ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Семинар 14. ДЕТЕРМИНИЗАЦИЯ

ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÈÓ5 | 4 ñåìåñòð, 2015 ã.
Ñåìèíàð 14. ÄÅÒÅÐÌÈÍÈÇÀÖÈß
ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÀÂÒÎÌÀÒÎÂ
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Êîíå÷íûé àâòîìàò íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûì, åñëè â íåì íåò äóã ñ
ìåòêîé λ è èç ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ ïî ëþáîìó âõîäíîìó ñèìâîëó âîçìîæåí
ïåðåõîä â òî÷íîñòè â îäíî ñîñòîÿíèå, ò.å.
(∀q ∈ Q)(∀a ∈ V )(|δ(q, a)| = 1).
Äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî êîíå÷íîãî àâòîìàòà çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïåðåõîäîâ
äëÿ ëþáîé ïàðû (ñîñòîÿíèå, âõîäíîé ñèìâîë) ÿâëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíîå
ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé.
Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî àâòîìàòà ìîæåò áûòü ïîñòðîåí ýêâèâàëåíòíûé åìó
äåòåðìèíèðîâàííûé êîíå÷íûé àâòîìàò.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ| ýòî îòîáðàæåíèå
δ: Q × (V ∪ {λ}) → 2Q,
òàêîå, ÷òî δ(q, a) = {r: q →a r} ,
ò.å. çíà÷åíèå ôóíêöèè ïåðåõîäîâ íà óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (ñîñòîÿíèå, âõîäíîé
ñèìâîë èëè ïóñòàÿ öåïî÷êà) åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ñîñòîÿíèé, â êîòîðûå èç
äàííîãî ñîñòîÿíèÿ âîçìîæåí ïåðåõîä ïî äàííîìó âõîäíîìó ñèìâîëó èëè
ïóñòîé öåïî÷êå.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò áûòü ïóñòîå ìíîæåñòâî.
Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ ïåðåõîäîâ, êîíå÷íûé àâòîìàò ìîæíî çàäàâàòü êàê
óïîðÿäî÷åííóþ ïÿòåðêó:
M = (V, Q, q0, F, δ),
ãäå V | âõîäíîé àëôàâèò; Q | ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé; q0 | íà÷àëüíîå
ñîñòîÿíèå; F | ìíîæåñòâî çàêëþ÷èòåëüíûõ ñîñòîÿíèé; δ | ôóíêöèÿ
ïåðåõîäîâ, çàäàííàÿ â âèäå ñèñòåìû êîìàíä.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Äåòåðìèíèçèðóåì êîíå÷íûé àâòîìàò M .
Ðèñ. 1. Êîíå÷íûé àâòîìàò M
Ïîñòðîèì ÊÀ M1 áåç λ -ïåðåõîäîâ, ýêâèâàëåíòíûé ÊÀ M .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ðèñ. 2. Êîíå÷íûé àâòîìàò M
Ïîñòðîèì ÊÀ M1 áåç λ -ïåðåõîäîâ, ýêâèâàëåíòíûé ÊÀ M .
Ðèñ. 3. Êîíå÷íûé àâòîìàò M1
Èç ñîñòîÿíèé q1 è q2 ïî äóãå ñ ìåòêîé λ ìîæíî ïîïàñòü â çàêëþ÷èòåëüíîå
ñîñòîÿíèå q5 , ñëåäîâàòåëüíî, îíè âîéäóò â ìíîæåñòâî F.
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ðèñ. 4. Êîíå÷íûé àâòîìàò M1
Ñîñòîÿíèå q3 íå âîøëî â ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé íîâîãî àâòîìàòà M1 , òàê
êàê â íåãî çàõîäÿò òîëüêî äóãè ñ ìåòêàìè λ â ÊÀ M .
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
×òîáû äåòåðìèíèçèðîâàòü ïîëó÷åííûé àâòîìàò âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì
âûòÿãèâàíèÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äåòåðìèíèðîâàííûé ÊÀ âñå ñîñòîÿíèÿ
êîòîðîãî, äîñòèæèìû èç íà÷àëüíîé âåðøèíû {q1 } .
Ìåòîä âûòÿãèâàíèÿ.
 ÊÀ áåç λ -ïåðåõîäîâ M1 îïðåäåëÿåì âñå ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé, äîñòèæèìûõ èç íà÷àëüíîãî.
1. Äëÿ êàæäîãî ñèìâîëà ai âõîäíîãî àëôàâèòà íàõîäèì ìíîæåñòâî
δ({q1}, ai) . Êàæäîå òàêîå ìíîæåñòâî â íîâîì àâòîìàòå ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåììíîæåñòâîì, íåïîñðåäñòâåííî äîñòèæèìûì èç íà÷àëüíîãî.
2. Äëÿ êàæäîãî èç îïðåäåëåííûõ íà ïðåäûäóùåì øàãå ñîñòîÿíèé-ìíîæåñòâ
S è êàæäîãî ñèìâîëà âõîäíîãî àëôàâèòà ai íàõîäèì ìíîæåñòâî
δ(S, ai) =
[
δ(q, ai).
q∈S
3. Ïîâòîðÿåì øàã 2 äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïåðåñòàíóò ïîÿâëÿòüñÿ íîâûå
ñîñòîÿíèÿ-ìíîæåñòâà (âêëþ÷àÿ ïóñòîå).
4. Âûäåëÿåì ìíîæåñòâî çàêëþ÷èòåëüíûõ ñîñòîÿíèé. Ñîñòîÿíèå-ìíîæåñòâî
íîâîãî äåòåðìèíèðîâàííîãî êîíå÷íîãî àâòîìàòà (ÄÊÀ) áóäåò çàêëþ÷èòåëüíûì, îíî âêëþ÷àåò õîòÿ áû îäíî çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà M1
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ðèñ. 5. Êîíå÷íûé àâòîìàò M1
1)δ1({q1}, a) = {q2, q4, q6};
δ1({q1}, b) = {q4, q6};
2)δ1({q2, q4, q6}, a) = δ(q2, a) ∪ δ(q4, a) ∪ δ(q6, a) =
= {q2, q4, q6} ∪ ∅ = {q2, q4, q6};
δ1({q2, q4, q6}, b) = {q4, q5, q6};
3)δ1({q4, q6}, a) = ∅;
δ1({q4, q6}, b) = {q5};
4)δ1({q4, q5, q6}, a) = {q2, q6};
δ1({q4, q5, q6}, b) = {q4, q5};
5)δ1({q5}, a) = {q2, q6};
δ1({q5}, b) = {q4};
6)δ1({q2, q6}, a) = {q2, q4, q6};
δ1({q2, q6}, b) = {q4, q5, q6};
7)δ1({q4, q5}, a) = {q2, q6};
δ1({q4, q5}, b) = {q4, q5};
8)δ1({q4}, a) = ∅;
δ1({q4}, b) = {q5};
9)δ1(∅, a) = ∅;
δ1(∅, b) = ∅;
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïî ïîëó÷åííûì ôóíêöèÿì ïåðåõîäà ïîñòðîèì ÄÊÀ
1)δ1({q1}, a) = {q2, q4, q6};
δ1({q1}, b) = {q4, q6};
2)δ1({q2, q4, q6}, a) = {q2, q4, q6};
δ1({q2, q4, q6}, b) = {q4, q5, q6};
3)δ1({q4, q6}, a) = ∅;
δ1({q4, q6}, b) = {q5};
4)δ1({q4, q5, q6}, a) = {q2, q6};
δ1({q4, q5, q6}, b) = {q4, q5};
5)δ1({q5}, a) = {q2, q6};
δ1({q5}, b) = {q4};
6)δ1({q2, q6}, a) = {q2, q4, q6};
δ1({q2, q6}, b) = {q4, q5, q6};
7)δ1({q4, q5}, a) = {q2, q6};
δ1({q4, q5}, b) = {q4, q5};
8)δ1({q4}, a) = ∅;
δ1({q4}, b) = {q5};
9)δ1(∅, a) = ∅; δ1(∅, b) = ∅;
Ðèñ. 6. Êîíå÷íûé àâòîìàò M3
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Ïîëó÷èëè ñëåäóþùèé ãðàô:
Ðèñ. 7. Êîíå÷íûé àâòîìàò M3
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit
Çàäà÷à 1.
Äåòåðìèíèçèðîâàòü êîíå÷íûé àâòîìàò:
M ={{0, 1}, {q1, q2, q3}, {q1}, {q3},
δ(q1, 0) = {q1, q3}, δ(q1, 1) = {q2},
δ(q2, 0) = {q1}, δ(q2, 1) = {q3}, δ(q3, 1) = {q1}}.
(M ={{Àëôàâèò}, {ìí-âî ñîñòîÿíèé}, {íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå},
{çàêëþ÷èò. ñîñòîÿíèÿ}, {ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ}})
Óñòàíîâèòü, äîïóñêàåò ëè àâòîìàò öåïî÷êó 10100
Çàäà÷à 2.
Ïîñòðîèòü ÊÀ, äîïóñêàþùèé âñå öåïî÷êè â àëôàâèòå {a, b} , íå ñîäåðæàùèå
ïîäöåïî÷êó aba .
Çàäà÷à 3.
Íàéòè ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå äëÿ äîïîëíåíèÿ ÿçûêà L = (a + b)∗ + ba∗ .
(Óêàçàíèå. Ïîñòðîèòü ÊÀ äëÿ äîïîëíåíèÿ è íàéòè ÿçûê, äîïóñêàåìûé ýòèì
ÊÀ).
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit