Document 3833253

ТЕМА 3
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.Понятие функции. Способы задания функций.
2.Числовая последовательность.
3.Простейшие свойства функций.
Понятие функции. Способы задания функции
Функция – одно из основных понятий математики, выражающее зависимость
одних переменных величин от других. Слово «величина» здесь понимается в самом
широком смысле: это может быть элемент любого множества. Ограничимся пока
случаем, когда переменные величины принадлежат множеству действительных
чисел.
В случае, когда переменные величины есть действительные числа, то говорят о
действительной функции одной или нескольких действительных переменных.
Понятие функции одной переменной определяется следующим образом.
Определение: Пусть каждому числу x из заданного множества E R
поставлено в соответствие число
на множестве
E
y R , обозначаемое y  f  x  . Тогда говорят, что
задана функция
y  f  x , x  E.
Величина x называется независимой переменой или аргументом, величина
y - зависимой переменной или функцией. Множество E возможных значений
независимой переменной x называется областью определения или областью
задания функции.
Слова «поставлено в соответствие» означают, что указан определенный способ,
по которому для каждого xE находится значение y R . Когда употребляют
термин функция, то подразумевается однозначная функция. Т.е. такое соответствие,
при котором каждому значению xE соответствует только одно значение y .
Возможны различные способы задания функции – табличный, графический,
аналитический, алгоритмический.
При табличном способе задания функция задается в виде таблицы, в которой
для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение
функции.
Пример 3.1
Таблица квадратов чисел
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
2
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
y x
Графиком
функции
y  f  x , x  E.
плоскости с прямоугольными координатами
16
называется
x, y , где
множество
xE, y  f x.
точек
y
Пример 3.2
y  x2
x
Рис.3.1
В научных и технических задачах наиболее распространен аналитический
способ задания функции, при котором функция задается формулой,
устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над x ,
чтобы получить y . Например:
y  2x 1,
y  x2,
y  1 x 2 ,
y
x
,
x 1
y  2 sin x 2 .
При этом считается, что областью определения функции является
множество всех тех значений
x , при которых выполнимы все операции,
указанные в формуле. Так,
приведенным выше функциям соответствуют
следующие области определения
y  2 x 1,
y x2 ,
   x  ,
 xR ,


xR,
1 x 1, x1,1,
x  1, xR \ 1,
 x ,
y  1 x 2 ,
x
y
,
x 1
y  2 sin x 2
   x  ,
 xR .


Функция может быть задана разными формулами на разных частях области
определения. Например, функция Хевисайда8:
0,
y  
1,

при x0,
при x0.
Алгоритмический способ задания функции нашёл широкое применение в
связи с появлением вычислительной техники, где функция задаётся программой.
Пример 3.3
Real Function sqr( x );
var x : real;
Begin
sqr:= x x ;
end;
Аналитический способ задания функции формулой y f x называется
явным. Функция может быть задана неявно, когда x и y связаны между собой
_________________

8
Оливер Хевисайд (1850-1925) – английский физик и инженер.
17
уравнением вида F x, y 0 , а также параметрически, когда соответствующие друг
другу значения x и y выражаются через третью переменную величину t в виде:
x t , y  t . Например:
1. x 2  y 2 1  0
2.  x  sin t, 0t 2 .

 y  cost ,
Приведенные формулы дают неявное и параметрическое задание одной
многозначной функции y   1 x 2 , x  1,1 , которая задает
окружность


единичного радиуса на координатной плоскости Oxy . Параметрический способ
задания обладает тем преимуществом, что позволяет задавать многозначные
функции с помощью однозначных.
Суперпозицией функций называется процедура составления сложной
функции (функции от функции). Если величина y является функцией от u , т.е.
y f u  , а u , в свою очередь, функцией от x , т.е. u    x  , то y является
 
сложной функцией от
x . Записывается это так:
y  f  x .
Например, функцию y  sin x 2 можно задать как функцию y  sin u , где
u  x2 .
Числовая последовательность
Частным случаем действительной функции одного действительного
переменного является функция, определенная на множестве натуральных чисел
xn  f n.
Такая функция называется числовой последовательностью. Числовая
последовательность определена, если указан закон, по которому каждому
натуральному числу n ставится действительное число x n . Числовая


 
последовательность обозначается x1, x2 ,..., xn ,... или xn . Числа x1, x2 ,..., xn ,...
называются членами числовой последовательности, xn - общим членом или
n -м членом.
Числовая последовательность может быть задана формулой ее n -го члена,
позволяющей найти любой член последовательности подстановкой номера
искомого члена в эту формулу.
Пример 3.4

1
xn 1 
n

n
9
64
; x1 2, x2  , x3  , 
4
27
Закон образования числовой последовательности может состоять в задании
нескольких первых членов последовательности и рекуррентной формулы, с
помощью которой следующий член определяется через предыдущие.
Пример 3.5
18
x1 
a b
x b
x b
, x2  1 , xn  n 1 .
2
2
2
С помощью рекуррентных формул можно получить одновременно
несколько числовых последовательностей. Например: пусть a и b произвольные
положительные числа и ab . Найдем числа, x1 и x1 как среднее арифметическое
и среднее гармоническое чисел
a b ,
x1 
2
( x  x

1
1


x1 


aиb
a1 b1 
2
1




2ab . При этом
a x1  x1 b
a b
2
2
2ab a b

 4ab   a b  a 2  2ab  b2  0   a b  0 ).
a b 2
Найдем среднее арифметическое и среднее гармоническое чисел x1 и x1
1
1
1 

x1  x1 ,
 x1   x1  
2x1x1 . При этом a x  x  x  x b .
x2 
 
x2 
1
2
2
1


2

2
x

x
1
1


Продолжая процедуру вычисления средних, находим две бесконечные
последовательности чисел xn  и xn , заключенных между числами a и b
a x1  x2 ... xn  xn ... x2  x1 b, n .
Можно заметить, что при этом для любого
n справедливо равенство
xn xn ab.
Числовая последовательность может быть получена путем наблюдений.
Например, за выпадением чисел при бросании игральной кости.
Простейшие свойства функций
Определение: Пусть функция f x  определена на множестве E R . Если для
любых x  E, x  E , удовлетворяющих неравенству x1  x2 , обязательно следует
1
2
какое-нибудь неравенство
 а 
 
б 
в 
 г 
 

f  x1   f  x2 ,
f x1  f x1 ,
f x1  f x2 ,
f  x1   f  x2 ,
 
то функция f x называется монотонной на E , а в случаях а и в строго
монотонной.
При этом она называется: а - возрастающей на E ; б - неубывающей на
E ; в - убывающей на E ; г - невозрастающей на E .
В качестве иллюстрации на рисунках 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 приведены графики
четырех монотонных функций.




19
y
y
x
x
Рис.3.2
Рис.3.3
y
y
x
x
Рис.3.5
Рис.3.4
Определение: Функция f x  называется ограниченной на множестве E ,
если существует такое число
M , что для каждого xE выполняется
f x M
Функция f x 
неравенство
.
ограничена сверху, если

f x  M .
Функция
f x 
ограничена снизу, если f x  M .
Примером ограниченной сверху функции является функция
1
y  ,    x  0.
x
Примером функции ограниченной снизу является функция
1
y  , 0  x   .
x
Функция называется чётной, если для всех x из
справедливо: f x  f  x. График чётной функции
области определения
обладает зеркальной
симметрией относительно оси ординат.
Функция называется нечётной, если для всех x из области определения
справедливо: f x   f  x . График нечётной функции обладает центральной
симметрией относительно начала координат.

 
Определение: Обратной функцией называется функция
которая получается из данной функции
выразить x через y .
Обратная функция
x    y 
обратная функция к функции
однозначные ветви
x y
и
y f x ,
x    y  ,
если из соотношения
f x y
может быть многозначной. Например,
y x 2
x  y .
20
является
x  y ,
которая имеет две
y f x
Функции
и
x    y 
графически изображаются одной и той же
кривой. Если при записи обратной функции независимую переменную обозначить
через
x , а зависимую через y , то обратная функция запишется в виде y    x  .
Это означает что графики функций
y    x 
и
y f x
симметричны
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов
y
y  f x y
x   y 
Ax, y 
Ax, y 
x
x
x
y   x y
y   x
Ay, x
Ax, y 
y
x
y f x задана неявно уравнением F x, y 0 , в которое
и
входят
симметричным
образом
y
x
(например: x  y  1, x 2  y 2  1, xy  1), то график обратной функции
совпадает с графиком функции y f x  .
Теорема. Если функция y f x  , заданная на множестве E , строго
Если функция
переменные
монотонна, то она имеет однозначную обратную функцию.
Доказательство:
Ограничимся случаем возрастающей функции. Пусть D область ее
значений. В силу монотонности функции f x для каждого значения y0D

найдется
только
   
одно
   
( x1  x0  f x1  f x0 , x1  x0  f x1  f x0 ).
Сопоставляя именно это значение x0 произвольно взятому
получим однозначную функцию
x  y .
21
x0E
значение
y0
из
D,
мы