Теорема Котельникова Материал из Gir

Теорема Котельникова
Материал из Gir
Эта статья находится в процессе согласования и доработки с преподавателем,
осуществляющим её методическое сопровождение.
Содерж
ание
[показа
ть]
[править]1 Дискретное представление сигналов с финитным спектром
При проектировании процесса передачи сигналов в большинстве КПС рассматриваются
многомерные сигналы
, подвергнутые дискретизации.
Как правило, функции, описывающие такие сигналы, не являются финитными. Однако для
апериодических импульсных сигналов с большой скважностью такое предположение, вообще говоря,
неверно. Тем не менее, в инженерных моделях с наперед заданной точностью можно принять, что
высокочастотный поддиапазон спектра такого сигнала имеет амплитуду, близкую нулю. Такие
сигналы, далее называемые сигналами с финитным спектром, можно точно восстановить по
некоторым их выборочным значениям, взятым в дискретной совокупности точек на отрезке
(одномерный случай), на плоскости
(двумерный сигнал), и т.д.
Для двумерного случая это означает, что если задать внутри финитной области вполне
определенное число точек, аппликаты которых изображают дискретные значения сигнала с
финитным спектром, то непрерывная поверхность, представляющая собой график функции
может быть проведена единственным образом.
1
[править]2 Теорема Котельникова для двумерного случая
Теорема Котельникова утверждает, что двумерный сигнал
спектром
с финитным
можно восстановить без потери.
Доказательство теоремы проведем для частного случая, когда спектр отличен от нуля в
прямоугольной области
. В этом случае сигнал можно с
любой степенью точности представить в виде дискретной суммы значений (отсчетов), взятых через
конечные промежутки
,
. Эту теорему называют также теоремой о
дискретном представлении, или теоремой отсчетов, или теоремой выборки.
Пусть задан финитный спектр (рис. 1):
Рис.1. Геометрическая модель двумерного пространственно-частотного спектра (ПЧС) финитной
функции
Далее введем в рассмотрение выборочную функцию
2
,
фурье-образ которой
равен двумерной бесконечной периодической сумме (рис. 2)
дискретно смещенных финитных спектров исходного сигнала
.
Рис.2. Геометрическая модель двумерного ПЧС выборочной функции
Таким образом,
.
Тогда исходный финитный спектр
, показанный на рис. 1 можно представить в виде
произведения фурье-образа выборочной функции
и двумерного прямоугольного импульса
.
В результате обратного преобразования Фурье из
с учетом
найдем
.
3
Откуда после преобразований, основанных на свойствах:
преобразование Фурье (как прямое, так и обратное) от свертки двух функций соответствует
произведению их Фурье-образов;
преобразование Фурье от гребенчатой функции – гребенчатая функция;
фильтрующее свойство дельта-функции,
можно записать:
.
Переставляя местами двойной интеграл и двойную сумму, с учетом фильтрующего свойства функции получим окончательное выражение для ряда Котельникова
где
,
.
Выражение
суммы
представляет сигнал с финитным спектром в виде бесконечной двойной
-образных базисных сигналов. Иначе говоря, для восстановления сигнала
необходимо вычислить бесконечную двойную сумму в виде линейной комбинации
сигналов
с амплитудой
из
совокупности выборочных значений. Восстановление сигналов осуществляется в результате
последовательного сдвига функций в точке
. Базисный сигнал
называют интерполяционной функцией, или функцией отсчетов. График ряда Котельникова для
одномерного сигнала
приведен на рис. 3.
4
Рис.3. Двумерная геометрическая модель, идентифицирующая одномерный восстановленный
сигнал в виде суммы
-образных базисных типовых сигналов
Для одномерного временного сигнала
интервале
, ряд Котельникова имеет вид
При этом для восстановления сигнала
интерполяционная функция
с финитным спектром, отличным от нуля на
в каждой точке выборки
с амплитудой
строится
.
Строго говоря, сигналов с финитным спектром не существует. Однако для большинства
реальных сигналов спектральная плотность на высоких частотах ничтожно мала. Поэтому большая
часть энергии сигнала локализована в ограниченной частотной области, а сам сигнал хорошо
аппроксимируется функцией с финитным спектром. Погрешность, возникающая при отбрасывании
высших частотных гармоник, пренебрежимо мала.
[править]3 Свойства выборочной функции
Функция
,
5
называемая выборочной функцией, представляет собой двумерную
функций
- решётку из
с амплитудой
. Рассмотрим её
основные свойства.
1. Функция
имеет размерность исходного сигнала .
2. Объем выборки пропорционален сумме выборочных значений
3. Спектр выборочной функции равен бесконечной двумерной сумме дискретно смещенных
финитных спектров исходного сигнала и совпадает со вспомогательной функцией
на рис. 2, так
что
.
4. Свёртка
с интерполяционной функцией
восстанавливает
исходный сигнал с помощью ряда Котельникова
, который можно записать в
виде
.
На практике часто используют выборочную функцию
, отличающуюся от
функции
постоянным коэффициентом. Ее свойства совпадают со свойствами
.
[править]4 Переналожение спектров
Пусть выборка осуществляется через произвольные промежутки
, т.е.
;
, т.е.
. В этом случае вспомогательная функция
имеет вид
.
Подставляя ее в
, в результате обратного преобразования Фурье получим выражение
для обобщенного ряда Котельникова
,
которое при
,
переходит в ряд Котельникова
.
6
Если теперь интервалы выборки
то для выборочной функции
, т.е.
, т.е.
;
,
имеем
.
В свою очередь для спектра выборочной функции по аналогии с
.
На рис. 4 (а,б) приведены одномерные спектры
и
.
Рис.4. Геометрическая модель двумерного одномерных пространственно-частотных спектров
(ПЧС), идентифицирующая их переналожение: а - ПЧС входного сигнала;б - ПЧС выборочной
функции при
Так как
,
то использование низкочастотного ПЧФ с передаточной функцией
передаче по каналу связи
в виде
не позволяет выделить спектр
сигнала в чистом виде. В отфильтрованном спектре
налагающихся спектров
при
исходного
будут присутствовать частоты от соседних
(рис. 4б). В результате переналожения
спектров возникают так называемые шумы дискретизации.
7
8