Неопределённый и определённый интеграл

Íåîïðåäåë¼ííûé è îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë [1], [3], [4]
1. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ. Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
2. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè è åãî ñâîéñòâà. Ïîäâåäåíèå ôóíêöèè ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà.
3. Ïåðâîîáðàçíàÿ è íåîïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ñâîéñòâà íåîïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà.
4. Òàáëèöà íåîïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ.
5. Ìåòîä íåïîñðåäñòâåííîãî èíòåãðèâàíèÿ.
6. Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ: ïîäâåäåíèå ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà, ïîäñòàíîâêè è ïî ÷àñòÿì.
7. Èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèé, ñîäåðæàùèõ êâàäðàòè÷íûé òð¼õ÷ëåí ax2 + bx + c.
8. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.
9. Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
10. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà.
11. Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà.
12. Ñâîéñòâà îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà.
13. Îïðåäåë¼ííûé èíòåãðàë îò ÷¼òíîé/íå÷¼òíîé ôóíêöèè ïî ñèììåòðè÷íîìó èíòåðâàëó.
14. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà: ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû, îáú¼ì òåëà (âðàùåíèÿ), ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.
15. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà: îïðåäåëåíèå ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè, çàäàííûìè ÿâíî (ïàðàìåòðè÷åñêè, â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò).
16. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà: ìàññà è öåíòð òÿæåñòè ïðÿìîëèíåéíîãî ñòåðæíÿ,
îïðåäåëåíèå ïóòè ïî ôóíêöèè ñêîðîñòè.
Êðàòíûå è êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû [2], [3], [4]
1. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ äâîéíîãî èíòåãðàëà: îáú¼ì òåëà è ìàññà ïëàñòèíû.
2. Ñâåäåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó. Èçìåíåíèå ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ.
3. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â äâîéíîì èíòåãðàëå. ßêîáèàí çàìåíû.
4. Âû÷èñëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.
5. Ïðèëîæåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà: îáú¼ì òåëà, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè.
6. Ïðèëîæåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà: ìàññà, ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû, öåíòð òÿæåñòè ïëàñòèíû.
7. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ òðîéíîãî èíòåãðàëà: îáú¼ì è ìàññà òåëà.
8. Âû÷èñëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà â ïðÿìîóãîëüíûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.
9. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë I ðîäà: ïîíÿòèå è ñâîéñòâà.
10. Ïðèëîæåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà I ðîäà: ìàññà êðèâîé, äëèíà êðèâîé.
11. Ïðèëîæåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà I ðîäà: öåíòð ìàññ êðèâîé, ìîìåíòû èíåðöèè êðèâîé.
12. Ïðèëîæåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà I ðîäà: ïëîùàäü ÷àñòè öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.
13. Âû÷èñëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà I ðîäà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ êðèâîé.
14. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë II ðîäà: ïîíÿòèå è ñâîéñòâà.
15. Âû÷èñëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà II ðîäà äëÿ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ êðèâîé.
16. Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî-Ãðèíà è ñëåäñòâèÿ èç íå¼.
17. Óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà II ðîäà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ.
18. Îïðåäåëåíèå ðàáîòû ïî ïåðåìåùåíèþ òåëà âäîëü êðèâîé ïîä äåéñòâèåì ïåðåìåííîãî âåêòîðà ñèëû.
19. Îïðåäåëåíèå ïëîùàäè ïëîñêîé ôèãóðû ñ ïîìîùüþ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà II ðîäà (ñ äîêàçàòåëüñòâîì).
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ [1], [3], [4]
1. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà. Îáùåå ðåøåíèå è îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ.
2. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà. Çàäà÷à Êîøè.
3. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ÿâíî âûðàæåííîé ïðîèçâîäíîé. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. Ìåòîä èçîêëèí.
4. Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
5. Ñîñòàâëåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ñåìåéñòâà êðèâûõ. Îïðåäåëåíèå îðòîãîãàëüíîãî ñåìåéñòâà êðèâûõ äëÿ äàííîãî ñåìåéñòâà êðèâûõ.
6. Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.
7. Îäíîðîäíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.
8. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé.
9. Óðàâíåíèå Áåðíóëëè. Ïîäñòàíîâêà Áåðíóëëè.
10. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ.
11. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äîïóñêàþùèå ïîíèæåíèå ïîðÿäêà.
12. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà. Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñèñòåìà ðåøåíèé, Âðîíñêèàí ñèñòåìû ôóíêöèé.
13. Ëèíåéíûå îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ìåòîä îïðåäåëåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ.
14. Ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ.
Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ.
15. Ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ.
Ìåòîä ñïåöèàëüíîé ïðàâîé ÷àñòè.
16. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ.
×èñëîâûå è ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû [2], [3], [4]
1. ×èñëîâîé ðÿä: ÷àñòè÷íàÿ ñóììà, ñóììà ðÿäà, íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè.
2. ×èñëîâîé ðÿä: ÷àñòè÷íàÿ ñóììà, ñóììà ðÿäà è ñóììà îñòàòî÷íîãî ðÿäà.
3. Óñëîâèå ñõîäèìîñòè è ñóììà ðÿäà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.
4. Ðàñõîäèìîñòü ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà (ñ äîêàçàòåëüñòâîì).
5. Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè: ñðàâíåíèÿ, Äàëàìáåðà è Êîøè (ðàäèêàëüíûé).
6. Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè. Ñõîäèìîñòü îáîáù¼ííîãî ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà.
7. Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû. Ïðèçíàê Ëåéáíèöà. Îöåíêà ñóììû îñòàòî÷íîãî ðÿäà.
8. Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû. Àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ñõîäèìîñòè.
9. Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä. Íàõîæäåíèå îáëàñòè ñõîäèìîñòè.
10. Ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû è èõ ñâîéñòâà. Íåïðåðûâíîñòü ñóììû (ñ äîêàçàòåëüñòâîì).
11. Ñòåïåííûå ðÿäû. Òåîðåìà Àáåëÿ. Ôîðìóëû äëÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè.
12. Ñóììèðîâàíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ, èñïîëüçóÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå.
13. Ôîðìóëà Òåéëîðà/Ìàêëîðåíà. Ìíîãî÷ëåí Òåéëîðà/Ìàêëîðåíà. Îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Ëàãðàíæà.
14. Ðÿäû Ìàêëîðåíà äëÿ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
15. Âû÷èñëåíèå ïðèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ïðè ïîìîùè ðÿäà Òåéëîðà/Ìàêëîðåíà.
16. Âû÷èñëåíèå ïðèáëèæ¼ííîãî çíà÷åíèÿ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà ïðè ïîìîùè ðÿäà Òåéëîðà/Ìàêëîðåíà.
17. Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ ðÿäîâ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] À. Ï. Ðÿáóøêî, Ñáîðíèê èíä. çàäàíèé, ÷.2 - ëþáîå èçäàíèå.
[2] À. Ï. Ðÿáóøêî, Ñáîðíèê èíä. çàäàíèé, ÷.3 - ëþáîå èçäàíèå.
[3] Äì. Ïèñüìåííûé, Êîíñïåêò ëåêöèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, Ì.: Àéðèñ Ïðåññ, 2006.
[4] Ã. È. Çàïîðîæåö, Ðóêîâîäñòâî ê ðåøåíèþ çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, - ëþáîå èçäàíèå.
[5] Êîíñïåêò ëåêöèé.
Ïðèìå÷àíèå: Âûøåóêàçàííûå ïîñîáèÿ [1] − [4] âû ìîæåòå ñêà÷àòü ïî áåçîïàñíîé ññûëêå íà ßíäåêñ.Äèñêå:
https://yadi.sk/d/xMsMVBNYdxzfX
2