Ñåìèíàð 1. Îáùàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü

Ñåìèíàð 1. Îáùàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü
Áàçîâûì ïîíÿòèåì äëÿ ðàáîòû ñ âåðîÿòíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî.
Äëÿ åãî çàäàíèÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà. Äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ìû ñîïîñòàâëÿåì
åìó íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî âåðîÿòíîñòü, òàê ÷òî ñóììà âåðîÿòíîñòåé ðàâíà
1.
Ïðèìåð 1. Ïðåäñòàâèì ñåáå ýêñïåðèìåíò ïî èçâëå÷åíèþ êàðòû èç îáû÷íîé èãðàëüíîé
êîëîäû èç 36 êàðò. Âñåãî äëÿ ýòîé êàðòû ìîæåò áûòü 36 âàðèàíòîâ. Ýòè 36 âàðèàíòîâ è
ïðåäñòàâëÿþò ýëåìåíòàðíûå èñõîäû. Èç ñîîáðàæåíèÿ ñèììåòðèè âñå èñõîäû ðàâíîâåðîÿòíû, à çíà÷èò èìåþò âåðîÿòíîñòü 1/36. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ íåêîòîðîì
îáðàçîì êîäèðóåò ðåàëüíûå èñõîäû ýêñïåðèìåíòà. Íàïðèìåð,
Ω1 = {(a, b), a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, Â,Ä,Ê,Ò}, b ∈ {ïèê, òðåô, áóáåí, ÷åðâ}},
Ω2 = {(i, j), i ∈ {1, ..., 9}, j ∈ {1, ..., 4}}, Ω3 = {1, 2, ..., 36}.
Ω1
òðèâèàëüíàÿ êîäèðîâêà èñõîäîâ ñ ïîìîùüþ äîñòîèíñòâà è ìàñòè.  ýòîì ñëó÷àå
óñëîâèå çàäà÷è î÷åíü ëåãêî ïåðåâîäèòü íà ÿçûê íàøåãî ïðîñòðàíñòâà, çàòî íå î÷åíü
óäîáíî ðàáîòàòü ñ ñàìèì ïðîñòðàíñòâîì, ïîñêîëüêó ýëåìåíòû íå îïèñûâàþòñÿ êàêèì-òî
îáùèì ïðèíöèïîì.
Ω2
êîäèðóåò íàøè êàðòû ïóòåì çàìåíû ñèìâîëà äîñòîèíñòâà è áóêâû
ìàñòè íà ÷èñëî. È íàêîíåö
Ω3
êîäèðóåò êàðòû ïóòåì êàêîãî-òî óïîðÿäî÷èâàíèÿ, íàïðè-
{1, ..., 9} ïèêè ïî ïîðÿäêó, {10, ..., 18} òðåôû ïî ïîðÿäêó, {19, ..., 27} áóáíû,
{28, ..., 36} ÷åðâû.  ðàçíûõ ñëó÷àÿõ íàì ìîæåò áûòü óäîáíà òà èëè èíàÿ èåðàðõèÿ.
ìåð,
Çà÷åì íóæíî ñòðîèòü âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî?
Âî-ïåðâûõ, ìíîãèå ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèå çàäà÷è êîäèðóþòñÿ îäíèì è òåì æå ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïîýòîìó ïîñòðîåíèå ïðîñòðàíñòâà ñâîäèò ìíîãèå ðàçëè÷íûå
çàäà÷è ê îäíèì è òåì æå ìîäåëÿì.
Âî-âòîðûõ, ïîñòðîåíèå óäà÷íîãî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà çà÷àñòóþ çíà÷èòåëüíî
óïðîùàåò çàäà÷ó.
Â-òðåòüèõ, âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ôîðìàëèçóåò çàäà÷ó è ñíèæàåò øàíñ íà îøèáêó.
 ðàìêàõ ïåðâûõ ñåìèíàðîâ ìû áóäåì î÷åíü âíèìàòåëüíî îòíîñèòüñÿ ê ïîñòðîåíèþ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà è âñå çàäà÷è áóäóò ïðèíèìàòüñÿ òîëüêî ïðè óñëîâèè åãî ïîñòðîåíèÿ.
 îáùåì ñëó÷àå ó íàñ èìååòñÿ íåêîòîðîå êîíå÷íîå ÷èñëî
ðèìåíòà è íóìåðîâàòü èõ
ω1 , ..., ωN .
N
ìûñëèìûõ èñõîäîâ ýêñïå-
 ðàìêàõ ñåãîäíÿøíåãî çàíÿòèÿ ìû áóäåì ðàáîòàòü
ñ êëàññè÷åñêèì ñëó÷àåì, òî åñòü ñëó÷àåì, êîãäà ìû ñòðîèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâà
ñ èñõîäàìè ðàâíîé âåðîÿòíîñòè
P (ωi ) = 1/N .
×àùå âñåãî íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü íå ñàìè
ωi ,
à èõ îáúåäèíåíèÿ, íàïðèìåð, äëÿ îïû-
òà ñ êàðòàìè ìû ìîæåì çàèíòåðåñîâàòüñÿ âîïðîñîì î ìàñòè êàðòû èëè åå äîñòîèíñòâå.
Ïîýòîìó íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñîáûòèÿ ïîäìíîæåñòâà
÷åíèè êîíå÷íûõ èëè ñ÷åòíûõ ìíîæåñòâ
Ω)
Ω.
Íà ýòîì ýòàïå (ïðè èçó-
â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñîáûòèé
ðàññìàòðèâàòü ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ
Ω,
òàê íàçûâàåìîå ìíîæåñòâî
F ìû
2Ω .
áóäåì
Ïðèìåð 2.
âèä
îíî
Ω1 îíî èìååò
Ω2 {(i, j) : i ∈ {1, ..., 9}, j = 1}. Â Ω3
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñîáûòèå êàðòà ïèêîâàÿ. Â
{(a, b), a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, Â,Ä,Ê,Ò}, b = ïèê}.
áóäåò èìåòü âèä {i : i ≤ 9}.
Â
Òðåòüèì èíòåðåñóþùèì íàñ îáúåêòîì áóäåò âåðîÿòíîñòü. Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ
ìû íàçûâàåì ÷èñëî
ìîùíîñòü
P
P (A) :=
i:ωi ∈A pi , â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå
P (A) = |A|/N ,
ãäå
|A|
A
A.
P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B),
Èç èìåþùåãîñÿ îïðåäåëåíèÿ ïðÿìî ñëåäóþò ôîðìóëû
P (¬A) = 1 − P (A). Îòìåòèì äâà âàæíûõ äëÿ íàñ îáîçíà÷åíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ. Ïåðåñå÷åíèå A ∩ B ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòî AB , îáúåäèíåíèå A ∪ B íåïåðåñåêàþùèõñÿ
ìíîæåñòâ A + B . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî P (A + B) = P (A) + P (B).
Âîïðîñ. À ÷åìó ðàâíà P (A ∪ B)?
 ñëó÷àå n ñîáûòèé àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé âêëþ÷åíèé-èñêëþ÷åíèé
P (∪ni=1 Ai )
=
n
X
P (Ai ) −
i=1
Ïðèìåð 3.
X
P (Ai Aj ) + .... − (−1)n P (A1 ...An ).
i6=j
Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò ñ ïîäáðàñûâàíèåì ñèììåòðè÷íîé ìîíåòû äâà ðà-
çà.
 êà÷åñòâå ïåðâîãî, ñàìîãî åñòåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà, ìîæíî èñïîëüçîâàòü
{ÃÃ,
Ω1 =
ÃÐ, ÐÃ, ÐÐ}, ãäå Ã è Ð ñîîòâåòñòâóþò ãåðáó è ðåøåòêå, âûïàâøèì íà ìîíåòå. Ïðè
ýòîì êàæäîìó èç 4 èñõîäîâ ìû ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòü
A1 , çàêëþ÷àþùååñÿ
âåðîÿòíîñòü 1/2.
ñêîìó ñëó÷àþ. Ñîáûòèå
ýòîé ìîäåëè
1/4,
÷òî ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷å-
â òîì, ÷òî âûïàë ðîâíî îäèí ãåðá, èìååò â
 êà÷åñòâå âòîðîãî âàðèàíòà ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî
Ω2 = {0, 1},
ãäå
0
ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ðåçóëüòàòû áðîñêîâ îäèíàêîâû,
1
- ÷òî ðå-
çóëüòàòû áðîñêîâ ðàçíûå. Áóäåì èñïîëüçîâàòü êëàññè÷åñêèé ïîäõîä. Ïðè ýòîì ñîáûòèå
A2 = {1} ýêñïåðèìåíòàëüíî
1/2, ÷òî è â ïåðâîé ìîäåëè.
Îäíàêî,
{äâà
íèé,
ìîæíî
ñîîòâåòñòâóåò ñîáûòèþ
ïðåäëîæèòü
äðóãîå
íà
ìîíåòàõ,
áåç
èõ
â
Ω1
è èìååò òó æå âåðîÿòíîñòü
âåðîÿòíîñòíîå
ãåðáà, ãåðá è ðåøåòêà è äâå ðåøåòêè},
âûïàâøèõ
A1
÷òî
ïðîñòðàíñòâî
ñîîòâåòñòâóåò
óïîðÿäî÷èâàíèÿ.
Ïðè
êëàññè÷åñêèé ïîäõîä, òî âñå ýòè ñîáûòèÿ ïîëó÷àò âåðîÿòíîñòü
A3 = {ãåðá
è ðåøåòêà}, îòâå÷àþùåå ñîáûòèþ
Êàê ìû ìîæåì âèäåòü, äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé
A1 .
èç Ω1 , Ω2 ,
Ω3
Ω3
ñîâîêóïíîñòè
ýòîì
1/3,
åñëè
=
çíà÷å-
èñïîëüçîâàòü
â ÷àñòíîñòè ñîáûòèå
îòâå÷àþùèõ îäíîìó ðåçóëüòàòó
ýêñïåðèìåíòà, èõ âåðîÿòíîñòè îäèíàêîâû. Ïîýòîìó ìîäåëè
äðóãó. Ìîäåëü
Ω3
Ω1 , Ω2
ñîîòâåòñòâóþò äðóã
èì íå ñîîòâåòñòâóåò, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëü ñ òåì æå ïðîñòðàíñòâîì
áûëà áû ïðè âåðîÿòíîñòÿõ
1/4, 1/2, 1/4,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì.
Ñîîòâåòñòâóþùèå äðóã äðóãó ìîäåëè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äðóã âìåñòî äðóãà äëÿ
ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòè îïûòà, êîòîðûé ìîæíî íàáëþäàòü è â ïåðâîé, è âî âòîðîé ìîäåëè,
îíè îòâå÷àþò îäíîé ðåàëüíîñòè, íî îòëè÷àþòñÿ èíòåðïðåòàöèåé óâèäåííîãî. Íåñîîòâåòñòâóþùèå ìîäåëè ìîãóò äàòü ðàçíûå îòâåòû î âåðîÿòíîñòè îäíîãî è òîãî æå ñîáûòèÿ,
îíè îòâå÷àþò íàáëþäàòåëÿì èç ðàçíûõ ðåàëüíîñòåé. Íåóäà÷íûé âûáîð âåðîÿòíîñòåé â
âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè ïðèâåäåò íàñ ê âåðîÿòíîñòÿì ñîáûòèé, íåñîîòâåòñòâóþùèì íàøåé
îêðóæàþùåé ðåàëüíîñòè.
Ðàññìîòðèì 4 çíà÷èìûõ ìîäåëè, ñîîòâåòñòâóþùèõ âûáîðó øàðîâ èç óðíû.
Ïðèìåð 4.
Ðàññìîòðèì óðíó, â êîòîðîé ëåæàò øàðû ñ íîìåðàìè
ìåíò çàêëþ÷àåòñÿ â âûòÿãèâàíèè
k
1, 2, ..., N .
Ýêñïåðè-
øàðîâ è ôèêñàöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòÿãèâàå-
ìûõ íîìåðîâ. Øàðû âûòÿãèâàþòñÿ îäèí çà äðóãèì, ïîñëå êàæäîãî âûòÿãèâàíèÿ øàð
âîçâðàùàåòñÿ íàçàä â óðíó (òàê íàçûâàåìûé óïîðÿäî÷åííûé âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì).
 êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ
íîñòåé
(i1 , ..., ik ),
i1 , ..., ik
ãäå
Ω1
âîçüìåì ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëü-
ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà
ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ â òàêîì ñëó÷àå ðàâíà
ïðèïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü
Ïðèìåð 5.
{1, ..., N }.
Ìîùíîñòü
N k . Âñåì ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì
1/N k .
Äëÿ óðíû èç ïðèìåðà 2 ïðîèçâåäåì àíàëîãè÷íûé ýêñïåðèìåíò, íî íå áóäåì
òåïåðü âîçâðàùàòü øàðû â óðíó (òàê íàçûâàåìûé óïîðÿäî÷åííûé âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ).
 êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ
íîñòåé
(i1 , ..., ik ),
ãäå
i1 , ..., ik
Ω2
âîçüìåì ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëü-
ðàçëè÷íû è ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà
{1, ..., N }.
Êàêîâà òîãäà ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ? Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî îíà
AkN = N (N − 1)(N − 2)...(N − k + 1). Âñåì ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì ïðèïèøåì ñîîòk
âåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü 1/AN . Ðàçíèöà ñ ïðèìåðîì 3 â òîì, ÷òî òàì ìû ðàññìàòðèâàëè
åñòü
óïîðÿäî÷åííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à òåïåðü íåóïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî.
Ïðèìåð 6. Äëÿ óðíû èç ïðèìåðà 2 áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî à) øàðû â óðíó íå âîçâðàùàþòñÿ
á) ìû âèäèì òîëüêî èòîãîâûé íàáîð øàðîâ, íå çíàÿ èõ ïîðÿäêà â) âñå òàêèå íàáîðû
ðàâíîâåðîÿòíû.
 êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ
{i1 , ..., ik },
ãäå
i1 , ..., ik
ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ
1
äî
N
Ω3
âîçüìåì ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ
è ðàçëè÷íû. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî
CNk = AkN /k!. Âñåì ýëåìåíòàð1/CNk .
ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ïðè ýòîì åñòü
íûì èñõîäàì ïðèïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ âåðîÿòíîñòü
Ïðèìåð 7.
Ω̃4
Ðàññìîòðèì ïðèìåð 4 áåç ïóíêòà à). Ïî àíàëîãèè â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà
ñëåäîâàëî áû âçÿòü ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ
÷åíèÿ îò
1
äî
N.
{i1 , ..., ik },
ãäå
i1 , ..., ik
ïðèíèìàþò çíà-
Îäíàêî, íàèáîëåå ïðîñòî è íàãëÿäíî ïîäñ÷åò ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ
äðóãîãî ïðîñòðàíñòâà.  êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ
Ω4
âîçüìåì ìíî-
(i1 , ..., iN −1 ), ãäå 0 ≤ i1 ≤ i2 ... ≤ iN −1 ≤ k , ãäå il îáîçíà÷àåò
áîëüøå l . Êàêîâà òîãäà ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ
æåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
÷èñëî øàðîâ ñ íîìåðîì íå
èñõîäîâ?
Ðåøèì ñïåðâà âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó: êàêîâà áûëà áû ìîùíîñòü ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, åñëè áû ìû ïîòðåáîâàëè, ÷òîáû âñå íåðàâåíñòâà áûëè ñòðîãèìè? Òîãäà
çàäà÷ó ìîæíî áûëî áû èíòåðïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: âûáðàòü íåóïîðÿäî÷åííûé íàáîð èç
N −1
÷èñëà èç ìíîæåñòâà
{1, ..., k − 1},
ò.å. áûëî áû
N −1
Ck−1
âàðèàíòîâ.
(i1 , ..., iN −1 )
= iN −1 + N − 1), ãäå
Óáèðàÿ îãðàíè÷åíèå íà ñòðîãîñòü íåðàâåíñòâ, çàìåòèì, ÷òî òàêîìó íàáîðó
1 äî k ñîîòâåòñòâóåò íàáîð (j1 = i1 + 1, j2 = i2 + 2..., jN −1
0 < j1 < ... < jN −1 < k + N . Ýòî îòîáðàæåíèå áèåêòèâíîå, à çíà÷èò
÷èñåë îò
íàáîðîâ è òàì, è
òàì ïîðîâíó. Íî âòîðàÿ çàïèñü íàáîðà ñîîòâåòñòâóåò íàáîðó ñî ñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè,
òî åñòü
−1
.
CNN+k−1
Òàêèì îáðàçîì, â
−1
Ω4 CNN+k−1
èñõîä, â ñèëó óñëîâèÿ â) êàæäîìó èç íèõ
N −1
ìîæíî ïðèïèñàòü âåðîÿòíîñòü CN +k−1 .
Ïðèìåð 8.
Íà ýêçàìåíå êàæäûé ñòóäåíò çíàåò ïåðâûå
M
áèëåòîâ èç
N. n
ñòóäåíòîâ
ïî î÷åðåäè òÿíóò áèëåòû. Ïîñòðîèòü âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî è íàéòè âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî
k -ûé ñòóäåíò âûòÿíåò çíàêîìûé áèëåò, åñëè áèëåòû òÿíóòñÿ à) ñ âîçâðàùåíèåì
á) áåç âîçâðàùåíèÿ.
Ω = {(i1 , ...., in )}, ãäå ij íîìåð áèëåòà j ñòóäåíòà, ïðè÷åì ij = 1....M çíàêîìûå áèëåòû, i1 , ...in ëþáûå îò 1 äî N .  ïåðâîì ñëó÷àå
|Ω| = N n , à ñîáûòèå A ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé A = {(i1 , ..., in ) : ik ∈ {1, ..., M }}. Ïðè ýòîì
|A| = N n−1 M , ïîñêîëüêó i1 , i2 ,...,ik−1 , ik+1 ,...,in ïðèíèìàþò ëþáûå çíà÷åíèÿ îò 1 äî N , à
ik ëþáîå îò 1 äî M . Ñëåäîâàòåëüíî, P (A) = M/N .
á) âî âòîðîì ñëó÷àå âîçüìåì àíàëîãè÷íîå Ω, ãäå i1 , ..., in ðàçëè÷íûå. Ïðè ýòîì |Ω| =
N · (N − 1)... · (N − n + 1), |A| = M · (N − 1)... · (N − n + 1), ïîñêîëüêó äëÿ ik åñòü M âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ, i1 N −1 îñòàâøèéñÿ è ò.ä. Ïðè ýòîì P (A) = M/N . Ñëåäîàâòåëüíî,
â îáîèõ ñëó÷àÿõ âñå ñòóäåíòû èìåþò âåðîÿòíîñòü M/N âûòàùèòü çíàêîìûé áèëåò.
Ïðèìåð 9. Ðàññìîòðèì íàáîð èç N ïðîíóìåðîâàííûõ ÿùèêîâ, ïî êîòîðûì ìû ðàçëîæèì k íåðàçëè÷èìûõ äðîáèíîê òàê, ÷òîáû íè â îäèí ÿùèê íå ïîëîæèòü áîëåå îäíîé.
à) âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî çàäàäèì
Ïðè ýòîì âñåâîçìîæíûå íàáîðû ðàçëîæåíèé äðîáèíîê áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîâåðîÿòíûìè.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A=Â ïåðâûé ÿùèê ïîïàëà äðîáèíêà.
Çàäà÷à ïîäõîäèò ïîä âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî
â òåðìèíàõ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà
i1 , ..., ik èç ðàçëè÷íûõ ÷èñåë, ñðåäè êîòîðûõ åñòü 1. Çà
èñêëþ÷åíèå 1 ýòî ìíîæåñòâî ñîäåðæèò k−1 ðàçëè÷íûé ýëåìåíò îò 2 äî N . Ñëåäîâàòåëüíî
k
|A| = Ak−1
N −1 , Ω3 = AN ,
Ak−1
P (A) = Nk−1 .
AN
ñîáûòèå
A
Ω3 ,
ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ
Òàêèì îáðàçîì, îäíà è òà æå âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ñâîäèòü äðóã ê äðóãó
ìíîæåñòâó ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ â áûòîâîì ñìûñëå çàäà÷. Çàìåòèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî
Ω4 ïðèìåðà 5 ïîäõîäèò äëÿ îïèñàíèÿ ìîäåëè ðàñêëàäûâàíèÿ äðîáèíîê ïî ÿùèêàì òàêæå,
êàê â ïðèìåðå 7, íî ñ ðàçðåøåíèåì êëàñòü áîëåå îäíîé äðîáèíêè â ÿùèê. Âåðîÿòíîñòíîå
ïðîñòðàíñòâî ïîçâîëÿåò ñâîäèòü ðàçíûå ôèçè÷åñêèå çàäà÷è ê îäíîé è òîé æå ìàòåìàòè÷åñêîé.
Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ñëåäóþùèé ýôôåêò. Ïðîñòðàíñòâà ïðèìåðîâ 3 è 4 ñîãëàñîâàíû
ìû ìîæåì ñìîòðåòü êàê øàðû âûòÿãèâàþòñÿ óïîðÿäî÷åííî, ëèáî íàáëþäàòü òîëüêî
êîíå÷íûé ðåçóëüòàò, íî îäíè è òå æå ñîáûòèÿ (íàïðèìåð, ñîáûòèå áûë õîòÿ áû ðàç âûòÿíóò øàð íîìåð 1) èìåþò îäíó è òó æå âåðîÿòíîñòü. Îäíàêî âåðîÿòíîñòíûå ïðîñòðàíñòâà
ïðèìåðîâ 5 è 2 äëÿ îïèñàíèÿ ýòîé çàäà÷è íå ñîîòâåòñòâóþò äðóã äðóãó, ÷òî ëåãêî ìîæ-
{âñå ðàçû âûòÿíóò ïåðâûé øàð}. Â ìîäåëè
−1
k
1/CNN+k−1
, â ìîäåëè ïðèìåðà 2 - 1/N .
íî óâèäåòü íà ïðèìåðå èñõîäà
ñîáûòèå èìååò âåðîÿòíîñòü
ïðèìåðà 5 ýòî
Òàêèì îáðàçîì, ïðèïèñûâàíèå îäèíàêîâûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ èñõîäîâ óïîðÿäî÷åííîãî
èëè íåóïîðÿäî÷åííîãî âûòÿãèâàíèÿ øàðîâ ñ âîçâðàùåíèåì ÿâëÿåòñÿ äàåò äâå ðàçíûõ
ðåàëüíîñòè.  îäíîì ñëó÷àå ðàâíîâåðîÿòíû âñå âîçìîæíîñòè äëÿ êàæäîãî èç øàðîâ,
à â äðóãîì âñå âîçìîæíûå ðàñêëàäêè âñåõ øàðîâ. Ïåðâûé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò òàê
íàçûâàåìîé ñòàòèñòèêå Ìàêñâåëëà-Áîëüöìàíà è ïîäõîäèò äëÿ îïèñàíèÿ, íàïðèìåð, ðàñïîëîæåíèé êîíå÷íûõ íàáîðîâ ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâå, âòîðîé
- Áîçå-Ýéíøòåéíà è ïîäõîäèò, íàïðèìåð, äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïîëîæåíèé ôîòîíîâ. Ñèòóàöèÿ íåóïîðÿäî÷åííîãî âûòÿãèâàíèÿ øàðîâ áåç âîçâðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñòàòèñòèêå
Ôåðìè-Äèðàêà è ïîäõîäèò, íàïðèìåð, äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïîëîæåíèÿ ýëåêòðîíîâ. Äëÿ îïèñàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ÿ ìîãó âûáðàòü òîëüêî îäíó èç ýòèõ
ìîäåëåé, à âûáðàòü ïîäõîäÿùóþ ÿ äîëæåí èñõîäÿ èç õàðàêòåðà âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ëèáî ó ìåíÿ êàæäàÿ ÷àñòèöà íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî óðîâíÿì, ëèáî
âñå ÷àñòèöû âìåñòå âûáèðàþò îäíó èç âîçìîæíûõ ðàññòàíîâîê.
1.1.0 Íàóãàä âûáèðàåòñÿ
4çíà÷íûé àâòîìîáèëüíûé íîìåð. Íàéòè âåð-òü òîãî, ÷òî âñå öèôðû èäóò íåóáûâàÿ.
1.2.0
Èç âñåõ îòîáðàæåíèé
{1, ..., n}
â ñåáÿ âûáèðàåòñÿ îäíî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî îíî ìîíîòîííî.
1.3.0 Èç öåëî÷èñëåííûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé óðàâåíåíèÿ x1 +...+xN = k ñëó÷àéíî
âûáèðàåòñÿ îäíî. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíî ñîñòîèò èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë.
1.1.1
Ïà÷êó êàðò èç 36 øòóê ðàçäåëèëè íà äâå ïîëîâèíû. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
â êàæäîé ïî 2 òóçà.
1.2.1 n êëþ÷åé, èç êîòîðûõ îäèí ïîäõîäÿùèé, ïî î÷åðåäè èñïîëüçóþòñÿ â ñëó÷àéíîì ïîðÿäêå, ïðè÷åì à) íåïîäõîäÿùèå êëþ÷è îòêëàäûâàþòñÿ á) âîçâðàùàþòñÿ íà ñâÿçêó. Íàéòè
âåð-òü òîãî, ÷òî íà
k
ðàç äâåðü îòêðîåòñÿ
1.3.1 n ÷åëîâåê ñëó÷àéíî âûñòðîèëèñü â î÷åðåäü. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Ïåòðîâ è
Ñèäîðîâ âñòàíóò à) äðóã çà äðóãîì á) ÷åðåç
1.1.2 n
k
÷åëîâåê
÷åëîâåê ïðèøëè â ãîñòè, ñíÿëè ïëàùè è ïîâåñèëè íà âåøàëêó. Óõîäÿ, êàæäûé
íàäåë ñëó÷àéíûé ïëàù. Êàêàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íèêòî íå íàäåë ñâîåãî ïëàùà?
1.2.2
Ïóñòü
n
ðàçíûõ øàðîâ ñëó÷àéíî ðàñêëàäûâàþòñÿ ïî
n
ðàçíûì ÿùèêàì îäèí çà
äðóãèì. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî à) âñå ÿùèêè áóäóò çàïîëíåíû á) ðîâíî îäèí ÿùèê
áóäåò ïóñòîâàòü.
1.3.2 Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ ðàññòàíîâêà k ëàäåé íà äîñêå 8 × 8 îêàæåòñÿ òàêîé, ÷òî íèêàêèå ëàäüè íå áüþò äðóã äðóãà.
1.1.3
 øåðåíãå
n
÷åëîâåê. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü âûáðàòü
k
èç íèõ, íè ðàçó íå âûáðàâ
ñîñåäåé?
1.2.3 Èç {1, ..., N } ñëó÷àéíî âûáèðàåòñÿ k
ïîäìíîæåñòâ. Íàéòè âåð-òü, ÷òî íèêàêèå äâà
íå ïåðåñåêàþòñÿ.
1.3.3 Èç 2n ÷åëîâåê k < n äåâóøåê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè ñëó÷àéíîì ðàçáèåíèè ëþäåé íà ïàðû, áóäåò íå áîëåå îäíîé æåíñêîé ïàðû.
1.0.3*.
1,..,k
Âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ ïåðåñòàíîâêà èç
ïîïàäóò â îäèí öèêë.
Sn .
Íàéòè âåð-òü òîãî, ÷òî à)
1
è
2,
á)