Концепция функции полезности

Примерный план лекций для студентов магистерских программ
«Экономика» и «ММАЭ» с базовой подготовкой на 2010-2011 уч. г.
Дата и тема
1. Предпочтения
и полезность
2. Задача
максимизации
полезности
Содержание
Литература
 Нестрогое предпочтение, строгое предпочтение и отношение
безразличия
 Свойства предпочтений: рациональность (полнота и транзитивность)
 Концепция функции полезности
 Утверждение о необходимости рациональности предпочтений для их
представимости с помощью функции полезности (с доказательством).
 Аксиома непрерывности предпочтений (возможны разные
определения в разных учебниках, но они на самом деле эквивалентны).
 Утверждение о существовании функции полезности, представляющей
рациональные непрерывные предпочтения (с упрощенным
доказательством
MWG, гл.1В, 3В-3С;
Ф. гл.1
 Утверждение о существовании функции полезности, представляющей
рациональные непрерывные предпочтения (с упрощенным
доказательством)
 Дополнительные свойства предпочтений:
MWG, гл.3D-3G;
Ф. гл.2
 выпуклость ~
,
 монотонность и ее разновидности,
 локальная ненасыщаемость (LNS).
 Задача максимизации полезности (UMP): формулировка и
существование решения.
 Свойства Маршалловского спроса (с доказательством): однородность
степени «0»; если предпочтения LNS ,то бюджетное ограничение
3. Задача
минимизации
расходов.
4.Двойственность
в теории
потребления
5. Проблема
восстановления
предпочтений
выполняется как строгое равенство; если ~
 строго выпуклы, то спрос
является функцией спроса (функция спроса хорошо определена).
 Определение косвенной функции полезности V(p,I)
 Свойства косвенной функции полезности (с доказательством):
 однородна степени «0» относительно (p,I),
 возрастает по доходу и не возрастает по ценам,
 квазивыпукла по (p,I), для этого свойства не требуется
квазивогнутость u(.),
 непрерывна,
 в случае дифференцируемости имеет место тождество Роя.
 Задача минимизации расходов (EMP): формулировка
 Свойства функции расходов (с доказательством):
 однородна степени «1» относительно цен,
 возрастает по уровню полезности и не убывает по ценам,
 вогнута по ценам,
 непрерывна,
 в случае дифференцируемости имеет место лемма Шепарда.
 Свойства функции расходов (с доказательством)-продолжение
 Теоремы двойственности (с доказательством).
 Доказательство тождества Роя.
 Уравнение Слуцкого для случая денежного дохода.
 Свойства матрицы замещения Слуцкого:
 S ( p , I ) - симметричная матрица;
 S ( p , I ) отрицательно полуопределенная;

~
представляет исходные
.
~
Вспомнить: условия Куна
Таккера, условия второго
порядка
MWG, гл.3E
Ф. гл.3
Свойства компенсированного
(Хиксовского) спроса (на
семинаре и возможно какие-то
доказательства в д/з).
Уравнение Слуцкого для
натурального дохода- на
семинаре
~
- выпуклы и слабо монотонны, то V  V .
u
u
Утверждение.
Если ( p ,u ) обладает свойствами функции

расходов, то она является функцией расходов для агента с
Уметь доказать, что
Функция полезности не
является единственной: любое
положительное монотонное
преобразование также
MWG, гл.3G,
Ф. гл.4
 S( p , I ) p  0 .
 Проблема восстановления предпочтений на основе функций спроса:
 1-ый шаг: восстановление функции расходов на основе
функций маршалловского спроса,
 2-ой шаг: восстановление предпочтений на основе ф. расходов.
 Обоснование корректности предложенной процедуры:
 e( p , u )  min px .
~
xVu
 Если
Пример с лексикографическими
предпочтениями,
демонстрирующий, что
рациональности предпочтений
недостаточно для
существования функции
полезности в общем случае
(доказательство предлагается
разобрать самостоятельно по
учебнику: см. стр. 46).

~
,
MWG, гл.3I,
Ф. гл 5
предст. множествами V~u
6.Двойственность
и анализ
благосостояния.
 Денежная оценка изменения уровня благосостояния,
компенсирующая вариация ( CV ) , эквивалентная вариация, ( EV ) .
 Соотношение между CV , EV , CS .

7. Агрегирование
в теории
потребления
8. Моделирование
поведения
фирмы.
Описание
технологий.
9. Минимизация
издержек и
максимизация
прибыли.
10.
Двойственность в
теории
производства.
Агрегирование в
теории
производства.
11. Основные
концепции
теории общего
равновесия.
12. Равновесие и
оптимальность в
экономике с
частной
собственностью.
 Агрегирование: от индивидуального спроса к совокупному спросу:
 при каких условиях совокупный спрос может быть представлен
как функция цен и суммарного дохода потребителей?
 при каких условиях совокупный спрос удовлетворяет WARP?
 Когда совокупный спрос представим как спрос
репрезентативного потребителя? Можно ли использовать
предпочтения репрезентативного потребителя для анализа
благосостояния?
Описание технологий: вектора чистого выпуска и производственные
множества.
 Свойства производственных множеств: непустота, замкнутость,
отсутствие рога изобилия (no free lunch), свобода расходования (free
disposal), необратимость (irreversibility), выпуклость, отдача от
масштаба.
Максимизация прибыли и минимизация издержек: минимизация
издержек- необходимое условие максимизации прибыли
Задача минимизация издержек: условный спрос на факторы
производства и функция издержек.
Свойства функции издержек (см. свойства функции расходов)
Свойства условного спроса z(w,q) (см. свойства компенсированного
спроса)
Функция прибыли и ее свойства:

Однородность степени 1 по ценам

Выпуклость

Непрерывность

Лемма Хотеллинга (если функция дифференцируема)
Двойственность в теории производства:
 восстановление производственной функции на основе функции
издержек.
 восстановление производственной функции на основе функции
прибыли.
Агрегирование: закон предложения
 Теорема о существовании репрезентативного производителя

Общее равновесие: основные концепции.
 Допустимые распределения.
 Парето-оптимальные распределения.
 Равновесие по Вальрасу в экономике с частной собственностью.
 Закон Вальраса и его следствия.
 Первая теорема экономики благосостояния (с доказательством).
 Графический пример, иллюстрирующий роль предпосылки о
локальной ненасыщаемости.
 Равновесие с трансфертами.
 Вторая теорема экономики благосостояния (доказательство- на
следующей лекции).
 Роль предпосылок о выпуклости предпочтений и производственных
множеств во второй теореме.
 Пример Эрроу.
 Доказательство второй теоремы экономики благосостояния
MWG, гл.3I,
гл. 4;
Ф, гл. 6
MWG, гл. 4;
Ф, гл. 6
Повторить WARP
(например,
см. MWG гл.2F)
MWG, гл. 5В.
Ф, гл. 7
MWG, гл. 5С-D.
Ф, гл.8
Производственная функция.
Связь между свойствами
производственного множества и
производственной функции (на
семинаре).
Уметь
решать
задачи
минимизации
расходов
и
максимизации прибыли.
MWG, гл. 5С-Е.
Ф, гл.9
MWG, гл.15, 16В
Ф, гл.15-16
Повторить графическое
представление экономики
обмена (ящик Эджворта) и
экономики Робинзона Крузо
MWG, гл. 16 C-F,
Ф, гл.16-17
На семинаре и
самостоятельно MWG, гл. 16
F Дифференциальные
характеристики паретооптимальных распределений
13.Существование
равновесия по
Вальрасу.
14.Единственност
ь равновесия по
Вальрасу
15. Ядро.
 Утверждение о существовании равновесного вектора в терминах
избыточного спроса. Доказательство утверждения на основе теоремы
Брауэра.
 Условия на предпочтения и запасы, при которых функции
избыточного спроса будут удовлетворять вышеизложенным
требованиям. Формулировка и доказательство соответствующего
утверждения.
 Условие относительно положительности начальных запасов
каждого участника можно ослабить, заменив на условие
положительности совокупных начальных запасов и добавив
требование строгой монотонности предпочтений. (без
доказательства).
 Обсуждение проблемы применимости теоремы существования для
экономики с производством.
 Единственность равновесного вектора цен в экономике с валовой
заменимостью.
 Единственность (выпуклость множества) равновесных цен для
экономики, где технологии обладают постоянной отдачей от
масштаба, а избыточный спрос без производства удовлетворяет
слабой аксиоме.
 Идея индексного подхода (если успеем)







Определение ядра экономики.
Пример: ядро в ящике Эджворта.
Парето оптимальные распределения и ядро.
Равновесные распределения и ядро.
Реплицированная экономика.
Пример.Реплицирование экономики обмена.
Характеристика ядра с точки зрения потребительских наборов
агентов одного типа (equal treatment in the core)
 Теорема о сжимающемся ядре (c доказательством).
MWG, гл. 17C
Ф, гл.18
MWG, гл. 17F-D
Ф, гл.19
MWG, гл. 18A-B
Ф, гл.20