Единственность равновесия

Единственность равновесия
Рассмотрим экономику, где нет свободных благ, то есть в равновесии все цены положительны.
Определение. Функции избыточного спроса z( p ) обладают свойством валовой заменимости, если
для любых векторов цен p и p  таких, что для некоторых i pi  pi и pl  pl для всех l  i , имеет
место z l ( p  )  z l ( p ) для всех l  i .
Утверждение
Пусть функции избыточного спроса z( p ) удовлетворяют свойству валовой заменимости (GS).
Тогда, если равновесие существует, то вектор равновесных цен единственен.
GS для экономики обмена с аддитивно сепарабельными функциями
Пусть функции полезности всех потребителей аддитивно сепарабельны u k ( x k ) 


u
k
i
( xik ) , дважды
i
непрерывно дифференцируемы и, кроме того, x u / x возрастает по x для всех k и i , тогда
избыточный спрос экономики обмена удовлетворяет свойству GS для любых первоначальных
запасов.
k
i
k
i
k
i
k
i
Равновесие и ядро
Любое непустое подмножество потребителей S  M будем называть коалицией.
Определение. Коалиция S  M
блокирует допустимое распределение x  ( x1 ,, x M ) , если
существует распределение x  ( x 1 ,, x M )  RNM такое, что:
1) x k k xk для любого k  S и
2)

 xk  Y   
kS
kS
k

.

Определение. Ядром экономики называется совокупность допустимых распределений, ни для одного
из которых не существует блокирующей это распределение коалиции.
Утверждение
Если в экономике все потребители характеризуются непрерывными, строго монотонными
предпочтениями и x - распределение, принадлежащее ядру, то x - парето оптимальное
распределение.
Утверждение
p ,~
x ,~
y ) – равновесие по Вальрасу в экономике, где все потребители имеют локально
Если ( ~
ненасыщаемые предпочтения, а производственное множество обладает постоянной отдачей от
масштаба, то ~
x принадлежит ядру данной экономики.
Определение. Будем называть R -кратной репликой экономики такую экономику, где имеется R
потребителей каждого типа.
Утверждение (Теорема о сжимающемся ядре)
Предположим, что все потребители обладают строго выпуклыми, непрерывными, строго
монотонными предпочтениями, а производственное множество фирмы выпукло и обладает
постоянной отдачей от масштаба. Если x - распределение, отличное от вальрасовского равновесия,
то существует такая реплика R , что x не принадлежит ядру R раз реплицированной экономики.