Вопросы к коллоквиуму "Кратные интегралы и теория поля

Âîïðîñû ê êîëëîêâèóìó
Êðàòíûå èíòåãðàëû è òåîðèÿ ïîëÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, 2-é ìîäóëü, âòîðîé êóðñ,
ãðóïïû ÁÏÌ 141, 142, 143;
2015/2016 ó÷åáíûé ãîä
Â. Â. Ëåáåäåâ
Íà êîëëîêâèóìå ñòóäåíò ïîëó÷àåò äâà âîïðîñà èç ýòîãî âîïðîñíèêà ïî
âûáîðó ïðåïîäàâàòåëÿ. Ñòóäåíò äîëæåí çíàòü îïðåäåëåíèÿ è ôîðìóëèðîâàòü
óòâåðæäåíèÿ. Âîñïðîèçâîäèòü äîêàçàòåëüñòâà íå òðåáóåòñÿ.
1. Äàéòå îïðåäåëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà
ZZ
f (x, y)dxdy
D
îò ôóíêöèè ïî îãðàíè÷åííîé
RR ïëîñêîé îáëàñòè. Ïîÿñíèòå åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. ×åìó ðàâåí D 1dxdy ?
2. Çàïèøèòå ôîðìóëó ñâîäÿùóþ âû÷èñëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ê
ïîâòîðíîìó.
3. Îïðåäåëèòå ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ϕ : D → R2 ïëîñêîé îáëàñòè
D è ïîÿñíèòå åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Çàïèøèòå ôîðìóëó çàìåíû
ïåðåìåííîé â äâîéíîì èíòåãðàëå.
4. Âû÷èñëèòå ÿêîáèàí ïåðåõîäà ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì è âû÷èñëèòå
ZZ
x2 y 2 dxdy.
x2 +y 2 ≤1
5. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàññû è êîîðäèíàò öåíòðà
òÿæåñòè ïëîñêîé ïëàñòèíû ñ çàäàííûì çàêîíîì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè.
6. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ïî ïëîñêîé êðèâîé l,
Z
f dl.
l
Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ìàññà êðèâîé). ×åìó ðàâåí
1
R
l
1 dl?
7. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà ïëîñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ F ïî ïëîñêîé êðèâîé l,
Z
(F , dl).
l
Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ðàáîòà ïîëÿ âäîëü êðèâîé).
8. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî äèôôåðåíöèàëîâ äëèíû dl è dl = |dl| â ñëó÷àå, êîãäà l ãëàäêàÿ êðèâàÿ â
R2 , çàäàííàÿ
è çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ
R ïàðàìåòðè÷åñêè,
R
èíòåãðàëîâ l f dl è l (F , dl).
9. Çàïèøèòå ôîðìóëó Ãðèíà.
10. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïëîñêîãî ïîòåíöèàëüíîãî ïîëÿ è åãî ïîòåíöèàëà. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèå ÷åòûðå óñëîâèÿ (â ñëó÷àå
îäíîñâÿçíîé îáëàñòè): à) ïîëå F = (P, Q)ïîòåíöèàëüíî; á) Py0 = Q0x , â)
ðàáîòà ïîëÿ F ïî ëþáîìó (ïëîñêîìó) çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ;
ã) ðàáîòà ïîëÿ F çàâèñèò ëèøü îò íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êè ïóòè.
11. Ðàññêàæèòå î ìåòîäå âîññòàíîâëåíèÿ ïîòåíöèàëà.
12. Äàéòå îïðåäåëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz
D
RRR
îò ôóíêöèè f ïî (îãðàíè÷åííîé) îáëàñòè D ⊂ R3 . ×åìó ðàâåí
1dxdydz ?
D
13. Èçëîæèòå ìåòîä âû÷èñëåíèÿ òðîéíûõ èíòåãðàëîâ ïóòåì ñâåäåíèÿ
ê ïîâòîðíîìó. Âû÷èñëèòå
ZZZ
z dxdydz,
D
ãäå Dîáëàñòü îãðàíè÷åííàÿ ïîâåðõíîñòüþ x2 + y 2 = z è ïëîñêîñòüþ
z = 1.
14. Îïðåäåëèòå ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ϕ : D → R3 îáëàñòè D ⊆ R3 .
Êàêîâ åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë? Çàïèøèòå ôîðìóëó çàìåíû ïåðåìåííîé â òðîéíîì èíòåãðàëå.
15. Âû÷èñëèòå ÿêîáèàí ïåðåõîäà ê ñôåðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì è íàéäèòå
ZZZ
z 2 dxdydz.
x2 +y 2 +z 2 ≤1
2
16. Âû÷èñëèòå ÿêîáèàí ïåðåõîäà ê öèëëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì è
íàéäèòå
ZZZ
z 2 dxdydz.
x2 +y 2 ≤1;
0≤z≤1
17. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàññû è êîîðäèíàò öåíòðà
òÿæåñòè òåëà â R3 ñ çàäàííûì çàêîíîì èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè.
18. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè
f ïî êðèâîé l â R3 .
R
Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë. ×åìó ðàâåí l 1 dl?
19. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà âåêòîðíîãî ïîëÿ F â R3 ïî êðèâîé
l ⊂ R3 . Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë.
20. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî
äèôôåðåíöèàëîâ äëèíû dl è dl = |dl| â ñëó÷àå, êîãäà l ãëàäêàÿ êðèâàÿ
â R3 , çàäàííàÿ
è çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ
R ïàðàìåòðè÷åñêè,
R
èíòåãðàëîâ l f dl è l (F , dl).
21. Äàéòå îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f ïî ïîâåðõíîñòè S â
R3 :
ZZ
f dS
S
RR
Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ìàññà ïîâåðõíîñòè). ×åìó ðàâåí S 1 dS ?
22. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ F ÷åðåç ïîâåðõíîñòü
S ⊂ R3 :
ZZ
(F , dS).
S
Ïîÿñíèòå åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë (íà ïðèìåðå ïîëÿ ñêîðîñòè òå÷åíèÿ
æèäêîñòè).
23. Çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðíîãî è ñêàëÿðíîãî
äèôôåðåíöèàëîâ ïëîùàäè dS è dS = |dS| â ñëó÷àå êîãäà S ãëàäêàÿ
ïîâåðõíîñòü â R3 , çàäàííàÿ
è çàïèøèòå ôîðìóëû äëÿ
RR ïàðàìåòðè÷åñêè,
RR
âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ S f dS è S (F , dS).
3