Сигналы с ограниченным спектром

1
Лекція 34. Сигнали з обмеженим спектром.
1.Ідеальний низькочастотний сигнал.
2.Ортогональні сигнали з обмеженим спектром.
3. Теорема Котєльнікова.
4. Побудова ортонормованого базису.
5. Ряд Котєльнікова.
6.Принципова важливість ряду Котєльнікова.
Литература: Л1.с.59-62, Л2. с.135-142
1. Идеальный низкочастотный сигнал.
Согласно теории фильтров, любой ограниченный во времени сигнал обладает
бесконечно широким спектром. Однако работа с бесконечно широким спектром в
реальных условиях невозможна. Реальные РТ устройства обладают ограниченной
полосой пропускания. На основании этого перед нами стоит задача рассмотрения
теории, описывающей спектральный анализ и восстановление сигналов с ограниченным спектром. Спектральная плотность такого сигнала может быть представлена в
таком виде.
S ( )  0   D
S ( )  0   D
где D -ограниченная (конечная) область оси частот.
Тогда сигнал может быть представлен в виде обратного преобразования Фурье от
данной спектральной плотности по участку
1
S (t ) 
2
D.
 ( )e jt d
S

D
Ограниченному по частоте спектру соответствует временная функция в бесконечно широком интервале времени.
Рассмотрим конкретную задачу, когда в пределах частот среза спектральная
плотность есть величина постоянная.
S ( )
S ( )  S 0
D
 в
в
в -верхняя частота.
S 0
S ( )  
0
 в    в
   в; в 
Определим вид сигнала, имеющего ограниченный по оси частот спектр.
1
S (t ) 
2
в
jt
S
e
 0 d 
в
2
в
S0
e jt

 в
2jt
S 0 (e jв t  e  jв t ) S 0в sin вt



2 jt

вt
В результате вычислений получена функция в виде арочного синуса.
S (t )
t
t0
Согласно последнему выражению с ростом
сигнала и при
в возрастает и значение самого
t  0 достигает своего максимального значения. При очень узком

спектре, когда в  0 , идеальный низкочастотный сигнал превратится в
протяженную функцию. В свою очередь, когда ширина спектра сигнала очень велика
и стремится в   , сигнал вырождается в δ – функцию.

Семейство сигналов этого типа можно обобщить, вводя временную задержку t 0
на оси времени.
Обозначим такой сигнал, как
Тогда:
S0 ( )e jt0
S ( )  
0

S2 .
 в    в
   в; в
S 0в sin в(t  t 0 )
S 2 (t ) 


в(t  t 0 )
2. Ортогональные сигналы с ограниченным спектром.
Теорема Котельникова.
Свойства сигналов с ограниченным спектром позволяет найти новый интересный
класс ортогональных сигналов. Данный класс идеально подходит для представления
3
сигналов с ограниченным спектром.
Простейший пример таких сигналов это два идеальных низкочастотных сигнала
смещенных во времени друг относительно друга на время
скалярное произведение равнялось нулю.
Рассмотрим два идеальных НЧ-сигнала
t 0 , таким образом, чтоб их
U (t ) и V (t ) . Они оба имеют спек-
S 0 , и ограничены по верхней частоте в . Однако сигнал
V (t ) запаздывает на время t 0 относительно сигнала U (t ) , так, что
тральную плотность
V ( )  U ( )e  jt0
Обратное преобразование Фурье от скалярного произведения этих сигналов
вычисляется через их спектральные плотности.
1
F (UV ) 
2
S02

2
в
 e
в
 ( )V ( )e jt d  1
U
в
2
j ( t  t 0 )
 в

ы
2  jt 0 jt
S
0
 e e d 
ы
в
S02
d 
e j (t  t 0 )

 в
2j (t  t0 )

S02
e jв (t  t 0 )  e  jв (t  t 0 )
S02 в sin в (t  t0 )



 (t  t0 )
2j

в(t  t0 )
Скалярное произведение этих двух сигналов в чистом виде будет выглядеть так.
в sin вt 0
(UV )  S
 вt 0
2
0
Скалярное произведение обращается в ноль и два НЧ – сигнала становятся ортогональными друг к другу при условии
в  t 0  k .
где k  1,2,3,...
Данное условие означает,то
t0 =
k
в .
Минимальный дискретный сдвиг между двумя идеальными НЧ- сигналами будет
равен
t0 


1


в 2fв 2 fв
Таким образом, путем задержки во времени ряда сигналов друг относительно
друга удалось добится не просто скалярного произведения, а создать семейство
4
ортогональных функций, которое можно использовать для разложения сигналов в
обобщенный ряд Фурье, при условии, что данные сигналы имеют ограниченный по
частоте спектр.
S (t )

в
t
3
в
Полученный результат формулирует основное положение Теоремы Котельникова,
которая доказывает, непрерывный сигнал практически точно восстанавливается на
основе его дискретных отсчетов, при условии, что дискретизация происходит с
определенным шагом
t .
t 
k
в
3. Построение ортонормированного базиса.
Как было показано выше, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащих семействам вида
 K (t )  A
sin в(t  t 0 )

в(t  t 0 )
k
)в
в
k
в(t  )
в
A sin( t 
где (k  1,2,...)
являются ортогональными.
Путем соответствующего подбора коэффициентов A , можно добиться, чтобы
норма каждой из данных функций была равна единице. Таким образом будет создан
ортонормированный базис, позволяющий разложить сигнал любой формы с
ограниченным спектром в виде суммы идеальных НЧ – сигналов, взятых с определенным шагом задержки.
Для выбора коэффициента A рассмотрим нулевую базисную функцию, так как от
выбора функции коэффициент нормировки меняться не должен.
 0 (t )  A
5
sin вt
вt
Тогда из условия нормировки.

 i  j    i  j dt  1
(i  j )

0

sin 2 вt
A 2
A 
dt 
2
в
  (вt )
2
На основании того, что норма данной функции должна быть равна единице

в
A 2 
1 
 , то нормировочный коэффициент A 
в 
 .

Бесконечная совокупность функций вида
SCK (t , в) 
sin в(t 
k
)
в
в
 в(t  k )
в
образуют ортонормированный базис Котельникова в мнимом пространстве НЧ
сигналов со спектрами ограниченными сверху частотой
является отсчетной функцией ряда Котельнкова.
в . Каждая функция S C
K
7.5Ряд Котельникова.
Ранее было доказано, что два сигнала, с ограниченным спектром принадлежат
семейству функций вида.
 K (t ) 
k
)в
в
k
в(t  )
в
A sin( t 
(k  0,1,2,...)
Эти сигналы являются ортонормированными. Выбором коэффициента
A
в

было достигнуто то, что норма каждого из этих сигналов стала равна единице. В
результате был построен ортонормированный базис, позволяющий разложить любой
сигнал с ограниченным спектром в обобщенный ряд Фурье. Любой сигнал S (t )
спектральная плотность которого отлична от нуля в полосе частот от  в до
в можно разложить в обобщенный ряд Фурье по сумме базисных функций

6
Котельникова.

S (t )   C K  K (t , в )
K 0
Известно, чтобы записать обобщенный ряд Фурье в базисе Котельникова необходимо рассчитать проекционные коэффициенты по базисным направлениям.
Как известно, коэффициенты обобщенного ряда Фурье
скалярное произведение сигнала

C K  ( S (t ),  K (t , в)) 
S (t )
 S (t )

CK
и отсчетной функции
в

sin в(t 
в(t 
k
 t )в
в

в

S (t )
dt
k
 
в(
 t)
в
рассчитываются как
 K (t , в) .
k
)
в dt 
k
)
в
sin(

Сделаем замену переменной.
k
t  x
в
Для дальнейших расчетов представим функцию
sin вx
x
в ином виде.
в
sin вx e jвx  e jвx e jx в 1


  e jx d
x
2 jx
x2 j  в 2 в
Подставим найденную первообразную в выражение для скалярного произведения.
Подставим
в


в 1
1
jx
CK 
S
(
t
)
e
d  dt 

k



 в 
x
t
 2 в

в

 в j ( kв t ) 
1

S
(
t
)
e
d

dt



2 в 
2 в
в

1

в
 e
 в
j
k
в


 jt
   S (t )e dt  d
 

7
Внутренний интеграл ни что иное, как спектральная плотность сигнала


помножив наше выражение на
 1
CK 

в 2
S (t ) , тогда
, получим.
в
 ( )e
S

j
k
в
d
в
Последнее выражение есть обратное преобразование Фурье от нашего сигнала. На
основании этого можно записать.
CK 


  
 S k
S (kt )

в  в 
в
k  0,1,2,...
Из последнего выражения видно, что проекционные коэффициенты Ск в обобщенном ряде Фурье при разложении на базисные функции Котельникова будут являться

 kt , с
дискретными отсчетами сигнала, взятыми с шагом дискретизации k
в

точностью до коэффициента
.
в
в
Таким образом, любой сигнал S (t ) , ограниченный сверху частотой
,
представленный дискретными значениями этого сигнала, взятыми через равные
промежутки времени с шагом
t 
1
2 fв
может быть представлен рядом Котельни-
кова.
k
sin в (t 
)


в
в
S (t )  
S (kt )

k

в  
k 0 
в (t  )
CK

в

 K ( t ,в )

S (t )   S (kt )
k 0
sin в(t 
в(t 
k
)
в
k
)
в
-Ряд Котельникова.
8
5.Принципиальная важность ряда Котельникова.
Принципиальная важность ряда Котельникова заключается в том, что он дает
решение как прямой задачи – выбора интервала дискретизации t , так и обратной
задачи – восстановление сигнала S (t ) по заданной последовательности его
дискретных отсчетов. В соответствии с последним выражением процедура восстановления сигнала сводится к суммированию бесконечного числа функций Котельникова
 K (t , в)
с весовыми коэффициентами
S (kt ) .
Это означает, что точное восстановление сигнала S (t ) с ограниченным спектром
возможно только при бесконечной протяженности этого сигнала во времени.
Реальные сигналы ограниченны во времени и обладают вследствие этого теоретически неограниченными по частоте спектрами. Однако вне некоторой полосы частот
составляющие реальных спектров обладают малой энергией, по сравнению с
энергией всего сигнала S (t ) . Такие сигналы можно приближенно считать
ограниченными по времени и по частоте и представлять рядом Котельникова.
Если у сигнала S (t ) длительностью TC ограничить спектр по частоте fв то в
соответствии с теоремой Котельникова можно образовать число отсчетов, равное
N
TC
 2TC fв .
t
Число N дискретных отсчетов сигнала называют базой сигнала или числом
степеней свободы. Сигнал, ограниченный по времени приближенно описывается
рядом Котельникова, состоящим из конечного числа членов.
N
S (t )   S (kt )
k 0
При суммировании членов ряда сигнал
sin в(t 
в(t 
S (t )
k
)
в
k
)
в
точно воспроизводится только в
точках отсчетов t  t K . В промежутках между отсчетами возникает ошибка
аппроксимации, которая подчинена двум составляющим.
1. Искусственным ограничением спектра из расчета спектральных составляющих
находящихся выше частоты
.
2. Взятием конечного числа дискретных отсчетов.
в
Доцент кафедры КСЗИ
О.П.Крат