Утверждение (Теорема о сжимающемся ядре)

Микроэкономика (продвинутый уровень)
Существование равновесия по Вальрасу
Утверждение. Пусть избыточный спрос z ( p ) для каждого товара является функцией, определенной для всех
неотрицательных ненулевых векторов цен p  0, p  0 . Если функции избыточного спроса z ( p ) –
непрерывны для всех p  0, p  0 , однородны нулевой степени и удовлетворяют закону Вальраса, то
p такой, что z i ( ~
существует вектор цен ~
p)  0 и ~
pi z i ( ~
p )  0 для всех i  1,..., N .
Утверждение. Если в экономике обмена все потребители имеют локально ненасыщаемые, непрерывные,
строго выпуклые предпочтения и положительные начальные запасы каждого блага (  k  0 для всех
k  1, , M ), то равновесие существует.
Утверждение. Если в экономике обмена все потребители имеют строго монотонные, непрерывные, строго
выпуклые предпочтения и совокупные начальные запасы каждого блага в экономике положительны ( i  0
для всех 1  1, , N ), то равновесие существует.
Равновесие и ядро
Любое непустое подмножество потребителей S  M будем называть коалицией.
Определение. Коалиция S  M блокирует допустимое распределение x  ( x1 ,, x M ) , если существует
распределение x  ( x 1 ,, x M )  RNM такое, что:
1) x k k xk для любого k  S и
2)

 xk  Y   
kS
kS
k

.

Определение. Ядром экономики называется совокупность допустимых распределений, ни для одного из
которых не существует блокирующей это распределение коалиции.
Утверждение. Если в экономике все потребители характеризуются непрерывными, строго монотонными
предпочтениями и x - распределение, принадлежащее ядру, то x - парето оптимальное распределение.
p ,~
x ,~
y ) – равновесие по Вальрасу в экономике, где все потребители имеют локально
Утверждение. Если ( ~
ненасыщаемые предпочтения, а производственное множество обладает постоянной отдачей от масштаба, то
~
x принадлежит ядру данной экономики.
Определение. Будем называть R - кратной репликой экономики такую экономику, где имеется R
потребителей каждого типа.
Утверждение (об одинаковом подходе в ядре)
Предположим, что все потребители имеют строго выпуклые, непрерывные, строго монотонные
предпочтениями, а производственное множество фирмы обладает постоянной отдачей от масштаба.
Если x - распределение, принадлежащее ядру R раз реплицированной экономики, то любые два
агента одного типа в этом распределении должны иметь одинаковые потребительские наборы.
Утверждение (Теорема о сжимающемся ядре)
Пусть все потребители обладают строго выпуклыми, непрерывными, строго монотонными предпочтениями, а
производственное множество фирмы выпукло и обладает постоянной отдачей от масштаба. Если x распределение, отличное от вальрасовского равновесия, то существует такая реплика R , что x не
принадлежит ядру R раз реплицированной экономики.