K2 ("Лагранжева механика", версия 1)

Задачи второй части практического курса теоретической механики
«Лагранжева механика»
(редакция 1, 2015)
Примечание. Сначала следует вспомнить (или изучить) следующий материал из «ньютоновой механики»:
«Потенциальные силы и потенциальная функция для системы материальных точек. Потенциальная энергия силы тяжести.
Потенциальная энергия пружинки. Закон изменения механической энергии системы материальных точек.»
Задачи на составление функции Лагранжа и уравнений Лагранжа II рода.
Задача № 1.1
Колечко массой m может скользить по гладкой проволоке, расположенной в плоскости zx и изогнутой по заданному
закону z = z ( x) . Ось z направлена вертикально вверх. Составить уравнение Лагранжа II рода.
Результат. Функция Лагранжа L( x, x ) =
z ′x =
m 2
x(1 + z ′x2 ) + x 2 z ′x z ′′xx + gz ′x =
0 . Здесь
x [1 + z ′x2 ( x)] − mgz ( x) . Уравнение Лагранжа 
2
d 2z
dz
, z ′′xx = 2 .
dx
dx
z
Задача № 1.2
g
Колечко массой m может скользить по гладкой проволоке, расположенной в плоскости
zξ и изогнутой по заданному закону z = z (ξ ) . Плоскость zξ вращается вокруг вертикальной
z = z (ξ )
m
оси z с постоянной угловой скоростью ω . Составить уравнение Лагранжа II рода.
y
ωt
Результат. У системы одна степень свободы, в качестве обобщённой координаты
ξ
x
m
m
естественно взять координату ξ . Функция Лагранжа L(ξ , ξ) = ξ 2 [1 + zξ′2 (ξ )] + ξ 2ω 2 − mgz (ξ ) . Уравнение Лагранжа:
2
2
ξ(1 + zξ′2 ) + ξ 2 zξ′ zξξ′′ − ξω 2 + gzξ′ =
0 . Здесь zξ′ =
dz
d 2z
′′ =
, zξξ
.
dξ
dξ 2
Задача № 2
Составить уравнение Лагранжа II рода для плоского маятника – материальной точки
массой m, которая соединена с точкой подвеса невесомым стержнем или нитью длиной l и
φ
g
движется в вертикальной плоскости. В качестве обобщённой координаты выбрать угол ϕ .
g
1 2 2
0.
ml ϕ + mgl cos ϕ . Уравнение Лагранжа: ϕ + sin ϕ =
2
l
1
x
m
y
Результат. Функция Лагранжа =
L(ϕ ,ϕ )
l
Задача № 3
φ1 m1
материальных точек с массами m1 и m2 . Первая соединена с началом координат невесомым
g
φ2
стержнем длиной l1 , вторая соединена с первой невесомым стержнем длиной l2 . В качестве
l2
m2
y
обобщённых координат выбрать углы ϕ1 и ϕ 2 .
 
Результат. L(ϕ1 ,ϕ=
2 , ϕ1 , ϕ 2 )
x
l1
Составить функцию Лагранжа двойного плоского маятника, состоящего из двух
(m1 + m2 ) 2 2 m2 2 2
l1 ϕ1 +
l2 ϕ2 + m2l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + g (m1 + m2 )l1 cos ϕ1 + gm2l2 cos ϕ 2
2
2
Задача № 4.1
Система
плоская.
Материальная
точка
массой
m1
может
двигаться
по
m1
горизонтальной оси x. Она соединена невесомым стержнем длиной l с материальной
φ
точкой массой m2 . Составить функцию Лагранжа. Выписать интеграл движения,
соответствующий циклической обобщённой координате. Выписать уравнение Лагранжа
II рода, соответствующее углу φ. Показать, что это уравнение переходит в известное
уравнение ϕ +
x
l
g
m2
y
g
sin ϕ =
0 для плоского маятника, если материальную точку массой m1
l
считать неподвижной.
Результат. У системы две степени свободы. Обобщённые координаты: угол φ и декартова координата x1 точки
подвеса.
Функция
Лагранжа
1
1
L( x1 ,ϕ , x1 ,ϕ ) = (m1 + m2 ) x12 + m2l 2ϕ 2 + m2l ( x1ϕ + g ) cos ϕ .
2
2
(m1 + m2 ) x1 + m2lϕ cos ϕ =
const . Уравнение Лагранжа, соответствующее углу φ, есть ϕ +
Интеграл
движения:
g
1
sin ϕ + 
x1 cos ϕ =
0.
l
l
Задача № 4.2
f(t)
Система плоская. Материальная точка массой m соединена невесомым стержнем
длиной l с точкой подвеса, которая движется по горизонтальной оси x по заданному закону
f (t ) . Сколько степеней свободы у системы? Составить уравнение Лагранжа II рода,
φ
соответствующее углу φ. Показать, что это уравнение переходит в известное уравнение
ϕ +
g
sin ϕ =
0 для плоского маятника, если точку подвеса считать неподвижной.
l
x
l
g
m
y
Результат. У системы одна степень свободы, в качестве обобщённой координаты выберем угол φ. Функция Лагранжа
L(ϕ ,ϕ , t ) =

g
f
m 2 2 2
0.
( f + l ϕ ) + ml ( fϕ + g ) cos ϕ . Уравнение Лагранжа: ϕ + sin ϕ + cos ϕ =
l
l
2
2
Задача № 5
Система плоская. Точка подвеса маятника длиной l движется вдоль наклонённой под
y
углом β к горизонту оси ξ по заданному закону ξ (t ) . Маятник может колебаться в
ξ
g
вертикальной плоскости, содержащей ось ξ . Сколько степеней свободы у системы? Составить
β
x
уравнение Лагранжа II рода, соответствующее углу ϕ . Показать, что это уравнение переходит
в известное уравнение ϕ +
φ
g
sin ϕ =
0 для обычного плоского маятника, если считать, что точка
l
l
m
подвеса неподвижна.
, t)
Результат. Функция Лагранжа L(ϕ , ϕ=
ϕ +
1 2 2
  cos(ϕ − β ) + 1 mξ 2 − mgξ sin β . Уравнение Лагранжа:
ml ϕ + mgl cos ϕ + mlξϕ
2
2
g
1
sin ϕ + ξ cos(ϕ − β ) =
0.
l
l
Задача № 6.1
Система представляет собой пространственный маятник – материальная точка массой m,
x
ξ
которая соединена с точкой подвеса невесомым стержнем или нитью длиной l. Составить
α
φ l
функцию Лагранжа, в качестве обобщённых координат выбрав углы α и φ. Выписать интеграл
движения, соответствующий циклической обобщённой координате. Составить уравнение
y
g
Лагранжа II рода, соответствующее второй обобщённой координате. Показать, что это уравнение
переходит в известное уравнение ϕ +
g
sin ϕ =
0 для плоского маятника, если в нём положить
l
m
z
α = const .
m
Результат. Функция Лагранжа L(ϕ ,α ,ϕ ,α ) = l 2 (ϕ 2 + α 2 sin 2 ϕ ) + mgl cos ϕ . Интеграл движения: α sin 2 ϕ = const .
2
Уравнение Лагранжа, соответствующее обобщённой координате ϕ есть ϕ +
g
sin ϕ − α 2 sin ϕ cos ϕ =
0.
l
Задача № 6.2
Материальная точка массой m может двигаться по кольцу радиуса l, которое расположено
вертикально. Кольцо может поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр
кольца. Составить функцию Лагранжа, в качестве обобщённых координат выбрав углы α и φ.
x
g
Выписать интеграл движения, соответствующий циклической обобщённой координате.
φ l
Выписать уравнение Лагранжа II рода, соответствующее второй обобщённой координате.
Показать, что это уравнение переходит в известное уравнение ϕ +
g
sin ϕ =
0 для плоского
l
α
m
y
z
маятника, если считать, что кольцо не может поворачиваться.
m
Результат. Функция Лагранжа L(ϕ ,α ,ϕ ,α ) = l 2 (ϕ 2 + α 2 sin 2 ϕ ) + mgl cos ϕ . Интеграл движения: α sin 2 ϕ = const .
2
Уравнение Лагранжа, соответствующее обобщённой координате ϕ есть ϕ +
3
g
sin ϕ − α 2 sin ϕ cos ϕ =
0.
l
Задача № 6.3
Материальная точка массой m может двигаться по кольцу радиуса l, которое расположено
x
вертикально и вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси,
проходящей через его центр. Сколько степеней свободы у системы? Составить уравнение
g
ωt
φ l
Лагранжа II рода, соответствующее углу φ. Показать, что оно переходит в известное уравнение
y
m
g
ϕ + sin ϕ =
0 для плоского маятника, если считать, что кольцо не вращается.
l
z
m
Результат. У системы одна степень свободы. Функция Лагранжа L(ϕ ,ϕ ) = l 2 (ϕ 2 + ω 2 sin 2 ϕ ) + mgl cos ϕ . Уравнение
2
Лагранжа: ϕ +
g
sin ϕ − ω 2 sin ϕ cos ϕ =
0.
l
Задача № 7.1
Три материальные точки, две из которых одинаковой массы m, а третья массой M, расположены
x
в трёх вершинах ромба с невесомыми сторонами длиной l, как изображено на рисунке. Верхняя
вершина ромба закреплена в начале координат, а нижняя вершина с массой M может перемещаться
m
по оси z. Ромб может поворачиваться вокруг вертикальной оси z. Составить функцию Лагранжа, в
качестве обобщённых координат выбрав углы
θ
и
θ
g
ϕ . Выписать интеграл движения,
M
φ
m
z
y
z
соответствующий циклической обобщённой координате.
Результат. Функция Лагранжа L(θ ,ϕ ,θ,ϕ ) = l 2θ 2 (m + 2 M sin 2 θ ) + ml 2ϕ 2 sin 2 θ + 2 gl (m + M ) cosθ . Интеграл движения:
ϕ sin 2 θ = const
Задача № 7.2
Три материальные точки, две из которых одинаковой массы m, а третья массой M, расположены
x
в трёх вершинах ромба с невесомыми сторонами длиной l, как изображено на рисунке. Верхняя
вершина ромба закреплена в начале координат, а нижняя вершина с массой M может перемещаться
m
по оси z. Ромб вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси z. Составить
g
θ
функцию Лагранжа, в качестве обобщённой координаты выбрав угол θ .
ωt
y
m
M
z
Результат. Функция Лагранжа L(θ ,θ) = l 2θ 2 (m + 2 M sin 2 θ ) + ml 2ω 2 sin 2 θ + 2 gl (m + M ) cosθ .
Задача № 8
Точка массой m1 может двигаться по горизонтальной оси x, а точка массой m2 – по
вертикальной оси y. Точки взаимодействуют посредством пружинки жёсткостью k и длиной в
недеформированном состоянии l0. Составить уравнения Лагранжа II рода. В качестве
y
m2
g
обобщённых координат выбрать необходимое количество декартовых координат точек.
m1
4
x
Результат. У системы две степени свободы. Обобщённые координаты: декартова координата x1 первой точки и
декартова координата y2 второй точки. Функция Лагранжа L( x1 , y2 , x1 , y 2 ) =
Уравнения Лагранжа: m1
x1 + k (l − l0 )
m1 x12 m2 y 22
k
l
+
− m2 g y2 − (l − l0 ) 2 , где=
2
2
2
x12 + y22 .
y
x1
y2 + k (l − l0 ) 2 + m2 g =
=
0 , m2 
0.
l
l
Задача № 9.1
m1
Система плоская. Точка массой m1 может двигаться по горизонтальной оси x, а
x
точка массой m2 взаимодействует с ней посредством пружинки жёсткостью k и длиной в
недеформированном состоянии l0. Составить уравнения Лагранжа II рода. В качестве
g
обобщённых координат выбрать необходимое количество декартовых координат точек.
m2
y
Результат. У системы три степени свободы. Обобщённые координаты: декартова
координата
x1
первой
L( x1 , x2 , y2 , x1 , x2 , y 2 ) =
m1
x1 + k (l − l0 )
точки
и
декартовы
координаты
m1 x12 m2 ( x22 + y 22 )
k
+
+ m2 g y2 − (l − l0 ) 2 ,
2
2
2
где
x2
и
l=
y2
второй
точки.
( x1 − x2 ) 2 + y22 .
Функция
Уравнения
Лагранжа
Лагранжа:
x1 − x2
x −x
y
=
0 , m2 
x2 + k (l − l0 ) 2 1 =
0 , m2 
y2 + k (l − l0 ) 2 − m2 g =
0.
l
l
l
m1
Задача № 9.2
Система плоская. Точка массой m1 может двигаться по горизонтальной оси x, а
φ
точка массой m2 взаимодействует с ней посредством пружинки жёсткостью k и длиной в
g
m2
недеформированном состоянии l0. Составить функцию Лагранжа. В качестве обобщённых
координат выбрать декартову координату точки с массой m1, длину пружинки l, угол
x
l
y
пружинки с вертикалью φ. Выписать интеграл движения, соответствующий циклической
обобщённой координате. Составить уравнения Лагранжа II рода, соответствующие двум другим обобщённым координатам.
Результат.
m1 + m2 2 m2 2 2 2
k
L( x1 , l ,ϕ , x1=
, l,ϕ )
x1 +
(l + l ϕ ) + m2 x1 (lsin ϕ + lϕ cos ϕ ) − (l − l0 ) 2 + m2 gl cos ϕ .
2
2
2
Интеграл
движения: (m1 + m2 ) x1 + m2 (lsin ϕ + lϕ cos ϕ ) =
const . Уравнения Лагранжа, соответствующие обобщённым координатам ϕ и
l : lϕ + 2lϕ + 
x1 cos ϕ + g sin ϕ =
0 , m2
l + m2 
x1 sin ϕ − m2lϕ 2 + k (l − l0 ) − m2 g cos ϕ =
0.
Задача № 9.3
Система плоская. Точка массой m связана пружинкой с горизонтальной осью x,
причём точка крепления пружинки к оси движется по заданному закону
f(t)
f (t ) .
x
Характеристики пружинки – жёсткость k, длина в недеформированном состоянии l0.
Составить уравнения Лагранжа II рода. В качестве обобщённых координат выбрать
необходимое количество декартовых координат.
m
y
5
g
Результат. У системы две степени свободы. Функция Лагранжа L( x, y, x , y , t )=
l=
( f − x) 2 + y 2 . Уравнения Лагранжа: mx + k (l − l0 )
m 2
k
( x + y 2 ) + mg y − (l − l0 ) 2 , где
2
2
y
x− f
=
0 , my + k (l − l0 ) − mg =
0.
l
l
Задача № 9.4
f(t)
Система плоская. Точка массой m связана пружинкой с горизонтальной осью x,
причём точка крепления пружинки к оси движется по заданному закону
f (t ) .
φ
Характеристики пружинки – жёсткость k, длина в недеформированном состоянии l0.
x
l
g
Составить уравнения Лагранжа II рода. В качестве обобщённых координат выбрать длину
пружинки l и угол пружинки с вертикалью φ.
Результат.
m
y
m  2 2 2 2
k
L(l ,ϕ , l,ϕ ,=
t)
( f + l + l ϕ ) + mf (lsin ϕ + lϕ cos ϕ ) − (l − l0 ) 2 + mgl cos ϕ .
2
2
Уравнения
Лагранжа:
0.
lϕ + 2lϕ + 
f cos ϕ + g sin ϕ =
0 , ml + mf sin ϕ − mlϕ 2 + k (l − l0 ) − mg cos ϕ =
Задача № 10
Система
плоская.
Материальная
точка
массой
m1
может
двигаться
по
m1
горизонтальной оси x. Она соединена невесомым стержнем длиной l с материальной
точкой массой m2 . Также к ней прикреплена пружинка жёсткостью k и длиной в
φ
недеформированном состоянии l0, которая другим своим концом закреплена на оси x.
уравнение ϕ +
g
m2
Сколько степеней свободы у данной системы? Составить уравнения Лагранжа II рода.
Показать, что уравнение Лагранжа, соответствующее углу φ, переходит в известное
x
l
y
g
sin ϕ =
0 для обычного плоского маятника, если точку подвеса считать неподвижной.
l
Результат. У системы две степени свободы. Обобщённые координаты: угол φ и декартова координата x1 точки
1
1
1
подвеса. Функция Лагранжа L( x1 ,ϕ , x1 ,ϕ ) = (m1 + m2 ) x12 + m2l 2ϕ 2 + m2l ( x1ϕ + g ) cos ϕ − k ( x1 − l0 ) 2 . Уравнения Лагранжа:
2
2
2
(m1 + m2 ) 
x1 + m2lϕ cos ϕ − m2lϕ 2 sin ϕ + k ( x1 − l0 ) =
0 , ϕ +
g
1
sin ϕ + 
x1 cos ϕ =
0.
l
l
Задача № 11
Система плоская. Точка массой m2 может двигаться только по вертикальной оси y. К ней
пружинкой прикреплён маятник длиной a и массой m1. Характеристики пружинки: жёсткость k
g
φ a
m1
и длина в недеформированном состоянии l0. Составить уравнения Лагранжа II рода. В качестве
обобщённых координат выбрать угол ϕ и декартову координату точки массой m2.
m2
y
6
x
Результат.
l (ϕ , y2 ) =
Функция
a 2 + y22 − 2 y2 a cos ϕ .
m2 
y2 − m2 g + k (l − l0 )
L(ϕ , y2 ,ϕ , y=
2)
Лагранжа
Уравнения
m1 2 2 m2 2
k
a ϕ +
y 2 + m1 ga cos ϕ + m2 gy2 − (l − l0 ) 2 ,
2
2
2
m1aϕ + m1 g sin ϕ + k (l − l0 )
Лагранжа:
где
y2 sin ϕ
0,
=
l
y2 − a cos ϕ
=
0.
l
Задача № 12.1
Точка массы m движется под действием силы с потенциалом U (r ) . Составить функцию Лагранжа, в качестве
обобщённых координат выбрав сферические координаты r, θ и φ. Выписать интеграл движения, соответствующий
циклической координате. Записать уравнения Лагранжа II рода, соответствующие остальным обобщённым координатам.
m 2 2 2 2 2 2
Результат. Функция Лагранжа L(r ,θ ,ϕ , r,θ,ϕ ) =
(r + r θ + r ϕ sin θ ) − U (r ) . Интеграл движения: ϕ r 2 sin 2 θ = const .
2
1 dU
Уравнения Лагранжа, соответствующие координатам r и θ : 
0.
r − rθ 2 − rϕ 2 sin 2 θ +
0 , rθ + 2rθ − rϕ 2 sin θ cosθ =
=
m dr
Задача № 12.2
Точка массы m движется под действием силы с потенциалом U (r ) , где r – расстояние от начала координат до точки.
Составить функцию Лагранжа, в качестве обобщённых координат выбрав цилиндрические координаты ρ, φ и z. Выписать
интеграл движения, соответствующий циклической координате. Записать уравнения Лагранжа II рода, соответствующие
остальным обобщённым координатам.
Результат. Функция Лагранжа L( ρ ,ϕ , z , ρ ,ϕ , z=
)
Уравнения

z+
Лагранжа,
z
m ρ +z
2
2
U′
(
соответствующие
)
ρ 2 + z2 =
0 , где U ′(r ) =
m 2
( ρ + ρ 2ϕ 2 + z 2 ) − U
2
координатам
ρ
и
(
)
ρ 2 + z 2 . Интеграл движения: ρ 2ϕ = const .
z:
ρ − ρϕ 2 +
ρ
m ρ +z
2
2
U′
(
)
ρ 2 + z2 =
0,
d
U (r ) .
dr
Задачи на точное решение уравнения Лагранжа II рода.
z
Задача № 13
g
Колечко массой m может двигаться по стержню, который вращается вокруг
вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω и наклонён под углом α к
m
α
горизонтальной плоскости. Решить уравнение Лагранжа II рода. Начальные условия
считать известными (в начальный момент положить t = 0 ). Решение выразить через
гиперболические синус и косинус.
ωt
x
7
y
Результат. Если в качестве обобщённой координаты выбрать расстояние r от начала координат до колечка, то
функция
Лагранжа
m 2 2 2
L(r , r) =+
(r r ω cos 2 α ) − mgr sin α .
2
Решение
уравнения
Лагранжа

r − rω 2 cos 2 α =
− g sin α ,
=
t 0) ≡ r0 , r(=
t 0) ≡ r0 , есть
r (t ) C1 exp(tω cos α ) + C2 exp(−tω cos α ) + b , где
удовлетворяющее начальным условиям: r (=
C=
1
r0 
r0 
1
1
g sin α
, C=
, b
r0 − b +
r0 − b −
=
> 0 Это решение после подстановки в него C1 и C2 можно
2




ω 2 cos 2 α
2
ω cos α 
2
ω cos α 
также записать в виде r (t ) =
(r0 − b) ch(tω cos α ) +
r0
ω cos α
sh(tω cos α ) + b .
Посмотрим, как будет двигаться колечко в зависимости от начальных условий, то есть в зависимости от r0 и r0 . Всё
написанное ниже следует из анализа полученного закона движения.
Если r0 и r0 таковы, что C1 > 0 , то с течением времени колечко уйдёт по конической спирали вверх на бесконечность.
При этом, если r0 < 0 , то колечко в начале некоторое время по конической спирали опускается вниз, но затем движение вниз
сменяется движением вверх. Если же r0 > 0 , то колечко движется по конической спирали только вверх.
Если r0 и r0 таковы, что C1 < 0 , то с течением времени колечко по конической спирали сваливается в начало
координат. При этом, если r0 > 0 , то колечко в начале некоторое время по конической спирали поднимается вверх, но затем
движение вверх сменяется движением вниз. Если же r0 < 0 , то колечко движется по конической спирали только вниз.
Для случая, когда колечко в начальный момент относительно стержня покоилось ( r0 = 0 ), посмотрим, как будет
двигаться колечко в зависимости от его начального положения r0 . При этом закон движения принимает вид
r (t ) =
(r0 − b) ch(tω cos α ) + b . Если r0 = b , то r (t ) = b , т.е. колечко движется по окружности радиуса b cos α . Если r0 > b , то
колечко по конической спирали уходит вверх на бесконечность. Если r0 < b , то колечко по конической спирали сваливается
в начало координат.
Задача № 14
Точка массой m может двигаться по оси x. К ней прикреплены две
m
пружинки: первая закреплена в точке с x-координатой a1, вторая – в точке с
x-координатой a2. Характеристики пружинок: жёсткости k1 и k2, длины в
a1
a2
x
недеформированном состоянии l01 и l02 соответственно. Решить уравнение
Лагранжа II рода. Начальные условия считать известными (в начальный момент положить t = 0 ). Решение представить в
таком виде, из которого видно, что материальная точка совершает гармонические колебания.
Результат.
b≡
L( x, x=
)
k
mx 2 k1
− ( x − a1 − l01 ) 2 − 2 (a2 − x − l02 ) 2 . Уравнение Лагранжа:
2
2
2
k1 (a1 + l01 ) + k2 (a2 − l02 )
. Его решение, удовлетворяющее начальным условиям:
m
x(t ) =
p + A cos(ωt + γ ) , где p =
b
ω2

x + ω2x =
b , где
x(=
t 0) ≡ x0 ,
k1 + k2
,
m
x (=
t 0) ≡ x0 , есть
x
x −p
x
( x0 − p ) +  0  , cos γ = 0 , sin γ = − 0 . Таким образом, материальная точка
Aω
A
ω 
2
, A=
ω≡
2
совершает гармонические колебания с частотой ω и амплитудой A относительно точки с координатой p .
8
Задача № 15
z
Точка массой m может двигаться по проволочной спирали радиуса a и шага h.
Решить уравнение Лагранжа II рода. Начальные условия считать известными. У
g
изображённой на рисунке спирали z  ϕ (коэффициент пропорциональности
h
найти, глядя на рисунок).
Результат. L(ϕ ,ϕ ) =
m 2
h
. Решение уравнения
(a + b 2 )ϕ 2 − mgbϕ , где b =
2
2π
y
a
0 , удовлетворяющее начальным условиям: ϕ (=
t 0) ≡ ϕ0 ,
Лагранжа (a 2 + b 2 )ϕ + gb =
φ
x
gb
t 2 + ϕ0t + ϕ0 .
2(a + b 2 )
ϕ (=
t 0) ≡ ϕ0 , есть ϕ (t ) =
−
2
Задача № 16
Стержень, расположенный в горизонтальной плоскости, вращается вокруг одного из
z
своих концов с постоянной угловой скоростью Ω. По стрежню может двигаться колечко
массой m, соединённое с началом стержня пружинкой жёсткости k и длиной в
y
недеформированном состоянии l0. Решить уравнение Лагранжа II рода. Начальные условия
считать известными (в начальный момент положить t = 0 ). Примечание: обратите внимание,
x
Ωt
m
k
что уравнение Лагранжа имеет различные решения в зависимости от знака выражения
− Ω2 ;
m
для случая Ω < k m решение представить в таком виде, из которого видно, что относительно стержня колечко совершает
гармонические колебания; для случая Ω > k m решение выразить через гиперболические синус и косинус.
Результат. В качестве обобщённой координаты естественно взять расстояние от начала координат до колечка r . Тогда
функция Лагранжа L(r ,=
r)
выражения
m 2
k
k
k

(r + r 2 Ω 2 ) − (r − l0 ) 2 . Решение уравнения Лагранжа 
r +  − Ω 2  r = l0 зависит от знака
2
2
m
m

k
k
t 0) ≡ r0 ,
− Ω 2 . Если
− Ω 2 > 0 (т.е. Ω < k m ), то решение, удовлетворяющее начальным условиям: r (=
m
m
r(=
t 0) ≡ r0 , есть r (t ) =
a + A cos(ωt + γ ) , где a =
kl0
,=
ω
mω 2
k
− Ω2 , A =
m
( r0 − a )
r
r −a
 r 
, sin γ = − 0 .
+  0  , cos γ = 0
A
ω
A
ω 
2
2
Таким образом, при Ω < k m колечко по отношению к стержню совершает гармонические колебания с частотой ω и
амплитудой A относительно точки стержня с обобщённой координатой, равной a .
Если
k
t 0) ≡ r0 , r(=
t 0) ≡ r0 , есть
− Ω 2 < 0 (т.е. Ω > k m ), то решение, удовлетворяющее начальным условиям: r (=
m
=
r (t ) C1 exp( µ t ) + C2 exp(− µ t ) − b , где C=
1
r0 
r0 
kl0
1
1
(b > 0) , µ =
 r0 + b +  , C=
 r0 + b −=
, b
2
2
µ
2
µ
mµ 2
после подстановки в него C1 и C2 можно также записать в виде r (t ) =
(r0 + b) ch( µ t ) +
r0
µ
Ω2 −
sh( µ t ) − b . Посмотрим для этого
случая, как будет двигаться колечко в зависимости от начальных условий, то есть в зависимости от r0 и r0 .
9
k
. Это решение
m
Если r0 и r0 таковы, что C1 > 0 , то с течением времени колечко уйдёт по стержню на бесконечность, описывая в
плоскости спираль. При этом, если r0 < 0 , то первое время колечко по стержню будет двигаться к началу координат, затем,
остановившись (относительно стержня), будет двигаться по стержню, удаляясь от начала координат. Если же r0 > 0 , то
колечко сразу начнёт удаляться по стержню на бесконечность. Если в начальный момент колечко относительно стержня
покоилось ( r0 = 0 ), то независимо от начального положения r0 оно будет отброшено по стержню на бесконечность.
Если r0 и r0 таковы, что C1 < 0 (это возможно, только если r0 < 0 ), то колечко будет двигаться по стержню в сторону
начала координат и достигнет его.
Следует отметить, что в нашей модели пружинка является идеальной, т.е. сила, созданная пружинкой, пропорциональна
изменению её длины, даже если пружинка растянута или сжата очень сильно. На самом деле, эта пропорциональность имеет
место при не очень больших изменениях длины пружинки. Очевидно, что реальная пружинка не позволит себя растянуть до
бесконечной длины, и колечко не будет отброшено на бесконечность, а также пружинка не даст себя сжать до нулевой
длины, и колечко не сможет оказаться в начале координат.
Задачи на малые колебания системы с одной степенью свободы.
Задача № 17.1
Решить задачу о малых колебаниях плоского маятника – материальной точки массой m,
g
которая соединена с точкой подвеса невесомым стержнем длиной l и движется в вертикальной
φ
l
плоскости. В качестве обобщённой координаты выбрать угол ϕ .
x
m
y
Результат. ϕ (t ) =+
ϕ1(0) A cos(ωt + γ ) , где ϕ1(0) = 0 , ω =
g
. Точка равновесия ϕ 2(0) = π неустойчива.
l
Задача № 17.2
Система представляет собой плоский маятник – материальная точка массой m,
которая соединена с точкой подвеса невесомым стержнем длиной l и движется в
φ
вертикальной плоскости. Материальная точка заряжена электрическим зарядом q
(произвольного
знака).
В
плоскости
маятника
действует
горизонтальное
l
x
m, q
электрическое поле с напряжённостью E ≡ | E | . Решить задачу о малых колебаниях.
E
g
y
В качестве обобщённой координаты выбрать угол ϕ .
 qE 
Результат. ϕ (t ) =+
, ω
ϕ1(0) A cos(ωt + γ ) , где ϕ1(0) = arctg 
=
 mg 
2
 qE 
g
(0)
1+ 
ϕ1(0) + π
2
 . Точка равновесия ϕ=
l
mg


(0)
неустойчива (если в ходе решения получилось, что ϕ=
ϕ1(0) − π , то это тоже правильно, так как эти два значения угловой
2
переменной отличаются на 2π и, следовательно, соответствуют одному и тому же положению).
10
Задача № 18
Точка массой m может двигаться по горизонтальной оси x. К ней прикреплена пружинка
g
жёсткостью k и длиной в недеформированном состоянии l0, конец которой закреплён на
h
высоте h. Решить задачу о малых колебаниях точки, в качестве обобщённой координаты
выбрав декартову координату x.
Результат.
l0 < h ,
Если
0
то
x(t ) =
x1(0) + A1 cos(ω1t + γ 1 ) ,
где
x1(0) = 0 , =
ω1
k  l0 
1 −  .
m h 
Если
x
m
l0 > h ,
то
k  h2 
1 −  .
m  l02 
(0)
(0)
ω=
+ A2,3 cos(ω2,3t + γ 2,3 ) , где x2,3
=
± l02 − h 2 , ω=
x(t ) =
x2,3
2
3
Итак, если l0 < h , то имеется одна устойчивая точка равновесия x1(0) . Она устойчива, потому что пружинка в точке
равновесия растянута. Если l0 > h , то точка равновесия x1(0) неустойчива, потому что пружинка в этой точке равновесия
(0)
, расположенные симметрично относительно
сжата. Но в этом случае имеются две другие устойчивые точки равновесия x2,3
начала оси x. В этих точках равновесия пружинка недеформированна.
Задача № 19
Точка массой m может двигаться по кривой y = x 2 n+1 ( n = 1, 2, ) под действием силы тяжести. Система координат xy
повёрнута на угол α < π / 2 по часовой стрелке (т.е. угол между осью y и вертикалью равен α). Решить задачу о малых
колебаниях точки. Все положения равновесия отметить на рисунке.
1
Результат. x(t ) =
x + A cos(ωt + γ ) , где x
(0)
1
(0)
1
1
 tgα  2 n
2
,
=
ω
(2
ng
)
(2n + 1) 4 n (cos α )
=

 2n + 1 
1
4 n +1
4n
(sin α )
2 n −1
4n
. Точка равновесия
1
(0)
2
x
 tgα  2 n
= −
 неустойчива.
 2n + 1 
Задача № 20
Между двумя неподвижными одинаковыми зарядами q, расстояние между
a
которыми равно a, по прямой, соединяющей их, может двигаться точка массой m,
q
несущая такой же заряд q. Решить задачу о малых колебаниях точки.
q, m
q
Результат. Направим ось x так, чтобы все заряды находились на ней, координата одного неподвижного заряда пусть
будет равна 0, а второго a. В качестве обобщённой координаты подвижного заряда естественно взять его координату x.
x (0) + A cos(ωt + γ ) , где x (0) =
Тогда закон его малых колебаний таков: x(t ) =
11
32q 2
a
, ω=
.
ma 3
2