Листок 24

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç I
Ëèñòîê 24
 ýòîì ëèñòî÷êå ñëîâî ¾ãëàäêèé¿ îçíà÷àåò ¾áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûé¿.
Ãëàäêèì âåêòîðíûì ïîëåì íà îáëàñòè (ìíîãîîáðàçèè) D íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé òî÷êå x ∈ D êàñàòåëüíûé âåêòîð v(x) ∈ TxD â ýòîé òî÷êå, ïðè÷åì â êîîðäèíàòàõ ýòî
îòîáðàæåíèå äîëæíî çàïèñûâàòüñÿ ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè. Ïóñòü (x1, . . . , xn) êîîðäèíàòû â îáëàñòè D. Âåêòîðíîå ïîëå, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé òî÷êå x ∈ D áàçèñíûé âåêòîð ei, ïðèëîæåííûé ê
òî÷êå x, îáîçíà÷àåòñÿ ∂x∂ . Ýòî îáîçíà÷åíèå âåñüìà åñòåñòâåííî: ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ äèôôåðåíöèàëà ïðîèçâîëüíîé ãëàäêîé ôóíêöèè f : D → R â òî÷êå x ê âåêòîðó ei ðàâåí ∂f∂x(x) . Ëþáîå ãëàäêîå
âåêòîðíîå ïîëå â êîîðäèíàòàõ çàïèñûâàåòñÿ òàê:
i
i
v(x) =
n
∑
i=1
v i (x)
∂
,
∂xi
ãäå êîîðäèíàòû v1(x), . . . , vn(x) âåêòîðà v(x) ãëàäêèå ôóíêöèè.
1) Ðàññìîòðèì áàçèñíûå âåêòîðíûå ïîëÿ ∂x∂ è ∂y∂ äëÿ äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè
è áàçèñíûå âåêòîðíûå ïîëÿ ∂r∂ è ∂φ∂ äëÿ ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè. Âûðàçèòå ∂x∂
è ∂y∂ ÷åðåç ∂r∂ è ∂φ∂ è íàîáîðîò. Èçîáðàçèòå ýòè âåêòîðíûå ïîëÿ íà ïëîñêîñòè.
2) Çàïèøèòå â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîðíîå ïîëå x ∂x∂ + y ∂y∂ è èçîáðàçèòå åãî.
3) Çàïèøèòå â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîðíîå ïîëå r2 cos φ ∂r∂ + r sin φ ∂φ∂ è èçîáðàçèòå åãî.
4) Çàïèøèòå â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîðíîå ïîëå x ∂x∂ − y ∂y∂ è èçîáðàçèòå åãî.
5) Êîììóòàòîðîì âåêòîðíûõ ïîëåé u è v íàçûâàåòñÿ òàêîå âåêòîðíîå ïîëå w, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå âäîëü íåãî ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòîðîì äèôôåðåíöèðîâàíèé âäîëü u è v.
Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî (òî åñòü, ÷òî êîììóòàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèé âäîëü
ïðîèçâîëüíûõ ãëàäêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì âäîëü îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ).
6) Íàéäèòå êîììóòàòîðû âåêòîðíûõ ïîëåé r ∂r∂ è ∂φ∂ ; ∂x∂ è ∂φ∂ .
7) Ðàññìîòðèì íà ñôåðå â R3 êîîðäèíàòû (θ, φ), 0 6 φ 6 2π, 0 6 θ 6 π:
x = sin θ cos φ, y = sin θ sin φ, z = cos θ.
Ïóñòü (u, v) êîîðäèíàòû íà ñôåðå, çàäàííûå ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèåé èç Þæíîãî ïîëþñà
òî÷êè (0, 0, −1) íà ïëîñêîñòü x = u, y = v, z = 1.
à) Âûðàçèòå êîîðäèíàòû (θ, φ) ÷åðåç êîîðäèíàòû (u, v) è íàîáîðîò.
á) Çàïèøèòå â êîîðäèíàòàõ (θ, φ) âåêòîðíûå ïîëÿ ∂u∂ è ∂v∂ .
â) Çàïèøèòå â êîîðäèíàòàõ (u, v) âåêòîðíûå ïîëÿ ∂θ∂ è ∂ϕ∂ .
ã) Çàïèøèòå â êîîðäèíàòàõ (θ, φ) âåêòîðíîå ïîëå (u2 − v2) ∂u∂ + 2uv ∂v∂ .
ä) Èçîáðàçèòå âñå ýòè ïîëÿ íà ñôåðå.