Äåêàáðü 1990 ã. Òîì 160,âûï. 12 ÓÑÏÅÕÈ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÍÀÓÊ

Äåêàáðü 1990 ã.
Òîì 160,âûï. 12
ÓÑÏÅÕÈ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÕ ÍÀÓÊ
ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÌÅÒÊÈ
524.6+532.517.4+536.7
ÊÐÓÏÍÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ
 ËÀÁÎÐÀÒÎÐÍÎÉ ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ, ÎÊÅÀÍÅ
È ÀÑÒÐÎÔÈÇÈÊÅ
À. Ã. Áåðøàäñêèé
Ïîñâÿùàåòñÿ ïàìÿòè çàìå÷àòåëüíûõ ó÷åíûõ:
ß.Á. Çåëüäîâè÷à è À.Í. Êîëìîãîðîâà
 ïîñëåäíåå âðåìÿ ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû ïðèâëåêàþò âíèìàíèå
ãèäðîäèíàìèêîâ è àñòðîôèçèêîâ. Ïðåäëàãàþòñÿ ðàçíîîáðàçíûå òåîðåòè÷åñêèå ìîäåëè è îñóùåñòâëÿþòñÿ íàáëþäåíèÿ, êàê â ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòàõ, òàê è â íàòóðíûõ îáúåêòàõ (ñì., íàïðèìåð, [1—7]). Ïðèíöèïèàëüíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ: íàñêîëüêî îáùèìè îêàçûâàþòñÿ ñâîéñòâà íàáëþäàåìûõ ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð?  äàííîé çàìåòêå ïîêàçàíî, ÷òî îäíîòèïíûå êðóïíîìàñøòàáíûå ôðàêòàëüíûå ñòðóêòóðû (ñ ôðàêòàëüíîé
ðàçìåðíîñòüþ D ≈ 4 / 3 ) ìîãóò âîçíèêàòü â ëàáîðàòîðíîé òóðáóëåíòíîñòè
(ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá ~ 10 –1 ì), â îêåàíå è â ñêîïëåíèÿõ ãàëàêòèê
(ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá äî 10 2 Ìïñ). Ýòè ñòðóêòóðû èìåþò ïåðêîëÿöèîííûé õàðàêòåð [8—10].
1. Ìûñëåííî ðàçîáüåì îáëàñòü, â êîòîðîé äâèæåòñÿ òóðáóëèçîâàííàÿ
æèäêîñòü, íà êóáè÷åñêèå ÿ÷åéêè, ó êîòîðûõ ðåáðà èìåþò äëèíó η (êîëìîãîðîâñêèé ìàñøòàá [11]). Âèõðè, èìåþùèå òàêîé ìàñøòàá, áûñòðî çàòóõàþò ïîä äåéñòâèåì âÿçêîñòè.  ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè â îäíèõ
ÿ÷åéêàõ äâèæåíèå áóäåò òóðáóëåíòíûì, à â äðóãèõ—ëàìèíàðíûì (áåçâèõðåâûì) .
Ìîæíî ââåñòè âåðîÿòíîñòü ð, ñ êîòîðîé òóðáóëèçîâàíà äàííàÿ ÿ÷åéêà.
Ïðè ð = 0 íåò òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê, ïðè p = 1 êëàñòåðû, ñîñòîÿùèå èç
òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê, ñîäåðæàò ìàëîå èõ êîëè÷åñòâî. Ïðè ð = 1 âñå
ÿ÷åéêè òóðáóëèçîâàíû. Ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêàÿ êîíöåíòðàöèÿ 0<ð ñ <1,
ïðè êîòîðîé âîçíèêàåò âïåðâûå áåñêîíå÷íûé êëàñòåð èç òóðáóëèçîâàííûõ
ÿ÷ååê. Ïðè ïîÿâëåíèè òàêîãî êëàñòåðà ñèòóàöèÿ ðàäèêàëüíî ìåíÿåòñÿ.
Åñëè äî åãî ïîÿâëåíèÿ ââîäèìàÿ îáëàñòü äâèæåíèÿ ýíåðãèÿ øëà íà óâåëè÷åíèå ÷èñëà òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê è äèññèïàöèþ, òî ïîñëå ïîÿâëåíèÿ
òàêîãî êëàñòåðà ýòà ýíåðãèÿ ìîæåò îòâîäèòüñÿ ïî íåìó íà «áåñêîíå÷íîñòü», ò. å. âûâîäèòüñÿ èç îáëàñòè òóðáóëåíòíîãî äâèæåíèÿ.
Êîíöåíòðàöèÿ òóðáóëèçîâàííûõ ÿ÷ååê ïðè íàëè÷èè òàêîãî êëàñòåðà
ìîæåò ôëóêòóàöèîííî âîçðàñòàòü. Îäíàêî âîçíèêàþùèå ôëóêòóàöèîííî
íîâûå òóðáóëèçîâàííûå ÿ÷åéêè áóäóò çàòóõàòü ïîä äåéñòâèåì âÿçêîñòè,
èç-çà îòñóòñòâèÿ ïîñòîÿííîãî ïîäâîäà ýíåðãèè ê íèì. Áîëåå òîãî, â ñàìîì
áåñêîíå÷íîì êëàñòåðå óñòîé÷èâûì (â ñèëó òîé æå ïðè÷èíû) áóäåò òîëüêî
ñêåëåò.
190
À.Ã. ÁÅÐØÀÄÑÊÈÉ
[Ò. 160
Ñêåëåòîì áåñêîíå÷íîãî êëàñòåðà íàçûâàþò ìíîæåñòâî ÿ÷ååê, ïðèíàäëåæàùèõ áåñêîíå÷íûì ïóòÿì ïî êëàñòåðó, ò. å. òóïèêîâûå, êîíå÷íûå
âåòêè êëàñòåðà áóäóò çàòóõàòü ïîä äåéñòâèåì âÿçêî ñòè áåç ïîñòîÿííîãî
ïîäâîäà ýíåðãèè ê íèì. Îáðàçóåìûå â òàêèõ ïåðêîëÿöèîííûõ ñèñòåìàõ
êðèòè÷åñêèå êëàñòåðû ÿâëÿþòñÿ ôðàêòàëüíûìè îáúåêòàìè [8].
2. Âîçíèêíîâåíèå áåñêîíå÷íîãî êëàñòåðà—ÿâëåíèå êðèòè÷åñêîå.
Õàðàêòåðíûé ðàçìåð âèõðåâîãî êëàñòåðà l âáëèçè ð ñ âåäåò ñåáÿ êàê
[8]
Êðèòè÷åñêèé ïàðàìåòð v ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì è çàâèñèò òîëüêî
îò òîïîëîãè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà.
Ýòîò ïàðàìåòð ìíîãîêðàòíî íàõîäèëñÿ ðàçíûìè àâòîðàìè ñ ïîìîùüþ ðàçíîîáðàçíûõ ìîäåëåé. Ïðè d=3 ïðèáëèæåííî v ≈ 0,9 [8].
3. Ñâÿæåì ýòîò ïàðàìåòð ñ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ D s ñêåëåòà âèõðåâîãî êëàñòåðà. Åñëè çàäàíî íà÷àëüíîå ïîëå êðóïíîìàñøòàáíîé ñêîðîñòè (âîçáóæäåíû òîëüêî âèõðè ìàñøòàáà l 0 ), òî êàñêàäíûé ïðîöåññ äðîáëåíèÿ ìàñøòàáà ïðèâîäèò ê âîçáóæäåíèþ èåðàðõèè âèõðåé
ìàñøòàáîâ l n ~q –n l 0 (q — êðàòíîñòü äðîáëåíèÿ ìàñøòàáà). Ïðîöåññ ïåðåäà÷è ýíåðãèè ïî ìàñøòàáíîìó êàñêàäó õàîòè÷åí è ïîýòîìó àíèçîòðîïíîñòü è êðóïíîìàñøòàáíàÿ íåîäíîðîäíîñòü íà÷àëüíîãî ïîëÿ ñêîðîñòè ïî
ìåðå óìåíüøåíèÿ ìàñøòàáà âñå ìåíüøå ñêàçûâàåòñÿ íà ñòàòèñòè÷åñêîì
ðåæèìå ïóëüñàöèè. Ýòî äîëæíî ïðèâîäèòü ê òîìó, ÷òî íà äîñòàòî÷íî ìåëêèõ ìàñøòàáàõ ( l0 ? ln ? η) èìååò ìåñòî ìàñøòàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü è
ëîêàëüíàÿ èçîòðîïèÿ. Äëÿ èçîòðîïíûõ ïóëüñàöèé ðàñïðåäåëåíèå ýíåðãèè
ïî ìàñøòàáàì (l~k –1 , k—âîëíîâîå ÷èñëî) çàäàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ E(k). Åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå õàðàêòåðíûé ïåðèîä ïóëüñàöèè
íà m-ì øàãå äðîáëåíèÿ, òî èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè èëè ïðîñòûõ
ôèçè÷åñêèõ ðàññóæäåíèé [11]:
Õàðàêòåðíûé ïåðèîä Ò ò ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàí êàê âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ âèõðÿìè ìàñøòàáà l m âèõðåé ìàñøòàáà l m+1 . Âðåìÿ âîçáóæäåíèÿ ïîëíîãî êàñêàäà âèõðåé
Âîîáùå ãîâîðÿ ïîäñòàâëÿòü â (3) âìåñòî Ò ò ïðåäñòàâëåíèå (2) íåëüçÿ, òàê êàê îíî ïðèìåíèìî òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ò. Îäíàêî íàñ
áóäåò èíòåðåñîâàòü äàëüøå íå ñàìî çíà÷åíèå t∞ , à âåëè÷èíà
à äëÿ íåå ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ Ì ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðåäñòàâëåíèå (2).
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ Ì èìååò ìåñòî ìàñøòàáíàÿ èíâàðèàíòíîñòü è ñêýéëèíãîâîå ïðåäñòàâëåíèå [11]:
ÂÛÏ. 12]
ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ
191
(ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ Ì).
×åðåç Ì äðîáëåíèé âìåñòî îäíîãî èñõîäíîãî âèõðÿ ìàñøòàáà l 0 áóäåò
Òàê êàê α=D s (ïðè d=3 [3]), òî ïåðâîå çíà÷åíèå (14) äàåò èçâåñòíûé
ñïåêòð Êîëìîãîðîâà—Îáóõîâà [11]. ×òî êàñàåòñÿ âòîðîãî çíà÷åíèÿ
(15) — Dss ≈ 4 / 3 , òî, ïî-âèäèìîìó, îíî ñîîòâåòñòâóåò êðóïíîìàñøòàáíûì
ïåðêîëÿöèîííûì ñòðóêòóðàì, ïîëó÷èâøèì â òåîðèè ïåðêîëÿöèè íàçâàíèå
«Óïðóãèé ñêåëåò» [12]. Ýòîé ñóáñòðóêòóðå ñêåëåòà áåñêîíå÷íîãî êëàñòåðà ñîîòâåòñòâóþò òîëüêî êðàò÷àéøèå ïóòè, ñîåäèíÿþùèå äîñòàòî÷íî óäàëåííûå åãî òî÷êè. Âûïîëíåííûå â ðàáîòå [12] ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû
äàþò çíà÷åíèå Dss = 1,35 ± 0,05, ò. å. ñîâïàäàþùåå ñ (15).
192
À.Ã. ÁÅÐØÀÄÑÊÈÉ
[Ò. 160
4. Ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá, íà êîòîðîì âîçìîæíà ðåàëèçàöèÿ
«óïðóãîãî ñêåëåòà» â ïåðêîëÿöèîííîé òóðáóëåíòíîñòè, äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü èíòåãðàëüíîìó ìàñøòàáó òóðáóëåíòíîñòè (L) [11], ò. å. õàðàêòåðíîìó ìàñøòàáó ïîëÿ ïóëüñàöèè ñêîðîñòè, íà ïðîòÿæåíèè êîòîðîãî åùå
ñîõðàíÿåòñÿ çàìåòíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèÿìè ïîëÿ â
äâóõ òî÷êàõ. Òàêèì îáðàçîì, ðåàëèçàöèÿ «óïðóãîãî ñêåëåòà» áóäåò áëîêèðîâàòüñÿ ñïîíòàííûì íàðóøåíèåì ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè íà
ìàñøòàáàõ ïîðÿäêà L [13]. Îäíàêî, ïî-âèäèìîìó, âîçìîæíû óñëîâèÿ,
ïðè êîòîðûõ îí âñå æå ðåàëèçóåòñÿ (íàì ýòè óñëîâèÿ íå èçâåñòíû), íåñìîòðÿ íà ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè. Íà ðèñ. 1,
âçÿòîé èç ðàáîòû [14], ïðèâåäåíû äàííûå äëÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà
òóðáóëåíòíîñòè, ïîëó÷åííûå â ýêñïåðèìåíòå çà ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ðåøåòêîé. Äàííûå îòëîæåíû â áèëîãàðèôìè÷åñêîé øêàëå è ïðîâåäåíû
ïðÿìûå, óêàçûâàþùèå íà âûïîëíèìîñòü ñêýéëèíãîâûõ çàêîíîâ ñ α ≈ 5 / 3
è α ≈ 4/3.
Íà ðèñ. 2, âçÿòîì èç ðàáîòû [15] (ñì. òàêæå [16, ñòð. 181]), ïðèâåäåàíàëîãè÷íûå äàííûå íàáëþäåíèé â îêåàíå â ðàçíûõ òî÷êàõ òåðìîêëèíà íà ãîðèçîíòå 100 ì. È çäåñü â êðóïíîìàñøòàáíîé ÷àñòè ñïåêòðà èìåþòñÿ ó÷àñòêè ñî ñêýéëèíãîì (ïîêàçàòåëü «4/3» óêàçàí îòðåçêàìè ñïëîøíûõ ëèíèé).
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âîïðîñ î íåïîñðåäñòâåííîì íàáëþäåíèè ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóð, îáóñëîâëåííûõ òóðáóëåíòíîñòüþ, êàê ýòî, ïî-âèäèìîìó, èìååò ìåñòî ïðè èññëåäîâàíèè ñòðóêòóð îáëàêîâ ñ ïîìîùüþ ðàäàðîâ
[17—19]. Êàêàÿ èç ñòðóêòóð: íåóñòîé÷èâàÿ, ñêåëåò èëè óïðóãèé ñêåëåò
âûÿâëÿåòñÿ ïðè òàêîì ïðÿìîì íàáëþäåíèè? Ïî-âèäèìîìó, è çäåñü îòâåò
çàâèñèò îò äèàïàçîíà ìàñøòàáîâ, â êîòîðîì âåäåòñÿ èññëåäîâàíèå D(1).
5. Åùå îäèí ïðèìåð ïðÿìîãî íàáëþäåíèÿ çà êðóïíîìàñøòàáíûìè
ôðàêòàëüíûìè ñòðóêòóðàìè íàì ïðåäîñòàâëÿåò àñòðîôèçèêà. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìàòåðèÿ âî âñåëåííîé íàõîäèòñÿ â òóðáóëåíòíîì äâèæåíèè, òî êðóíîìàñøòàáíûå ñêîïëåíèÿ ìàòåðèè—ãàëàêòèêè è èõ êëàñòåðû [3—7], ïðèõîäÿòñÿ íà îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò
àêòèâíàÿ äèññèïàöèÿ ýíåðãèè, ò. å. ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ïîëÿ òóðÍÛ
ÂÛÏ. 12]
ÔÐÀÊÒÀËÜÍÛÅ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ
193
áóëåíòíîé äèññèïàöèè (çàâèõðåííîñòè) ñîâïàäàåò ñ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ ïîëÿ ïëîòíîñòè ìàòåðèè â âèäå ãàëàêòèê è èõ ñêîïëåíèé. Íàáëþäåíèÿ çà ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ êðóïíîìàñøòàáíûõ ñòðóêòóð âî
âñåëåííîé (ãàëàêòèêàìè è èõ ñêîïëåíèÿìè) ïðèâîäÿò äëÿ íèõ ê çíà÷åíèþ
ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè D=1,3±0,1 [4—7], ò. å. áëèçêîìó ê «4/3»
çíà÷åíèþ.
Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî â ëàáîðàòîðíîé òóðáóëåíòíîñòè, â
îêåàíå è àòìîñôåðå, è íà ìàñøòàáàõ, ñðàâíèìûõ ñ ïðåäåëàìè íàáëþäàåìîé âñåëåííîé, ìîãóò îêàçàòüñÿ äåéñòâåííûìè îäíè è òå æå ïðåäñòàâëåíèÿ î êðóïíîìàñøòàáíûõ ôðàêòàëüíûõ ñòðóêòóðàõ.
ÏÐÈÌÅ×ÀÍÈÅ Ê ÒÅÊÑÒÓ
Àâòîð áëàãîäàðèò Á.Ì. Ñìèðíîâà, îáðàòèâøåãî åãî âíèìàíèå íà ýòîò
âîïðîñ, è Ø. Ëàâäæîé çà ðàçúÿñíåíèÿ èçìåí÷èâîñòè íàáëþäåíèé çà ïîëÿìè îáëàêîâ.
1
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
[1] Hentshel H.G.Å., Procaccia I.//Phys. Rev. Ser. A. 1984. V. 29. Ð. 1461.
2. Ðàáèíîâè÷ Ì.È., Ñóùèê Ì.Ì.//ÓÔÍ. 1990 Ò. 160. Ñ. 3.
3. Áåðøàäñêèé À. Ã. //ÆÝÒÔ 1989. Ò. 96. Ñ. 625.
4. Ëóêêèí Ô.//Ôðàêòàëû â ôèçèêå.—Ì.: Ìèð, 1988.—Ñ. 446.
5. Ïüåòðîíåðî Ë., Kynepc P.//Ibidem.— Ñ. 454
6. Pietronero L.//Physica. Ser. A. 1987. V. 144. P. 257.
7. Coleman P.H., Pietronero L., Sanders L.P.H.//Astron. and Astrophys. 1988.V. 200. P. 32.
8. Ñîêîëîâ È.Õ.//ÓÔÍ. 1986. Ò. 150. Ñ. 221.
194
À.Ã. ÁÅÐØÀÄÑÊÈÉ
[Ò. 160
9. Bershadsky A.G.//Generation of large scale Structures in Continuous Media: International
Symposium.Perm—Moscow, June 1990.—P. 50.
10. Êëüòèí À.À.//Àñòðîí. æ. 1987. Ò. 64. Ñ. 15.
[11].Ìîíèí À.Ñ., ßãëîì À.Ì. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèäðîìåõàíèêà. × 2.—Ì.: Íàóêà, 1967.
12. Herrmann H. J., Hong D. Ñ., Stanley H. E.//J. Phys. Ser. A. 1984. V. 17. P. L261.
13. Áåðøàäñêèé À. Ã.//ÆÝÒÔ. 1988. Ò. 94. Ñ. 117.
14. Schedvin J., Stegen G. R., Gibson C. H.//J. Fluid Mech. 1974. V. 65. P. 561.
15. Áåëÿåâ Â.Ñ., Ëîçîâàöêèé È.Ä., Îçìèäîâ Ð.Â. //Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. «Ôèçèêà àòìîñôåðû è îêåàíà».
1975. Ò. 11. Ñ. 718.
16. Îêåàíîëîãèÿ. Ôèçèêà îêåàíà. Ò. 1.—Ì.: Íàóêà, 1978.
17. Lovejoy S.//Science. 1982. V. 216. Ð. 186.
18. Schertzer D., Lovejoy S. //Fractals: Physical Origin and Properties/Ed. L. Pietronero.—New York: Plenum Press, 1990.—P. 49.
19. Schertzer D., Lavallee D., Lovejoy S.//[9] —P. 209.