Поурочное планирование. Геометрия 9 класс. Литература

Поурочное планирование. Геометрия 9 класс.
Литература:
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 класс. Учебник.
(2 ч. в неделю, всего 68 ч.)
Содержание учебного материала
Количество
часов
Тема 1. Векторы
1. Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной
2
точки
2. Сумма двух векторов. Правило треугольника. Правило многоугольника.
3
Вычитание векторов. Произведение вектора на число
3. Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции
4
Тема 2. Метод координат
4. Координаты вектора
1
5. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число в
1
координатах
6. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца
1
7. Простейшие задачи в координатах
2
8. Применение метода координат к решению задач
1
9. Уравнение окружности
1
10. Уравнение прямой
2
11. Решение задач по теме
2
12. Контрольная работа № 1
1
Тема 3. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное
произведение векторов
13. Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое
1
тождество
14. Формулы для вычисления координат точки
1
15. Теорема о площади треугольника
1
16. Теорема синусов
1
17. Теорема косинусов
1
18.Решение треугольников
3
19. Измерительные работы
1
20. Решение задач по теме
1
21. Угол между векторами
1
22. Скалярное произведение векторов
1
23. Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного
1
произведения векторов
24. Решение задач по теме
4
25. Контрольная работа № 2
1
Тема 4. Длина окружности и площадь круга
26. Правильный многоугольник
1
27. Окружность, описанная около правильного многоугольника
1
28. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
1
29. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его
2
стороны и радиуса вписанной окружности
30. Построение правильных многоугольников
1
31. Длина окружности и дуги окружности
2
32. Площадь круга и площадь кругового сектора
33. Решение задач по теме
34. Контрольная работа № 3
Тема 5. Движения
35. Понятие движения
36. Параллельный перенос и поворот
37. Решение задач по теме
38. Контрольная работа № 4
Итоговое повторение курса геометрии 7-9 классов
2
1
1
3
3
2
1
8
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1
c , b {3;  2} , c {6; 2} .
2
2. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(-6; 1), B(2;4), C(2; -2). Докажите, что
треугольник ABC равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведенную из
вершины A.
3. Окружность задана уравнением ( x  1) 2  y 2  9 . Напишите уравнение прямой,
проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.
1. Найдите координаты и длину вектора a , если a  b 
Вариант 2
1
1. Найдите координаты и длину вектора b , если b  c  d , c {3; 6} , d {2;  2} .
3
2. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: А(-6; 1), В(0; 5), С(6; -4), D(0; -8).
Докажите, что ABCD — прямоугольник и найдите координаты точки пересечения его
диагоналей.
3. Окружность задана уравнением ( x  1) 2  ( y  2) 2  16 . Напишите уравнение прямой,
проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если А(-1; 3).
2. Решите треугольник ABC, если  В = 30°,  С = 105°, ВС = 3 2 см.
3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если K(1; 7), L(-2; 4), М(2; 0).
Вариант 2
1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В(3; 3).
2. Решите треугольник BCD, если  В = 45°,  D = 60°, ВС = 3 см.
3. Найдите косинус угла А треугольника ABC, если А(3; 9), В(0; 6), С(4; 2).
Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите
сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.
2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность
квадрата равна 72 дм2.
3. Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150°.
Вариант 2
1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 см.
Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного
шестиугольника равна 72 3 см2.
3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус
круга равен 12 см.
Контрольная работа № 4
Вариант 1
1. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при
симметрии относительно прямой, содержащей боковую сторону АВ.
2. Две окружности с центрами О1 и O2, радиусы которых равны, пересекаются в точках М
и N. Через точку М проведена прямая, параллельная O1O2 и пересекающая окружность с
центром О2 в точке D. Используя параллельный перенос, докажите, что четырехугольник
O1MDO2 является параллелограммом.
Вариант 2
1. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при
симметрии относительно точки, являющейся серединой боковой стороны CD.
2. Дан шестиугольник А1А2А3А4А5A6. Его стороны А1А2 и А4A5, А2А3 и А5A6, A3A4 и А6A1
попарно равны и параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что
диагонали A1A4, А2A5, А3А6 данного шестиугольника пересекаются в одной точке.
Устные задания по геометрии 9 класс.
Сентябрь
1. Даны координаты точек А (–1; 3) и В (5; 1). Вычислите координаты
середины отрезка АВ.
2. Вычислите площадь прямоугольника, если длина его равна 12 см, а
ширина - 5 см.
3. Как провести прямую в параллелограмме, чтобы отсечь от него
треугольник, площадь которого была бы равна половине площади
параллелограмма?
4. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если длина
равна 6 см, ширина — 3 см, а высота — 2 см.
5. Координаты точки К (–3; 2). Укажите координаты точки М, которая
симметрична относительно оси абсцисс.
6. Вычислите длину окружности, если радиус R = 10 см.
7. На каком расстоянии от начала координат находится точка М(–5;12)?
8. Даны точки на плоскости А (2; 4) и В (7; 6). Найдите координаты
вектора AB .
9. Даны векторы a (3; 1) и b (1; 2). Найдите координаты суммы
векторов c  a  b .
10. Даны векторы a (5; 2) и b (2; 1). Найдите координаты разности
векторов p  a  b .
11. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Вычислите углы
треугольника.
12. Синус угла А в прямоугольном треугольнике АВС равен 0,6.
Вычислите косинус угла А.
13. Угол А в параллелограмме АВСД равен 42°. Вычислите угол В.
14. Основания трапеции равны 14 см и 8 см. Вычислите среднюю
линию трапеции.
15. Коллинеарны ли векторы a (4; –1) и b (8; –2) ?
16. АВСД — трапеция, где ВС и АД — основания. Коллинеарны ли
векторы BC и ДА ?
17. Определите углы равнобедренного треугольника, если углы при
основании в два раза меньше угла при вершине.
18. Найдите cos120°.
19. Вычислите углы параллелограмма, если один из них составляет
80% другого угла.
20. Как изменится площадь квадрата, если сторону его увеличить в два
раза?
21. Вычислите длину вектора AB , если его координаты AB (8; 15).
22. Векторы a (х; 2) и b (–1; 1) коллинеарны. Найдите х.
23. Векторы a (3; у) и b (2; 1) перпендикулярны. Найдите у.
24. Длина вектора a (х; 12) равна 13. Найдите х.
25. Во сколько раз длина окружности больше своего диаметра?
26. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 48 дм3, а площадь
основания — 12 дм2. Вычислите его высоту.
(2; 2)
60 см2
По диагонали
36 см3
M (–3; –2)
20  см
13
AB (5; 2)
c (4; 3)
p (3; 1)
30o, 60o, 90o
0,8
138o
11 см
Да
Да
45o, 45o, 90o
–
1
2
80o, 100o
Увеличится в
4 раза
17
–2
–6
5
В  раз
4 дм
27. В прямоугольном треугольнике угол равен 30°, а меньший катет —
5 см. Вычислите длину гипотенузы и второго катета.
28. Вычислите углы ромба, если его диагональ равна стороне ромба.
29. Средняя линия трапеции равна 10 см, а большее основание — 13
см. Вычислите меньшее основание трапеции.
30. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по 10 см,
а высота — 8 см. Вычислите основание треугольника.
10 см, 5 3 см
60o, 120o
7 см
12 см
Октябрь
1. Вычислите расстояние между точками А (1; 7) и B (9;1).
2. Подобны ли внутренний и наружный прямоугольники у обычной
рамки картины?
3. Площадь прямоугольника равна 65 дм2, а длина его — 13 дм.
Вычислите ширину прямоугольника.
4. Вычислите объем куба с ребром 3 дм и его полную поверхность.
5. Даны координаты точек А (4; 3) и В (–2; 1). Вычислите координаты
середины отрезка АВ.
6. Даны координаты точек А (–3; –2) и В (6; 2). Вычислите координаты
вектора AB .
7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см, а катет —
6 см. Вычислите острые углы треугольника.
8. Векторы a (3; 2) и b (х; 4) коллинеарны. Вычислите х.
9. Векторы a (6; 2) и b (–2; у) перпендикулярны. Вычислите у.
10. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 см, а боковая
сторона относится к основанию как 3 : 2. Вычислите стороны
треугольника.
11. Дано уравнение окружности х2 + у2 = 16. Вычислите длину
окружности.
12. Чему равен угол между противоположно направленными
векторами?
13. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по 13 см,
а основание — 10 см. Вычислите высоту треугольника на основание.
14. Вычислите длину вектора AB , если даны координаты точек
А (–3; 2) и В (3; 2).
15. Найдите сумму векторов a (–3; 1) и b (4; 3).
16. Найдите разность векторов m (4; –3) и n (1; –2).
17. Даны координаты точек А (5; 1) и В (7; 1), С (1; 2) и Д (3; 2). Равны
ли векторы AB и CD ?
18. Скалярное произведение векторов равно нулю. Как расположены
на плоскости эти векторы?
19. Во сколько раз длина окружности больше своего радиуса?
20. Угол ABC — вписанный и опирается на дугу в 120°. Вычислите
величину угла.
21. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см. Вычислите
среднюю линию треугольника.
22. Определите вид треугольника, если стороны его равны 5 см, 6 см и
8 см.
23. Один угол в параллелограмме составляет 1/4 часть второго.
10
Нет
5 дм
27 дм3, 54 дм2
(1; 2)
AB (9; 4)
30о, 60о
6
6
9 см, 9 см,
6 см
8
180о
12 см
6
( 1; 4 )
a (3; –1)
Равны
Перпендикулярны
В 2  раза
60о
6 см
Тупоугольный
36о, 144о
Вычислите углы параллелограмма.
24. Наибольшее расстояние от точки М до окружности равно 8 см, а
наименьшее — 6см или 4 см. Вычислите длину радиуса окружности.
25. Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к
основанию, равна 4 дм, а основание равно 6 см. Вычислите длину
боковой стороны.
26. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 80°.
Вычислите углы при основании.
27. Периметр прямоугольника равен 40 см, причем длина его в три раза
больше ширины. Вычислите площадь прямоугольника.
28. Найдите единичный вектор е , одинаково направленный с вектором
p (8; 6).
29. Дан вектор a (4; 1). Найдите вектор b (х; у), который одинаково
направлен с вектором a и вдвое больше его.
30. Вычислите объем куба, если поверхность его равна 24 см2.
2 см
5 см
50о
75 см2
е (0,8; 0,6)
b (8; 2)
8 см3
Ноябрь
1. Периметр параллелограмма равен 40 см. Разность двух неравных
сторон равна 4 см. Вычислите длину сторон.
2. Диагональ параллелограмма с двумя его сторонами образует углы
30° и 40°. Вычислите углы параллелограмма.
3. Средняя линия в равнобедренном треугольнике, параллельная
основанию, равна 5 см, а его периметр — 50 см. Вычислите стороны
треугольника.
4. Вычислите длину окружности, если она задана уравнением
х2 + у2 = 1.
5. В треугольнике медиана равна 12 см. На какие отрезки разбивает
медиану точка пересечения медиан?
6. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 12 см.
Вычислите гипотенузу.
7. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 2 см.
Вычислите тангенс меньшего угла.
8. В прямоугольном треугольнике катет в два раза меньше гипотенузы.
Вычислите синус меньшего угла.
9. Вычислите sin2 40° + cos2 40°.
10. Пересекаются ли окружности, если их радиусы равны 12 см и 8 см,
а расстояние между центрами равно 4 см?
11. Основания трапеции относятся как 5 : 7, а средняя линия равна
12 см. Вычислите длину оснований.
12. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на
расстояние 4 см и 10 см. Вычислите длину диаметра.
13. Составьте уравнение окружности радиуса 5 см с центром в начале
координат.
14. Найдите расстояние точки М (–6; 8) от начала координат.
15. Что представляет на плоскости геометрическое место точек xy = 0.
16. Найдите геометрическое место точек на плоскости | х |= 3.
12 см, 8 см
70о, 110о
20 см, 20 см,
10 см
2
4 см и 8 см
13 см
0,4
0,5
1
Касаются
Изнутри
10 см, 14 см
14 см
x2 + y2 = 25
10
Оси
координат
Прямые
x=3и
x = –3
17. Ящик имеет форму прямоугольного параллелепипеда, и масса его
равна 200 кг. Длина основания равна 5 дм, а ширина — 4 дм.
Вычислите силу давления на дм2 основания.
18. Наибольшее расстояние от точки К до окружности равно 12 см, а
наименьшее — 8 см. Вычислите длину окружности, если точка К
лежит внутри круга.
19. В равнобедренном треугольнике периметр равен 30 дм, а боковые
стороны в два раза больше основания. Вычислите стороны
треугольника.
20. Поверхность и объем куба выражены одним и тем же числом.
Вычислите поверхность куба.
21. Даны координаты вершин ромба АВСД А (7; –5) и С (3; –3).
Вычислите координаты точки пересечения диагоналей.
22. Определите вид треугольника, если стороны его равны 2 см, 3 см и
4 см.
23. На каком расстоянии от начала координат находится прямая
У – 3 = 0?
24. Точка А находится на окружности х2 + у2 = 100. Вычислите ее
ординату, если абсцисса ее равна 6.
25. Один угол в прямоугольном треугольнике равен 40°, а один угол в
другом прямоугольном треугольнике равен 50°. Подобны ли эти
треугольники?
26. Биссектриса в параллелограмме разделила сторону его на отрезки
6 см и 2 см. Вычислите периметр параллелограмма.
27. Стороны параллелограмма равны 3 см и 8 см. Биссектрисы двух
углов, прилежащих к большой стороне, разделили противоположную
сторону параллелограмма на три отрезка. Вычислите длину отрезков.
28. Можно ли разносторонний треугольник разделить прямой на два
равных треугольника?
29. Периметр равнобедренного треугольника равен 14 см, причем одна
его сторона втрое больше другой. Найдите стороны треугольника.
30. Сумма длин всех ребер куба равна 24 см. Вычислите поверхность
куба.
10 кг/дм2
20  см
12 см, 12 см,
6 см
216 см2
(5; –4)
Тупоугольный
3
8
Да
20 см или
28 см
3 см, 2 см,
3см
Нет
2 см, 6 см,
6 см
24 см2
Декабрь
1. Периметры двух ромбов равны. Равны ли ромбы?
2. На какой наименьший угол надо повернуть правильный треугольник
вокруг его центра, чтобы он совместился с собой?
3. Из точки окружности проведены радиус и равная ему хорда.
Вычислите угол между ними.
4. Вписанный угол опирается на дугу в 100°. Вычислите вписанный
угол.
5. Площадь прямоугольника равна 60 см2, а длина — 12 см. Вычислите
периметр прямоугольника.
6. Сколько осей симметрии у квадрата?
7. Коэффициент подобия треугольников равен 2. Периметр первого
равен 12 см. Вычислите периметр подобного ему большего
треугольника.
8. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1 : 2. Как
относится меньший катет к гипотенузе?
Нет
120о
60о
50о
34 см
4
24 см
1:2
9. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 10 см.
Вычислите тангенс меньшего угла.
10. Определите вид треугольника, если один его угол равен сумме двух
других углов.
11. Разность углов параллелограмма равна 40°. Вычислите углы
параллелограмма.
12. Диагональ прямоугольника образует со стороной 40°. Вычислите
острый угол между диагоналями.
13. Отрезок длиной в 18 см образует с прямой угол в 60°. Вычислите
проекцию отрезка на прямую.
14. Обратите в гектары 12 700 м2.
15. Сколько центров гомотетии имеют 2 равных параллельных
отрезка?
16. Один из смежных углов в пять раз больше другого. Вычислите эти
углы.
17. Можно ли построить треугольник со сторонами 1 дм, 2 дм, 3 дм?
18. Концы диаметра удалены от касательной к окружности на
расстояния 6 см и 14 см. Вычислите длину окружности.
19. Сколько квадратных сантиметров в 1 м2?
20. Ребро куба увеличили в два раза. Как изменилась его поверхность?
21. Чему равен внешний угол в правильном треугольнике?
22. Острые углы в прямоугольном треугольнике относятся как 7 : 8.
Вычислите эти углы.
23. Дуга составляет 40% окружности. Вычислите центральный угол,
который опирается на эту дугу.
24. Какой угол образуют стрелки часов, когда они показывают 8 часов?
25. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если сумма
внутренних углов равна 720°?
26. Можно ли построить четырехугольник, углы которого равны 160°,
120°, 60° и 30°?
27. Вычислите длину окружности, если диаметр равен 20 см.
28. Можно ли построить четырехугольник со сторонами 12 см, 5 см,
4 см и 3 см?
29. На сколько увеличится длина окружности, если радиус увеличить
на 5 дм?
30. Стороны треугольника, равные 8 см и 7 см, образуют угол 120°.
Вычислите третью сторону.
0,4
Прямоугольный
70о и 110о
80о
9 см
1,27 га
1
30о, 150о
Нет
20  см
10 000
Увеличилась
в 4 раза
120о
42о, 48о
144о
120о
6
Нет
20  см
Нет
На 10 дм
13 см
Январь
1. Диагональ прямоугольника в два раза больше его стороны.
Вычислите наименьший угол между диагоналями.
2. Разность между длинами оснований трапеции равна 6 см, а средняя
линия — 8 см. Вычислите основания трапеции.
3. Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6, а периметр равен
60 см. Вычислите стороны треугольника.
4. Один из углов ромба равен 60°, а меньшая диагональ — 10 см.
Вычислите периметр ромба.
5. Периметр прямоугольника равен 60 дм. Ширина его в два раза
меньше его длины. Вычислите площадь прямоугольника.
60о
5 см, 11 см
16 см, 20 см,
24 см
40 см
200 см2
6. Определите вид треугольника, если его стороны равны 3 см, 4 см,
7 см.
7. Во сколько раз длина диаметра меньше длины своей окружности?
8. Вписанный угол опирается на четверть окружности. Вычислите
вписанный угол.
9. Сколько диагоналей у правильного пятиугольника?
10. Сколько градусов содержит центральный угол, если
1
соответствующая дуга равна
окружности?
6
11. Сколько можно провести прямых через 4 точки, из которых
никакие три не лежат на одной прямой?
12. Сколько градусов содержит дуга, если на нее опирается вписанный
угол, равный 75°?
13. Радиус окружности равен 10 см, а точка М удалена от центра на
15 см. Вычислите наибольшее и наименьшее расстояние точки М до
окружности.
14. Хорда, равная 20 см, стягивает дугу в 90°. На какое расстояние
удалена хорда от центра?
15. Периметр равнобедренного треугольника равен 30 см, а основание
его в два раза меньше боковой стороны. Вычислите стороны
треугольника.
16. Стороны треугольника, равные 3 см и 5 см, образуют угол в 120°.
Вычислите третью сторону.
17. Диагональ квадрата равна 8 см. Вычислите сторону квадрата.
18. Основания трапеции относятся как 5 : 2, а разность их равна 12 см.
Вычислите среднюю линию трапеции.
19. Хорда стягивает дугу в 70°. Через конец хорды проведена
касательная. Вычислите угол между касательной и хордой.
20. Ребро куба увеличили в три раза. Как изменится его объем?
21. Стороны прямоугольника равны а и в. Вычислите радиус
описанного круга.
22. Даны координаты точек А (5; –1) и В (9; 3). Найдите координаты
вектора AB .
23. В равнобедренном треугольнике угол при основании 70°.
Вычислите угол треугольника при вершине.
24. Средняя линия трапеции равна 10 см, а большее основание равно
14 см. Вычислите меньшее основание.
25. Вычислите сумму внутренних углов выпуклого пятиугольника.
26. Определите вид треугольника, если стороны его равны 5 см, 12 см
и 13 см.
27. Дана окружность х2 + у2 = 9. Принадлежит ли точка М (0; –3)
окружности?
28. Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если
сторона его равна 10 см.
29. В равностороннем треугольнике средняя линия равна 4 см.
Вычислите периметр треугольника.
30. В равностороннем треугольнике биссектриса равна 18 см. На какие
отрезки точка пересечения биссектрис делит биссектрису?
Не
существует
В  раз
45o
5
60о
6
150о
5 см, 25 см
10 см
6 см, 12 см,
12 см
7 см
4 2 см
14 см
35о
Увеличится в
27 раз
0,5 a 2  b 2
AB (4; 4)
40о
6 см
540о
Прямоугольный
Да
5 3 см
24 см
6 см, 12 см
Февраль
1. Катеты треугольника равны 12 см и 16 см. Вычислите радиус
описанной окружности.
2. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как 5 : 3, а
ширина кольца 4 см. Вычислите радиусы окружностей.
3. В правильном треугольнике высоты равны по 15 см. На какие
отрезки точка пересечения высот делит высоту треугольника?
4. Диагональ квадрата равна 6 2 см. Вычислите радиус вписанной
окружности.
5. Периметр прямоугольника равен 70 см, а длина его более ширины на
5 см. Вычислите площадь прямоугольника.
6. Сколько осей симметрии у ромба?
7. Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр
которой равен 20 см. Вычислите боковую сторону трапеции.
8. Вычислите длину биссектрисы равностороннего треугольника, если
сторона его равна 4 см.
9. Даны координаты точки А (5; –12). На каком расстоянии находится
точка А от начала координат?
10. Дана прямая у = 3х – 5. Принадлежит ли точка К (3; 2) этой прямой?
11. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 3 см.
Вычислите тангенс меньшего угла.
12. Вычислите длину вектора АВ, если даны координаты точек
А (–5; 1), В (5; 1).
13. Радиус окружности равен 12 см, а точка В удалена от центра на
расстояние 5 см. Вычислите наименьшее и наибольшее расстояния
точки В до окружности.
14. Большее колесо зубчатой передачи имеет 40 зубцов, а меньшее —
30 зубцов. На сколько градусов повернется большее колесо, если
меньшее совершит полный оборот?
15. Скалярное произведение векторов, отличных от нуля, равно 0.
Вычислите угол между векторами.
16. Сторона правильного шестиугольника равна 4 см. Вычислите
радиус вписанной окружности.
17. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны
3 см и 4 см, а один из отрезков второй хорды равен 6 см. Вычислите
длину второй хорды.
18. В треугольнике АВС сторона АВ равна 12 см, а АС — 9 см. В каком
отношении биссектриса AM делит третью сторону ВС?
19. Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя
линия которой равна 4 дм, а угол 30°. Вычислите радиус окружности.
20. Хорда, равная 10 2 см, стягивает дугу в 90°. Вычислите радиус
окружности.
21. Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, а угол между
диагоналями равен 60°. Вычислите радиус описанного круга.
22. Найдите сумму векторов a (–2; 3) и b (–1; 4).
23. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом 1.
24. У одного прямоугольного треугольника угол равен 60°, а у другого
10 см
10 см, 6 см
5 см, 10 см
3 см
300 см2
2
5 см
2 3 см
13 см
Нет
0,5
10
7 см, 17 см
270о
90о
2 3 см
8 см
4:3
1 дм
10 см
5 см
c (–3; 7)
x2 + y2 = 1
Да
прямоугольного треугольника угол равен 30°. Подобны ли эти
треугольники?
25. Диагонали параллелограмма разбивают его на 4 треугольника.
Будут ли эти треугольники равновеликими?
1
26. Косинус скалярного произведения векторов a и b равен . Чему
2
равен угол между векторами?
27. Из одной вершины выпуклого многоугольника проведено 4
диагонали. Сколько вершин у многоугольника?
28. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Вычислите
высоту треугольника.
29. Около круга описана равнобедренная трапеция, периметр которой
равен 40 см. Вычислите среднюю линию трапеции.
3
30. В прямоугольном треугольнике sinA = , а гипотенуза равна 10 см.
5
Вычислите катеты треугольника.
Да
60o
7
3 3 см
10 см
6 см, 8 см
Март
1. На каком расстоянии находится точка А (–8; –6) от начала
координат?
2. Два угла с соответственно параллельными сторонами относятся как
2 : 3. Вычислите эти углы.
3. Сколько осей симметрии у равнобедренной трапеции?
4. Стороны параллелограмма относятся как 3 : 2. Сколько процентов
составляет меньшая сторона от его периметра?
5. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а ширина — 6 см.
Вычислите периметр прямоугольника.
6. Параллельные ли прямые у = 3х – 2 и у = –3х + 5?
7. Даны координаты точек на плоскости А (5; 4) и В (7; 2). Вычислите
координаты середины отрезка АВ.
8. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а
длина боковой стороны 3 см. Вычислите длину радиуса описанной
окружности.
9. Вычислите сумму внутренних углов правильного шестиугольника.
10. Сторона правильного n-угольника равна а. Чему равен радиус
вписанной окружности (апофема)?
11. Известно, что | a | = 5 см, | b | = 4 см, а угол между ними равен 60°.
Вычислите скалярное произведение векторов.
12. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 см. Одна из
сторон втрое больше другой. Вычислите длины сторон треугольника.
13. Даны координаты точек на плоскости А (3; –5), В (–5; 1).
Вычислите длину вектора AB .
14. Векторы a (10; 6) и b (5; у) коллинеарны. Вычислите у.
15. Биссектриса в прямоугольнике делит сторону пополам, а его
периметр равен 24 см. Вычислите стороны прямоугольника.
16. Вписанный угол опирается на дугу в 80°. Вычислите вписанный
угол.
10
72o, 108o
1
20%
28
Нет
(6; 3)
3 см
720o
an
r=
180 0
2tg
n
10
9 см, 9 см,
3 см
10
3
4 см, 8 см
40о
17. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а катет —
6 см. На какие отрезки делит второй катет биссектриса угла?
18. Определите вид треугольника, если стороны его равны 6 см, 7 см и
8 см.
19. Вычислите величину угла правильного пятиугольника.
20. В треугольнике стороны, образующие угол А, равны 8 см и 10 см.
На какие отрезки делит биссектриса угла AM противоположную
сторону, равную 9 см?
21. Будут ли векторы a (3; 2) и b (6; –9) перпендикулярны?
22. В прямоугольном треугольнике sinA = 0,8. Вычислите cosA.
23. В равнобедренной трапеции углы относятся как 1 : 5. Вычислите
углы трапеции.
24. Вычислите расстояние между точками А (–5; 1) и В (7; 6).
25. Какой угол образует прямая у == 3 х + 3 с осью ординат?
26. Площадь ромба равна 18 см2, а угол — 150°. Вычислите сторону
ромба.
27. Вычислите в квадратных метрах 1 га 3 сотки.
28. Коллинеарны ли векторы AB (2; 1) и CД (4; 2)?
29. Принадлежит ли точка А (2; 2) окружности х2 + y2 = 4?
30. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный
треугольник, делит боковую сторону на отрезки 5 см и 6 см.
Вычислите периметр треугольника.
5 см, 3 см
Остроугольный
108о
4 см, 5 см
Да
0,6
30о и 150о
13
60о
6 см
10 300 м2
Да
Нет
32 см или
34 см
Апрель
1. Сторона равностороннего треугольника равна 4 3 см. Вычислите
8 см
диаметр описанной окружности.
2. Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Вычислите
9 3 см2
площадь треугольника.
3. Как увеличится длина окружности, если радиус увеличить на 1 дм?
На 2  дм
4. Вычислите сумму внутренних углов выпуклого пятиугольника.
540о
5. Диагональ прямоугольника равна 5 дм, а ширина — 3 дм. Вычислите
12 дм2
площадь прямоугольника.
180 0
6. Напишите формулу для вычисления длины стороны правильного
an = 2R sin
многоугольника, если радиус описанной окружности равен R.
n
7. Вычислите центральный угол, если соответствующая ему дуга
45о
составляет восьмую часть окружности.
8. Найдите длину хорды, если радиус равен 10 см, а центральный угол
10 2 см
равен 90°.
9. Вписанный угол опирается на дугу в 140°. Вычислите вписанный
70о
угол.
10 см
10. Длина окружности равна 20  см. Вычислите радиус.
11. Ребро куба равно 5 см. Вычислите сумму длин всех ребер.
60 см
12. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см.
10  см
Вычислите длину описанной окружности.
13. Дано уравнение окружности х2 + у2 = 4. На каком расстоянии
2 см
находятся точки окружности от начала координат?
14. Диагонали ромба равны 6 дм и 8 дм. Вычислите сторону ромба.
5 дм
15. Можно ли считать диагональ параллелограмма осью симметрии?
Нет
16. Радиусы двух кругов равны 5 см и 10 см. Их общие внутренние
касательные взаимно перпендикулярны. Вычислите длину отрезка
касательной между точками касания.
17. Две хорды пересекаются. Первая делится точкой пересечения на
отрезки 3 см и 6 см. Один из отрезков второй хорды равен 2 см.
Вычислите длину второй хорды.
18. Площадь треугольника равна 8 см2. Вычислите площадь подобного
ему треугольника, если стороны его вдвое больше.
19. Что больше: cos120° или sin210°?
20. Площадь круга равна 64  см2. Запишите уравнение окружности с
центром в начале координат.
21. Основания трапеции равны 7 см и 13 см, а высота — 5 см.
Вычислите площадь трапеции.
22. Диаметр и хорда взаимно перпендикулярны. Вычислите длину
хорды, если она делит диаметр на отрезки 20 см и 5 см.
23. Меньшая сторона прямоугольника равна 6 см, а диагональ — в два
раза больше. Вычислите площадь прямоугольника.
24. Две силы — F1 = 3Н и F2 = 4Н — действуют под прямым углом и
из одной точки. Вычислите равнодействующую силу F.
25. Известно, что | a | = 6 см, | b | = 5 см, а угол между ними равен 60°.
Вычислите скалярное произведение векторов.
26. Стороны параллелограмма равны 6 см и 7 см, а угол между ними —
150°. Вычислите площадь параллелограмма.
27. Диагонали ромба равны 4 см и 6 см. Вычислите площадь ромба.
28. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если его
площадь основания равна 20 см2, а высота — 5 см.
29. Хорда стягивает дугу в 200°. Под каким углом видна хорда из точек
этой дуги?
30. В треугольнике провели среднюю линию. Какую часть площадь
отсекаемого треугольника составляет от площади данного
треугольника?
15 см
11 см
32 см2
Равны
x2 + y2 = 64
50 см2
20 см
36 3 см2
5Н
15
21 см2
12 см2
100 см3
80о
Четвертую
Май
1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого n-угольника?
2. Стороны ромба равны по 6 см, а угол между ними равен 30°.
Вычислите площадь ромба.
3. Основания трапеции равны 8 см и 12 см, а площадь трапеции равна
50 см2. Вычислите высоту трапеции.
4. Меньшая сторона прямоугольника 10 см, а угол между диагоналями
60°. Вычислите площадь прямоугольника.
5. Диагональ прямоугольника равна 15 см, а длина его — 12 см.
Вычислите площадь прямоугольника.
6. Сколько диагоналей у правильного шестиугольника?
7. Вычислите площадь квадрата, если диагональ его равна 4 см.
8. Сторона правильного треугольника равна 5 3 см. Вычислите
радиус описанного круга.
9. Около квадрата описана окружность радиусом 4 см. Вычислите
стороны квадрата.
10. Катеты треугольника равны 6 см и 8 см. Вычислите длину медианы
треугольника на гипотенузу.
180о(n – 2)
18 см2
5 см
100 3 см2
108 см2
9
8 см2
5 см
4 2 см
5 см
11. Стороны параллелограмма равны 5 см и 6 см, а угол между ними
45°. Вычислите площадь параллелограмма.
12. Стороны треугольника равны 12 см и 5 см, а угол между ними 150°.
Вычислите площадь треугольника.
13. В окружности проведены диаметр и перпендикулярная ему хорда,
которая делит диаметр на отрезки, равные 4 см и 9 см. Вычислите
хорду.
14. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5 см, а
основание — 6 см. Вычислите площадь треугольника.
15. Стороны треугольника относятся как 4 : 5 : 6. Меньшая сторона
подобного ему треугольника равна 8 см. Вычислите периметр
подобного треугольника.
16. Хорда стягивает дугу в 240°. Под каким углом видна хорда из точек
этой дуги?
17. Вычислите площадь сектора, если диаметр круга равен 4 см, а
центральный угол — 90°.
18. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны d1 и d2.
19. Стороны двух подобных треугольников относятся как 2 : 1.
Площадь первого треугольника равна 40 см2. Вычислите площадь
меньшего треугольника.
20. Вычислите длину окружности, если сторона вписанного
правильного шестиугольника равна 6 см.
21. Площадь параллелограмма равна 40 см2, а сторона основания — 10
см. Вычислите высоту параллелограмма на основание.
22. В окружность вписан квадрат со стороною 12 см. Вычислите его
апофему (радиус вписанного круга) и радиус описанной окружности.
23. Наибольшее расстояние между двумя концентрическими
окружностями равно 12 см, а наименьшее — 4 см. Вычислите радиусы
окружностей.
24. Хорда пересекает диаметр под углом 30° и делит его на отрезки,
равные 2 см и 10 см. Вычислите расстояние хорды от центра.
25. Из концов дуги в 200° проведены две касательные до взаимного
пересечения. Вычислите угол между касательными.
26. Сторона ромба равна 10 см, а угол — 120°. Вычислите площадь
ромба.
27. Вычислите площадь круга, заданного неравенством х2 + у2  16.
28. Площадь равностороннего треугольника равна 9 3 см2. Вычислите
сторону треугольника.
29. Сторона квадрата равна 7 см. Вычислите диагональ квадрата.
30. Из точки А к окружности проведена секущая АВС, равная 8 см, а
хорда ВС — 6 см. Вычислите длину отрезка касательной АК, где К —
точка касания.
15 2 см2
15 см2
12 см
12 см2
30 см
60o
 см2
0,5d1d2
10 см2
12  см
4 см
6 см, 6 2 см
8 см, 4 см
2 см
20o
50 3 см2
16  см2
6 см
7 2 см
4 см
Билеты и задачи для устного экзамена по геометрии в IX классе
Билет № 1
1. Определение вертикальных углов. Свойство вертикальных углов.
2. Решение прямоугольного треугольника, по катету и острому углу.
3. Задача. Длины диагоналей ромба пропорциональны числам 3 и 4, сторона его
равна 20 см. Вычислите:
а) длины диагоналей;
б) радиус окружности, вписанной в ромб.
Билет № 2
1. Определение смежных углов. Свойство смежных, углов.
2. Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.
3. Задача. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 5 см. Одна
сторона прямоугольника равна 6 см. Вычислите:
а) площадь прямоугольника;
б) угол между диагоналями прямоугольника.
Билет № 3
1. Определение равных треугольников. Признаки равенства треугольников
(доказательство одного из признаков).
2. Решение прямоугольного треугольника по двум катетам.
3. Задача.
а) Составьте уравнение окружности с центром на прямой у = 4 и касающейся оси
абсцисс в точке (3; 0).
б) Найдите координаты точки пересечения окружности с прямой у = х.
Билет № 4
1. Определение равнобедренного треугольника. Свойство углов равнобедренного
треугольника.
2. Формулы площади прямоугольника и квадрата.
3. Задача. Даны точки A(-4; 3), B(3; 10), С(6; 7), D(- 1; 0). Докажите:
а) что АВ = DC, AB | | DC;
б) определите вид четырехугольника ABCD и вычислите его периметр.
Билет № 5
1. Определение медианы треугольника. Свойство медианы равнобедренного
треугольника, проведенной к его основанию.
2. Уравнение окружности.
3. Задача. На продолжении стороны АВ параллелограмма ABCD взята точка К;
АВ = 15 см, АК = 45 см, AD = 24 см. Отрезки KD и ВС пересекаются в точке М.
Вычислите:
а) длины отрезков ВМ и МС;
б) отношение площадей треугольников ВКМ и MCD, отношение их периметров.
Билет № 6
1. Определение параллельных прямых. Теорема о двух прямых, параллельных
третьей прямой.
2. Формулы площади треугольника.
3. Задача. В трапеции КМРТ (КМ // РТ)  КМР =  КТМ = 90°, МР = РТ = 12 см.
Вычислите:
а) градусную меру угла ТКМ;
б) длину средней линии данной трапеции.
Билет № 7
1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых
третьей.
2. Определение суммы и разности векторов. Построение суммы и разности
векторов.
3. Задача. Через вершину В тупого угла параллелограмма ABCD проведены к
сторонам AD и CD его высоты ВМ и ВК; АВ = 15 см, ВС= 18 см, ВК= 12 см. Вычислите:
а) длину высоты ВМ;
б) градусные меры углов параллелограмма и длину меньшей его диагонали.
Билет № 8
1. Теорема о сумме углов треугольника.
2. Определение скалярного произведения векторов. Свойства скалярного
произведения векторов.
3. Задача. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см.
Большее ее основание—18 см. Вычислите:
а) периметр трапеции;
б) расстояния от точки пересечения диагоналей трапеции до ее оснований.
Билет № 9
1. Определение внешнего угла треугольника. Свойство внешних углов
треугольника.
2. Формулы длины окружности и ее дуги.
3. Задача. Прямые AВ и CD, на которых лежат боковые стороны трапеции ABCD,
пересекаются в точке К; АВ = 16 см, ВС : AD =5:9. Вычислите:
а) длину отрезка ВК;
б) отношение площадей треугольника ВКС и трапеции ABCD.
Билет № 10
1. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.
2. Формулы площади параллелограмма и ромба.
3. Задача. В трапеции ABCD  А =  В =  ACD = 90°, АВ = ВС = 8 см.
Вычислите:
а) длины основания AD и средней линии трапеции;
б) расстояния от точки пересечения диагоналей трапеции до ее оснований.
Билет № 11
1. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.
2. Формулы площади правильного n-угольника.
3. Задача. Даны точки A(2; - 3) и В(- 2; 2).
а) Составьте уравнение окружности с центром в точке А, проходящей через точку
В.
б) Найдите координаты точки пересечения этой окружности с прямой х = - 2.
Билет № 12
1. Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма.
2. Формулы площади трапеции.
3. Задача. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника AВС
(AВ = ВС) в пять раз больше смежного с ним внутреннего угла. Вычислите:
а) градусные меры углов данного треугольника;
б) углы между биссектрисами внешних углов треугольника.
Билет № 13
1. Свойства диагоналей параллелограмма.
2. Формулы для вычисления радиусов вписанных и описанных окружностей
правильных многоугольников.
3. Задача. Дан отрезок AВ. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) серединный перпендикуляр к отрезку AВ;
б) окружность данного радиуса, касающуюся отрезка AВ в его середине.
Билет № 14
1. Определение прямоугольника. Свойства его диагоналей.
2. Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей
треугольника.
3. Задача. Прямые AВ и КМ параллельны. Отрезки AM и ВК пересекаются в точке
О;
AВ = 12 см, ВО = 15 см, OK = 10 см. Вычислите:
а) длину отрезка КМ;
б) расстояние между прямыми AВ и КМ, если точка О расположена на 3 см ближе к
прямой КМ, чем к прямой AВ.
Билет № 15
1. Определение ромба. Свойства диагоналей ромба.
2. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.
3. Задача. Меньшее основание ВС трапеции AВСD равно 12 см; AВ = CD,  D =
45°, высота равна 8 см. Вычислите:
а) площадь трапеции;
б) отношение площадей треугольников AOD и ВОС (О — точка пересечения
диагоналей трапеции).
Билет № 16
1. Определение средней линии треугольника. Свойства средней линии
треугольника.
2. Формулы площади треугольника.
3. Задача. Сумма градусных мер угла AВС, вписанного в окружность, и
центрального угла AOС равна 90°. Вычислите:
а) градусные меры углов AВС и AОС;
б) расстояние от центра окружности до хорды AС, если радиус окружности равен
8 3 см.
Билет № 17
1. Определение средней линии трапеции. Свойства средней линии трапеции.
2. Формулы площади круга и сектора.
3. Задача. Постройте с помощью циркуля и линейки:
а) угол, градусная мера которого равна 60°;
б) точку, которая удалена от вершины построенного угла на расстояние r, а от его
сторон на расстояние 0,5 r.
Билет № 18
1. Определение прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора.
2. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному.
3. Задача. В окружность, радиус которой равен 10 см, вписан квадрат ABCD.
Вычислите:
а) периметр квадрата и длину дуги АВ;
б) площадь кольца, ограниченного данной и вписанной в квадрат окружностями.
Билет № 19
1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников.
2. Формула для вычисления длины отрезка с помощью координат его концов.
3. Задача. АС и ВС — хорды окружности, радиус которой равен 6,5 см, АВ — ее
диаметр, АС = 5 см. Вычислите:
а) длину хорды СВ;
б) расстояния от центра окружности до хорд;
расстояние от точки С до диаметра АВ.
Билет № 20
1. Определение угла, вписанного в окружность. Свойства углов, вписанных в
окружность.
2. Формулы координат середины отрезка.
3. Задача.
Основание равнобедренного треугольника равно 26 см, угол при
основании — 56°. Вычислите:
а) периметр треугольника;
б) длину окружности, описанной около треугольника.
Билет № 21
1. Теорема косинусов.
2. Построение с помощью циркуля и линейки прямой, проходящей через данную
точку и перпендикулярную данной прямой.
3. Задача. Периметр параллелограмма ABCD равен 60 см. Биссектриса его острого
угла А делит сторону ВС на равные части; Е — точка пересечения биссектрисы и стороны
ВС; АЕ = 8 см. Вычислите:
а) периметр треугольника ABE;
б) отношение площадей треугольника ABE и параллелограмма ABCD.
Билет № 22
1. Теорема синусов.
2. Определение произведения вектора на число. Построение вектора, равного
произведению данного вектора на число.
3. Задача. Длины двух сторон параллелограмма пропорциональны числам 7 и 3.
Одна из них на 12 см больше другой. Вычислите:
а) периметр параллелограмма;
б) площадь и длины диагоналей параллелограмма, если его угол равен 120°.
Билет № 23
1. Определение выпуклого многоугольника. Теорема о сумме углов выпуклого
п-угольника.
2. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника с данными сторонами.
3. Задача. Вписанный угол ВAС опирается на дугу, равную 3/4 окружности.
Вычислите:
а) градусную меру угла ВAС;
б) расстояние от точки В до прямой АС.