63

ÎÒÂÅÒÛ,
ÓÊÀÇÀÍÈß,
ñòàíîâêà êëåòîê â ïðÿìîóãîëüíèêå 1´ n , òî òàêàÿ ðàññòàíîâêà ñóùåñòâóåò è â ïðÿìîóãîëüíèêå m ´ n ñ ëþáûì m: íóæíî
ïðîñòî çàäàòü îäíó è òó æå âå÷íî æèâóþ ðàññòàíîâêó âî âñåõ
ñòðîêàõ.
Ïðè n = 2 è n ³ 4 âå÷íî æèâûå ðàññòàíîâêè 1´ n ñóùåñòâóþò: êàæäàÿ èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ðàññòàíîâîê âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå çà äâà øàãà (Æ – æèâàÿ êëåòêà, Ì –
ìåðòâàÿ):
ÆÌ « ÌÆ
n=2
n³4
ÆÌÌÆÆÌÌÆ...
« ÌÆÆÌÌÆÆÌ...
n ÷åòíî
n íå÷åòíî ÆÌÌÌÆÆÌÌÆ... « ÌÆÌÆÌÌÆÆÌ...
 êâàäðàòå 3 ´ 3 òàêæå åñòü âå÷íî æèâàÿ ðàññòàíîâêà ïåðèîäà 2:
ÆÆÌ
ÌÌÆ
ÌÌÌ « ÆÌÆ
ÌÆÆ
ÆÌÌ
Ñëó÷àé 1´1 î÷åâèäåí. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ïðÿìîóãîëüíèê
1´ 3 (ñëó÷àé 3 ´ 1 àíàëîãè÷åí). Ìîæíî ñ÷èòàòü (âîçìîæíî,
íà÷àâ ñî âòîðîãî øàãà), ÷òî ïåðâàÿ êëåòêà ìåðòâà. Òîãäà îñòàåòñÿ òðè âàðèàíòà, â êîòîðûõ åñòü æèâàÿ êëåòêà. Ýâîëþöèÿ
âàðèàíòà ÌÆÆ âêëþ÷àåò â ñåáÿ è ÌÆÌ:
ÌÆÆ ® ÆÌÌ ® ÌÆÌ ® ÆÌÆ ® ÌÌÌ ,
à âàðèàíò ÌÌÆ ñèììåòðè÷åí âàðèàíòó ÆÌÌ, êîòîðûé òàêæå âõîäèò â ýòîò ïðèìåð.
5. Âñåãäà. Ðåøåíèå. Ïóñòü m îáîçíà÷àåò ÷èñëî íîâîáðàíöåâ,
ñòîÿùèõ ëèöîì ê ñåðæàíòó ñëåâà îò íåãî, à n – ñïðàâà. Âíà÷àëå ïóñòü ñåðæàíò ñòàíåò íà ëåâûé êðàé øåðåíãè. Òîãäà m =
= 0. Åñëè n = 0, òî çàäà÷à ðåøåíà. Åñëè æå n > 0, òî ïóñòü
ñåðæàíò ïåðåäâèãàåòñÿ ïî øåðåíãå ñëåâà íàïðàâî. Åñëè îí
ïðîõîäèò ÷åëîâåêà, ñòîÿâøåãî ê íåìó ñïèíîé, òî m óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1, à n íå èçìåíÿåòñÿ. Åñëè ñåðæàíò ïðîõîäèò ÷åëîâåêà, ñòîÿâøåãî ê íåìó ëèöîì, òî m íå èçìåíÿåòñÿ, à n óìåíüøàåòñÿ íà 1. Åñëè íîâîáðàíåö ñòîÿë áîêîì, òî îáà ÷èñëà îñòàþòñÿ ïðåæíèìè. Âíà÷àëå ðàçíîñòü m – n îòðèöàòåëüíà. Â
êîíöå (êîãäà ñåðæàíò äîéäåò äî ïðàâîãî êðàÿ) n = 0 è ïîòîìó
m - n ³ 0 . Òàê êàê ÷èñëî m – n öåëîå è ìîæåò ìåíÿòüñÿ çà
îäèí øàã òîëüêî íà 1, òî â êàêîé-òî ìîìåíò îíî ðàâíî íóëþ,
÷òî è òðåáîâàëîñü.
6. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà a + b > c è òîò ôàêò,
÷òî a2 - ab + b 2 > 0, ïîëó÷àåì
(
)
a 3 + b 3 + 3abc = (a + b ) a 2 - ab + b 2 + 3abc >
(
2
> c a - ab + b
2
)+ 3abc =
2
c (a + b) > c × c2 = c 3 .
7. Îòðàçèì VDBE îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé DE. Ïî ñâîéñòâó
âïèñàííûõ óãëîâ ÐAED = ÐACD = ÐBCD = ÐBED , ïîýòîìó
ïðÿìàÿ ÀÅ ïåðåéäåò â ïðÿìóþ ÂÅ. Àíàëîãè÷íî, ïðÿìàÿ CD
ïåðåéäåò â ïðÿìóþ BD. Çíà÷èò, òî÷êà I ïåðåéäåò â òî÷êó Â.
Ïîýòîìó BF = IF, BG = IG è BI ^ FG . Íî ëó÷ BI – áèññåêòðèñà óãëà FBG, ïîýòîìó VFBG ðàâíîáåäðåííûé, ò.å. BF =
= BG. Òàêèì îáðàçîì, âñå ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà BFIG
ðàâíû, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
8. x = ±1 , ó = 0. Ðåøåíèå. Çíàêè õ è ó ìîæíî âûáèðàòü
ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàéòè íåîòðèöàòåëüíûå ðåøåíèÿ. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå
(x 2 - 1)(x 2 + 1) = 2y2 .
Ïóñòü ó > 0. Êàæäûé ïðîñòîé ìíîæèòåëü âõîäèò â ðàçëîæåíèå ÷èñëà y2 ÷åòíîå ÷èñëî ðàç. Åñëè îí íå ðàâåí 2, òî âõîäèò
â ðàçëîæåíèå ðîâíî îäíîãî èç ÷èñåë x2 - 1 , x2 + 1 . Îáà ýòè
÷èñëà ÷åòíû (òàê êàê ÷åòíà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ). Ïðè
ýòîì â ðàçëîæåíèè x2 + 1 ñîäåðæèòñÿ îäíà äâîéêà ( x2 + 1
íè ïðè êàêîì íàòóðàëüíîì õ íå äåëèòñÿ íà 4). Êàê ñëåäñòâèå,
ÐÅØÅÍÈß
63
2
â ðàçëîæåíèè x - 1 ñîäåðæèòñÿ ÷åòíîå ÷èñëî äâîåê. Òàêèì
îáðàçîì, âñå ïðîñòûå ìíîæèòåëè âõîäÿò â ýòî ðàçëîæåíèå
÷åòíîå ÷èñëî ðàç, ò.å. x2 - 1 ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Íî
åñëè äâà òî÷íûõ êâàäðàòà îòëè÷àþòñÿ íà 1, òî ìåíüøèé èç
íèõ ðàâåí 0. Çíà÷èò, â äåéñòâèòåëüíîñòè x = ±1 è ó = 0.
9. Íå ìîãóò. Ðåøåíèå. Äîêàæåì, ÷òî ïðè êàæäîì ðàçðåçå ÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íå ìåíåå ÷åì íà 2. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè êîíåö ðàçðåçà ëåæèò íà ñòîðîíå êàêîãî-òî èç
èìåþùèõñÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ, òî çäåñü îáðàçóåòñÿ íå ìåíåå
îäíîãî íåòóïîãî óãëà. Åñëè æå ýòî âåðøèíà ìíîãîóãîëüíèêà,
òî óãîë ïðè íåé ðàçáèâàåòñÿ íà äâà óãëà, ñóììà êîòîðûõ
ìåíüøå 180°. Çíà÷èò, òåì áîëåå îäèí èç íèõ íåòóïîé. Åñëè
óãîë ìíîãîóãîëüíèêà áûë íåòóïûì, òî îáà îáðàçîâàâøèõñÿ
óãëà íåòóïûå. Òàêèì îáðàçîì, ïðè êàæäîì ðàçðåçå ÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ óâåëè÷èâàåòñÿ.
Òàê êàê èñõîäíûé òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé, òî âíà÷àëå
÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ ðàâíî òðåì. Ïîñëå k ðàçðåçîâ îíî íå
ìåíüøå ÷åì 2k + 3. Åñëè âñå k + 1 ïîëó÷èâøèåñÿ ÷àñòè – òóïîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè, òî ÷èñëî íåòóïûõ óãëîâ ðàâíî
3(k + 1) – (k + 1) = 2k + 2 < 2k + 3. Ïîëó÷åíî èñêîìîå ïðîòèâîðå÷èå.
10. Òàíãåíñû óãëîâ òðåóãîëüíèêà ðàâíû 1, 2, 3. Ðåøåíèå.
Îáîçíà÷èì óãëû òðåóãîëüíèêà â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ α, β, γ.
Òîãäà 0 < α ≤ π 3 , ïîýòîìó 0 < tg α ≤ 3 . Òàê êàê tg α –
π
3π
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî tg α = 1 , α = . Òîãäà β + γ =
, îò4
4
êóäà
tg β + tg γ
−1 = tg (β + γ ) =
1 − tg β tg γ , (tg β − 1)(tg γ − 1) = 2 .
ßñíî, ÷òî îäíà ñêîáêà ðàâíà 1, à äðóãàÿ 2, îòêóäà tg β = 2 ,
tg γ = 3 (ïîñêîëüêó β ≤ γ ).
11. 6. Ðåøåíèå. Ïóñòü ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû n, n +
+ 1, n + 2, n + 3. Òîãäà ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñîñòàâëÿåò
4n + 6. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BCD ðàâíà ó÷åòâåðåííîé ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ECF. Çíà÷èò,
SABD = SABCD − SBCD ≤ (4n + 6 ) − 4n = 6 .
Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî çíà÷åíèå 6 âîçìîæíî. Ïðèìåðîì ñëóæèò ðàâíîáåäðåííàÿ òðàïåöèÿ ñ îñíîâàíèÿìè AD = 6, BC = 4
è âûñîòîé 2.
12. Âñåãäà.
13. Ìîæíî. Ðåøåíèå. Âïèøåì êðóã â êâàäðàò è ïîêðàñèì â
÷åðíûé öâåò òî÷êè êâàäðàòà, ëåæàùèå âíå êðóãà.  ïîëó÷åííûé êðóã âïèøåì êâàäðàò ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè ñòîðîíàì èñõîäíîãî êâàäðàòà. Ïîêðàñèì â áåëûé öâåò òî÷êè êðóãà, ëåæàùèå âíå âïèñàííîãî êâàäðàòà. Äàëåå äåéñòâóåì àíàëîãè÷íî. Ãðàíè÷íûå òî÷êè ôèãóðû âñåãäà ñ÷èòàåì ïðèíàäëåæàùèìè åé. Òàêèì îáðàçîì, ãðàíèöà êàæäîãî êâàäðàòà ïîêðàøåíà ÷åðíûì, êðîìå ÷åòûðåõ òî÷åê êàñàíèÿ âïèñàííîãî êðóãà, à ãðàíèöà êàæäîãî êðóãà – áåëûì, êðîìå ÷åòûðåõ âåðøèí
âïèñàííîãî êâàäðàòà.
14. Ïîëîæèì t = 100, c = t 3 + t + 1 , r = 3 c - t > 0 . Òî÷êà À
ñ êîîðäèíàòàìè (t + r, c) ëåæèò íà ãðàôèêå ôóíêöèè y = x 3 ,
à òî÷êà  ñ êîîðäèíàòàìè (t, c ) – íà ãðàôèêå ôóíêöèè
y = x 3 + x + 1 . Ðàññòîÿíèå ÀÂ ðàâíî r. Íî èç ðàâåíñòâà
3
(t + r ) = c = t3 + t + 1 ñëåäóåò, ÷òî 3t2r + 3tr 2 + r 3 = t + 1 ,
1
t +1
<
.
100
3t2
15. Ïóñòü {an } – äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, Sn – ñóììà
ïåðâûõ n åå ÷ëåíîâ, kn = Sn-1 an . Òàê êàê an+1 > an , òî
3t2r < t + 1 , r <
kn+1 =
+ an
Sn
S
> n-1
= kn + 1 .
an+1
an
Ïî óñëîâèþ kn è kn+1 öåëûå, ïîýòîìó kn+1 £ kn . Çíà÷èò, ñ
íåêîòîðîãî íîìåðà N ÷àñòíûå ðàâíû êîíñòàíòå k. Íî òîãäà
k +1
Sn–1 è, ñëåïðè n ³ N èìååì an = Sn-1 k , îòêóäà Sn =
k