Листок 5.

Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû II
Ëèñòîê 5
Êàæäàÿ çàäà÷à ýòîãî ëèñòêà îöåíèâàåòñÿ â 1.2 áàëëà ïðè ñäà÷å ðåøåíèÿ íå ïîçæå 12 àïðåëÿ, è â 0.6 áàëëà
ïîçæå. Çàäà÷è ñî çâåçäî÷êîé âäâîå äîðîæå è îò âðåìåíè íå ïîðòÿòñÿ.
(1) Íàçîâåì
íà òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X òàêóþ ñîâîêóïíîñòü O ïîäêîëåö O(U ) ⊂
RU (ãäå RU îáîçíà÷àåò êîëüöî âñåõ ôóíêöèé U → R) äëÿ âñåõ îòêðûòûõ U ⊂ X , ÷òî äëÿ ëþáûõ îòêðûòûõ
ìíîæåñòâ V ⊂ U ⊂ X îãðàíè÷åíèå íà V ëþáîé ôóíêöèè, ïðèíàäëåæàùåé O(U ), ïðèíàäëåæèò O(V ).
Ýëåìåíòû êîëüöà O(U ) íàçûâàþòñÿ
ïðåäïó÷êà O íàä U . Ïðåäïó÷îê ôóíêöèé O íàçîâåì
, åñëè äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ïîêðûòèÿ îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U = ∪ Uα ëþáîé íàáîð ñå÷åíèé
fα ∈ O(Uα ), ñîãëàñîâàííûé íà ïåðåñå÷åíèÿõ, òî åñòü òàêîé, ÷òî fα |U ∩U = fβ |U ∩U äëÿ ëþáûõ α, β ,
çàäàåò ñå÷åíèå f ∈ O(U ) òàêîå, ÷òî fα = f |U äëÿ ëþáîãî α. Äîêàæèòå, ÷òî
• Ôóíêöèè êëàññà C k (ãäå 0 6 k 6 ∞) îáðàçóþò ïó÷îê ôóíêöèé íà Rn .
• Ôóíêöèè, îáðàùàþùèåñÿ â 0 âíå ìíîæåñòâà ìåðû 0, îáðàçóþò ïó÷îê ôóíêöèé íà Rn .
• Îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè îáðàçóþò ïðåäïó÷îê ôóíêöèé íà Rn , íå ÿâëÿþùèéñÿ ïó÷êîì.
• Ôóíêöèè, îáðàùàþùèåñÿ â 0 âíå îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà, îáðàçóþò ïðåäïó÷îê ôóíêöèé íà Rn , íå
ÿâëÿþùèéñÿ ïó÷êîì.
(2) Íàçîâåì
òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X ñ ïó÷êîì ôóíêöèé OX íà íåì.
(Íàñòîÿùåå îïðåäåëåíèå îêîëüöîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà áîëåå îáùåå, íî íàì õâàòèò òàêîãî.) Ïó÷îê OX
ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ
îêîëüöîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà.
îêîëüöîâàííûõ
ïðîñòðàíñòâ X → Y íàçîâåì íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå φ : X → Y , ïðè êîòîðîì äëÿ ëþáîãî ñå÷åíèÿ
f ∈ OY (V ) íàä ïðîèçâîëüíûì îòêðûòûì ìíîæåñòâîì V ⊂ Y îáðàòíûé îáðàç φ∗ f = f ◦ φ ïðèíàäëåæèò
OX (φ−1 (V )). Äîêàæèòå, ÷òî ãëàäêèå îòîáðàæåíèÿ Rn → Rk ýòî â òî÷íîñòè ìîðôèçìû îêîëüöîâàííûõ
ïðîñòðàíñòâ, ãäå â êà÷åñòâå ñòðóêòóðíîãî ïó÷êà íà Rn è Rk ðàññìàòðèâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïó÷êè
ãëàäêèõ ôóíêöèé.
(3) Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî U îêîëüöîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X òîæå ÿâëÿåòñÿ îêîëüöîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îãðàíè÷åíèÿ ñòðóêòóðíîãî ïó÷êà OX íà U (ñ òåìè æå êîëüöàìè
ñå÷åíèé íàä îòêðûòûìè ïîäìíîæåñòâàìè V ⊂ U ).
(4) Ìîðôèçì îêîëüöîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ
, åñëè îí îáðàòèì.
d íàçûâàåòñÿ îêîëüöîâàííîå ïðîñòðàíñòâî (õàóñäîðôîâî è ñî ñ÷åòíîé áàçîé), â êîòîðîì
ëþáàÿ òî÷êà ñîäåðæèòñÿ â îòêðûòîì ìíîæåñòâå, èçîìîðôíîì, êàê îêîëüöîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, íåêîòîðîé îáëàñòè â Rd ñî ñòàíäàðòíûì ïó÷êîì ãëàäêèõ ôóíêöèé. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ãëàäêîãî
ìíîãîîáðàçèÿ ýêâèâàëåíòíî ñòàíäàðòíîìó (÷åðåç àòëàñû ñ ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè ïåðåõîäà).
(5) Ïóñòü X = R, Y = R è êàæäûé èç ñòðóêòóðíûõ ïó÷êîâ OX è OY ýòî ïó÷îê ãëàäêèõ ôóíêöèé. Äîêàæèòå,
÷òî ìîðôèçì x 7→ x3 íå ÿâëÿåòñÿ èçîìîðôèçìîì. Ââåäèòå íà Y äðóãóþ ãëàäêóþ ñòðóêòóðó (äðóãîé
ñòðóêòóðíûé ïó÷îê OY ) òàê, ÷òîáû ýòîò ìîðôèçì áûë èçîìîðôèçìîì.
(6)
d
â Rn íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî X ⊂ Rn , â îêðåñòíîñòè êàæäîé ñâîåé òî÷êè çàäàâàåìîå êàê ìíîæåñòâî íóëåé (n−d) ãëàäêèõ ôóíêöèé ñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè
äèôôåðåíöèàëàìè. Ïîñòðîéòå, èñõîäÿ èç ïó÷êà ãëàäêèõ ôóíêöèé íà Rn , ñòðóêòóðíûé ïó÷îê íà X òàê,
÷òîáû ïîëó÷åííîå îêîëüöîâàííîå ïðîñòðàíñòâî áûëî d-ìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì.
(7)
u è v íàçûâàåòñÿ òàêîå âåêòîðíîå ïîëå w, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå
âäîëü íåãî ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòîðîì äèôôåðåíöèðîâàíèé âäîëü u è v. Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå
êîððåêòíî (òî åñòü, ÷òî êîììóòàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèé âäîëü ïðîèçâîëüíûõ ãëàäêèõ âåêòîðíûõ ïîëåé
ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì âäîëü
îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ). Çàïèøèòå â êîîðäèíàòàõ êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé ∑ fi ∂x∂ è ∑ gi ∂x∂ .
(8) Êàêèå âåêòîðíûå ïîëÿ íà ïëîñêîñòè êîììóòèðóþò ñ ∂x∂ ? À ñ x ∂y∂ − y ∂x∂ ? (Ãîâîðÿò, ÷òî äâà âåêòîðíûõ ïîëÿ
êîììóòèðóþò, åñëè èõ êîììóòàòîð ðàâåí íóëþ.) Îïèøèòå îòâåòû ãåîìåòðè÷åñêè.
(9) Íà R2 ñ êîîðäèíàòàìè (x, y) ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïîëå v = x ∂y∂ − y ∂x∂ ; ñóùåñòâóåò ëè íà R2 íåïîñòîÿííàÿ
ôóíêöèÿ f , äëÿ êîòîðîé Dv f = 0? Òîò æå âîïðîñ äëÿ ïîëÿ v = x ∂x∂ + y ∂y∂ .
(10) Ïóñòü A = (aij ) ìàòðèöà n × n ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè. Ðàññìîòðèì íà Rn âåêòîðíîå ïîëå
ïðåäïó÷êîì ôóíêöèé
ñå÷åíèÿìè
ïó÷êîì
ôóíêöèé
α
β
α
β
α
îêîëüöîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì
ñòðóêòóðíûì ïó÷êîì
Ìîðôèçìîì
èçîìîðôèçìîì
Ãëàäêèì ìíîãîîáðà-
çèåì ðàçìåðíîñòè
Çàìêíóòûì
-ìåðíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì
Êîììóòàòîðîì âåêòîðíûõ ïîëåé
i
vA =
i
n
∑
i,j=1
aij xi
∂
.
∂xj
Ïîêàæèòå, ÷òî êîììóòàòîð âåêòîðíûõ ïîëåé âèäà vA è vB ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïîëåì âèäà vC äëÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû C , è âûÿñíèòå, êàê C ñâÿçàíà ñ A è B .
(11) ∗ Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå êîìïàêòíîå ãëàäêîå ñâÿçíîå îäíîìåðíîå ìíîãîîáðàçèå äèôôåîìîðôíî îêðóæíîñòè,
à íåêîìïàêòíîå ïðÿìîé.