 0
Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид:
2z2 – 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z1 = 2 и z2 =
1
2
.
1
Значит, либо sin x = 2, либо sin x = . Первое уравнение не имеет корней, а
2
из второго находим
1
х = (−1)n arcsin + πn, nϵz
2
π
x = (−1)n + πn, nϵz
6
Образец №2
Решить уравнение:
cos 2 x − sin2 x − cosx = 0
Решение:
Воспользуемся тем, что sin2 x = 1 − cos 2 x
Тогда заданное уравнение можно записать в виде:
cos 2 x − (1 − cos 2 x) − cosx = 0
После преобразования получим:
2cos 2 x − cosx − 1 = 0
Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:
2z2 –z -1 = 0. Решая его, находим z1 = 1, z2 =−
Значит, либо cos x = 1, либо cos x = −
1
2
1
2
Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение
𝑥 = 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧 .
Решая второе уравнение, находим решение:
1
x= ±arccos (− ) + 2πn, nϵz
2
1
x = ± (π − arccos ) + 2πn, nϵz
2
π
x = ±(π − ) + 2πn, nϵz
3
x=±
2π
3
+ 2πn, nϵz
Образец №3
Решить уравнение:
3sin2 x − 2√3 sinxcosx + 5cosx = 2
Решение:
20
С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом.
Известно, что sin2 x + cos 2 x = 1 - это тождество верно для любого значения
х.
Тогда 2(sin2 x + cos 2 x) = 2sin2 x + 2cos2 x = 2.
Заменив в первом уравнении 2 на 2sin2 x + 2cos 2 x , получим:
3sin2 x − 2√3 sinx∙cosx + 5cos 2 x = 2sin2 x + 2cos 2 x
3sin2 x − 2√3 sinx∙cosx + 5cos 2 x − 2sin2 x − 2cos 2 x = 0
sin2 x − 2√3 sinxcosx + 3 cos 2 x = 0
Обе части уравнения разделим на cos2 x почленно
sin2 x 2√3 sinxcosx 3 cos 2 x
−
+
=0
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
sinх
Так как
= tgх, то полученное уравнение запишем в виде:
cosх
2
tg x - 2√3 tgx + 3 = 0
Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:
𝑡 2 − 2√3 t +3=0, решая уравнение, получим: t = √3
Итак, tg x=√3
x= arctg √3 + πn,
π
x= + πn, 𝑛𝜖𝑍
3
Вариант 1
Решить уравнения:
1. sin2x – 5sinx +4 = 0
2. 3cos22x + 10cos2x + 3 = 0
3. 3cos2x + 10cosx + 3 = 0
4. 2sin2x + 3cosx = 0
5. tg2x - 2tgx – 3 = 0
6. 2sin2 x − 5sinxcosx + 2cos 2 x = 0
7. 2cos 2 x − sinxcosx + 5sin2 x = 3
Вариант 3
1. 3sin2x – 5sinx – 2 = 0
2. sin2 x − 5sinxcosx + 6cos2 x = 0
3. 5sin2 x − sinxcosx + 2cos2 x = 3
Вариант 2
Решить уравнения:
1. 6cos2x + cosx – 1 = 0
2. 2sin22x – 3sin2x + 1 = 0
3. 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
3. 5cos2x + 6sinx – 6 = 0
4. 2tg2x + 3tgx – 2 = 0
5. 3cos 2 x + 10sinxcosx + 3sin2 x = 0
6. 2sin2 x − 3sinxcosx + 4cos 2 x = 4
4. cos 𝑥 + cos 3𝑥 = 0
5. 3tg2x + 2tgx – 1 = 0
6. 8𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + cos 2𝑥 + 1 = 0
21
Практическая работа №7
Тема: Нахождение производной
Цель: научиться вычислять производную, используя правила нахождения
производной.
Теоретический материал
№п/п Функция
№п/п Функция
Производная
Производная
1
𝐶’
0
9
𝑠𝑖𝑛′ 𝑥
𝒄𝒐𝒔 𝒙
2
𝑥’
1
10
𝑐𝑜𝑠′𝑥
− 𝒔𝒊𝒏 𝒙
3
(n𝑥)’
n
11
𝑡𝑔′𝑥
4
(𝑥 𝑛 )’
𝒏𝒙𝒏−𝟏
12
𝑐𝑡𝑔′𝑥
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝟏
−
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙
5
(𝑥 2 )’
𝟐𝒙
13
(𝑒 𝑥 )′
𝒆𝒙
6
(𝑥 3 )’
𝟑𝒙𝟐
14
(𝑎 𝑥 )′
𝒂𝒙 ∗ 𝐥𝐧 𝒂
7
(√𝑥)’
𝟏
15
𝑙𝑛′𝑥
8
1
𝟐√ 𝒙
𝟏
− 𝟐
𝒙
16
(log 𝑎 𝑥)′
𝟏
𝒙
𝟏
𝒙 ∙ 𝒍𝒏 𝒂
(𝑥)’
Правила вычисления производных
(𝑐𝑢)′ = 𝑐 ∙ 𝑢′
(𝑢 ∓ 𝑣)′ = 𝑢′ ∓ 𝑣′
(𝑢 ∙ 𝑣)′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑢 ′ 𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
( ) =
𝑣
𝑣2
Производная сложных функций
𝑓 ′ (𝜑(𝑥)) = 𝑓 ′ (𝜑(𝑥)) ∙ 𝜑 ′ (𝑥)
22
№ Вариант 1
Вариант 2
п/п
Вычислить производную
1
1.1
y = x 2 + 4x + 3
y = x 7 + 5x − 1
Вариант 4
y = 4x 3 − 8x 2 − 14
y = 3x 4 − 6x 2 + 5
1.5
6
+ 4 √x
x
x 6 − 4x + 1
y=
x
3x − 4
y=
3
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 4 ∙ cos 𝑥
1.6
𝑦 = 4 ∙ tg 𝑥
y = −5sinx
𝑦 = −7 cos 𝑥
𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 4 ∙ cos 𝑥
1.7
𝑦 = (4𝑥 + 3)9
𝑦 = (7𝑥 − 2)4
𝑦 = (4 + 3𝑥)5
𝑦 = (9𝑥 − 1)10
2
2.1
Решить уравнение: 𝑓 ′ (х) = 0, если
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 27𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 2
3
3.1
Решить неравество
𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0
𝑓(𝑥) = 6𝑥 2 + 6𝑥 − 1
𝑓 ′ (𝑥) > 0
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 6𝑥 2 + 7
4
Найти значение производной в точке:
𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 2
𝑥0 = −1;
1.2
1.3
1.4
y=
𝑓 ′ (𝑥) < 0
𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 2𝑥 + 5
2
− 6 √x
x
4x + 72
y=
4
3x 2 − x + 1
y=
x
𝑦 = ℓх ∙ cos х
Вариант 3
y=
y=
4 − 9x 2
10
4x + 2x 2 − 2
y=
x
𝑦 = ℓх ∙ sin х
1
10
−1
√x +
4
x
3x 3 − 9x 2 + 5
y=
x
6x 2 − 7x
y=
3
𝑦 = ℓх ∙ tg х
y = 4√x +
𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 1
8
+3
x
y=
Найти значение производной в точке:
𝑦 = 𝑥 3 − 9𝑥 + 7
𝑥0 = 2
23
Практическая работа №8
Тема: Исследование функций с помощью производной и построение
графиков
Цель: Научиться исследовать функцию и строить график с помощью
производной.
Теоретический материал
Схеме исследования функции:
1. Найти область определения функции D(f).
2. Вычислить производную 𝑓 ′ (𝑥).
3. Найти стационарные точки 𝑓 ′ (𝑥) = 0.
4. Найти промежутки возрастания и убывания функции (монотонность)
Условия возрастания функции: 𝑓 ′ (𝑥) > 0. Условия убывания
функции: 𝑓 ′ (𝑥) < 0.
5. Найти точки максимума и минимума функции.
Точка max: 𝑓 ′ (𝑥) меняет знак с ”+” на “-” .
Точка min: 𝑓 ′ (𝑥) меняет знак с “-” на “+” .
Точки экстремума – это точки максимума и минимума.
Экстремум функции – это значение функции в точках экстремума.
Данные исследования занести в таблицу и построить график.
𝑥
𝑓 (𝑥)
𝑓(𝑥)
,
Образец решения
Исследовать функцию и построить график: 𝑓(𝑥) = 2 + 5 ∙ 𝑥 3 − 3 ∙ 𝑥 5 .
Решение.
1. Найти область определения функции 𝐷(𝑓) = (−∞; ∞ ).
2. Вычислить производную
𝑓 ′ (𝑥) = (2 + 5 ∙ 𝑥 3 − 3 ∙ 𝑥 5 )′ = 15 ∙ 𝑥 2 − 15 ∙ 𝑥 4 .
3. Найти стационарные точки 𝑓 ′ (𝑥) = 0
15 ∙ 𝑥 2 − 15 ∙ 𝑥 4 = 0 ⟹ 𝑥 2 ∙ (1 − 𝑥 2 ).
𝑥 2 = 0 ⟹ 𝑥1,2 = 0,
1 − 𝑥 2 = 0 ⟹ 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1
0, 1, -1-стационарные точки.
Данные вносим в таблицу.
(−∞; −1) -1
𝑥
0
𝑓 (𝑥)
0
𝑓(𝑥)
↘
min
,
(−1; 0)
+
↗
0
0
2
перегиб
(0; 1)
+
↗
𝑓(−1) = 2 + 5 ∙ (−1)3 − 3 ∙ (−1)5 = 2 − 5 + 3 = 𝟎.
24
1
0
4
max
(1; ∞)
↘
𝑓(0) = 2 + 5 ∙ 03 − 3 ∙ 05 = 𝟐
𝑓(1) = 2 + 5 ∙ 13 − 3 ∙ 15 = 2 + 5 − 3 = 𝟒
.
№
1
1.1
2
2.1
2.2
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Исследовать функцию на возрастание и убывание, экстремум:
𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 3
𝑦 = −3𝑥 4 + 4𝑥 3 − 15
𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1
𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 4
Исследовать функцию и построить график:
𝑦 = 7 + 12𝑥 − 𝑥 2
𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 7
𝑦 = 4 − 6𝑥 − 𝑥 2
𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2
25
𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 6
𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 4
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8
𝑦 = 𝑥 3 − 6𝑥 − 1
Практическая работа №9
Тема: Вычисление интеграла. Вычисление площадей фигур с помощью
интеграла
Цель: научиться вычислять интегралы и площади криволинейных трапеций,
используя таблицу первообразных и формулу Ньютона-Лейбница.
Теоретический материал
Таблица первообразных
№п/п
Функция f(x)
1
𝒏
2
𝒙𝒏
3
№п/п
Первообразная
F(x)+C
𝒏𝒙 + 𝑪
Функция f(x)
Первообразная
F(x)+C
− 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪
10
𝐬𝐢𝐧 𝒙
11
𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪
𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝒏+𝟏
+𝑪
𝒏+𝟏
𝟏
−
𝒙
12
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙
𝒕𝒈𝒙 + 𝑪
4
𝟏
𝟐√𝒙 + 𝑪
13
−𝒄𝒕𝒈𝒙 + 𝑪
5
√𝒙
𝓵𝒙
𝓵𝒙 + 𝑪
14
𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙
𝒂𝒙
𝒂𝒙
+𝑪
𝒍𝒏𝒂
6
𝟏
𝒙
𝒍𝒏𝒙 + 𝑪
15
𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝟏
− 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪
𝒂
7
𝓵𝒂𝒙+𝒃
𝟏 𝒂𝒙+𝒃
𝓵
+𝑪
𝒂
16
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏
𝟏 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏+𝟏
∙
+𝑪
𝒂
𝒏+𝟏
8
𝟏
𝒂𝒙 + 𝒃
𝟏
𝐥𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪
𝒂
17
𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + 𝒃)
𝟏
𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪
𝒂
𝟏
𝟏
𝒕𝒈(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪
𝒂
18
𝟏
𝟏
− 𝒄𝒕𝒈(𝒂𝒙 + 𝒃) + 𝑪
𝒂
9
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒂𝒙 +
𝒃)
Правила вычисления первообразных
𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝒂𝒙 +
𝒃)
Площадь криволинейной трапеции
1. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⟹ 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝐶;
𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒙 = 𝒂,
𝒙 = 𝒃, 𝒚 = 𝟎
2. 𝑘𝑓(𝑥) ⟹ 𝑘𝐹(𝑥) + 𝐶;
𝑺 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
3. 𝑓(𝑚𝑥 + 𝑏) ⟹
1
𝐹(𝑚𝑥 + 𝑏) + 𝐶;
𝑚
𝐥𝐨𝐠 𝒆 𝒂 = 𝐥𝐧 𝒂 − натуральный логарифм
𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒂 = 𝒍𝒈𝒂 − десятичный логарифм
26
𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)] 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) − формула Ньютона –Лейбница.
Решить самостоятельно
№
Вариант 1
п/п
1
Вычислить:
2
1.1
∫ x 3 dx
1.2
1.3
1
2
∫0 (х2
π
4
Вариант 2
3
∫1 х2 dx
3
∫0 (6 − 2x − x 2 )dx
+ 3х − 1)dx
π
2
∫
dx
∫
cos 2
1.4
π
4
−π
4
π
12
dx
sin2 x
π
16
∫ 3cos4xdx
∫ 4 sin 3xdx
0
0
2
2.1
2.2
1.
1.1
1.2
1.3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2 + 1, х = -1, х = 2, y=0
у = х2 + 2, х= -2, х=1
𝜋
𝜋
3
2
𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑥 = , 𝑥 = , 𝑦 = 0
Вариант 3
Вычислить:
Вариант 4
2
2
3
∫1 х4 dx
4
∫ x dx
1
2
∫0 (х2
π
4
1
∫0 (4 − 6x − x 2 )dx
− 5х + 1)dx
π
2
∫
dx
∫
cos 2
π
4
0
1.4
𝜋
𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝑥 = 0, 𝑥 = , y=0
π
12
dx
sin2 x
π
15
∫ 6cos5xdx
∫ 5 sin 4xdx
0
π
2
2.
2.1
2.2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2 + 1, х = -3, х = 1
у = х2 + 3, х= -1, х=1
𝜋
𝑓(𝑥) = cos 𝑥, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 , y=0
𝑓(𝑥) = sin 𝑥,
27
𝜋
𝑥= ,
6
𝑦=0
𝑥=
𝜋
,
2