Дивизоры, дифференциальные формы и вычеты

4. Дивизоры, дифференциальные формы, вычеты
В этой лекции слова «риманова поверхность» означают «связная риманова поверхность».
4.1. Дивизоры
В классическом комплексном анализе известна следующая «задача
Миттаг{Леффлера»: на плоскости задано дискретное множество точек,
а в каждой точке зафиксирована главная часть ряда Лорана, соответствующая полюсу (т. е. с конечным числом слагаемых); существует ли
мероморфная функция, имеющая полюса ровно в этих точках и ровно
с этими главными частями?1
Зададимся тем же вопросом, но не на плоскости, а на компактной
римановой поверхности.
Надо, конечно, определить, что такое в этом случае главная часть.
Попросту говоря, главная часть в точке a римановой поверхности X |
это нечто, записываемое
в локальных координатах в окрестности точP
ки a в виде nj=1 cj =(z − a)j ; для дальнейшего, однако, нам понадобится
и более формальное определение.
| риманова поверхность и a ∈ X . Ростком голоморфной функции в точке a ∈ C будем называть класс эквивалентности пар (U; f ), где U 3 a | окрестность и f : U → C | голоморфная функция, относительно следующего отношения эквивалентности: (U1 ; f1 ) ∼ (U2 ; f2 ), если существует такая окрестность V 3 a, что
V ⊂ U1 ∩ U2 и ограничения функций f1 и f2 на V совпадают; множество
всех ростков голоморфных функций в точке a обозначается Oa .
Росток функции f в точке a будем иногда обозначать fa .
Определение 4.1.
Пусть
X
Совершенно аналогично определяются, скажем, ростки мероморфных функций в данной точке римановой поверхности, или ростки гладких функций на гладком многообразии, или ростки непрерывных функций на топологическом пространстве и т. п. Возвращаясь к римановым
поверхностям, отметим, что если зафиксирована локальная координата
z , то Oa находится в естественном взаимно
однозначном соответствии
P
n
с множеством степенных рядов вида ∞
c
n
n=0 (z − a) , имеющих положительный радиус сходимости.
1
Как известно, ответ на этот вопрос положительный.
1
Определение 4.2. Пусть X | риманова поверхность и a ∈ X . Если
Oa | множество ростков голоморфных функций в точке a ∈ X , а Ma |
множество ростков мероморфных функций в той же точке, то главной
частью в точке a называется элемент факторпространства Ma =Oa (Oa
и Ma рассматриваются здесь исключительно как векторные пространства над C). Если f | мероморфная функция на X , то ее главной частью в точке a ∈ X называется класс ее ростка fa ∈ Ma в факторпространстве Ma =Oa .
Задача Миттаг-Леффлера на римановой поверхности X формулируется так: дана риманова поверхность X , дискретное подмножество S ⊂
X , и для каждой точки a ∈ S дана главная часть fa ∈ Ma =Oa ; спрашивается, существует ли на X мероморфная функция, имеющая в каждой
точке a ∈ S главную часть fa и не имеющая полюсов вне S . Нас сейчас
будет интересовать эта задача на компактной римановой поверхности,
так что множество S следует считать конечным.
В случае сферы Римана ничего интересного еще не происходит: вся— имеет решение. В самом деле, ясно,
кая задача Миттаг-Леффлера на C
— в конечной точке является рациональной функчто главная часть на C
цией с единственным полюсом в a, а главная часть в бесконечности |
многочлен; сложив все данные рациональные функции (плюс многочлен,
если дана еще и главная часть в бесконечности), мы получим рацио— , дающую решение
нальную функцию, т. е. мероморфную функцию на C
задачи Миттаг-Леффлера.
Если род римановой поверхности X больше нуля, то задача становится нетривиальной. Например, если исходные данные предписывают
искомой мероморфной функции иметь ровно один полюс, притом кратности 1, то решения заведомо нет: поскольку такая мероморфная функ— , должна
ция, рассматриваемая как голоморфное отображение из X в C
—
иметь в прообразе точки ∞ ∈ C ровно одну точку и при этом быть в
— имеет степень 1 и
этой точке неразветвленной, отображение f : X → C
тем самым является изоморфизмом | противоречие.
Поэтому естественно задаться вопросом, каковы условия разрешимости задачи Миттаг{Леффлера на компактной римановой поверхности. Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает глубокий и важный
результат, называемый теоремой Римана|Роха; ближайшие несколько
лекций будут посвящены ее доказательству и изучению ее следствий.
Сначала, однако, мы немного изменим постановку вопроса. Оказывается, что начинать удобнее с вопроса не о существовании функции с
заданными главными частями, а о том, много ли существует функций
2
с полюсами данного порядка в данных точках. Для изучения этого вопроса, в свою очередь, удобно развить некоторый формализм.
на компактной римановой поверхности X называется формальное выражение D = m1 a1 + : : : + mn an , где
aj ∈ X и mj | целые числа (n произвольно).
P
Можно также записать дивизор в виде D = x∈X mx x, где все mx |
целые числа и mx = 0 для всех x, кроме, быть может, конечного числа.
Сумма и разность
двух дивизоров определяется очевидным образом.
P
Дивизор D = x∈X mx x, для которого все nx равны нулю, называется
нулевым дивизором и обозначается 0.
Определение 4.3. Дивизором
Пусть f | мероморфная функция на компактной
римановой
поверхности X ; тогда через (f ) обозначается дивизор виP
да a∈X orda (f ) · a. Дивизоры, равные (f ) для некоторой мероморфной
функции f , называются главными.2
Обозначение 4.4.
Определение 4.5. Степенью
вается число
m1 + : : : + mn .
дивизора
D = m1 a1 + : : : + mn an
назы-
Предложение 4.6. Степень всякого главного дивизора равна нулю.
Пусть f | мероморфная функция на компактной
римановой поверхности X . Если f | константа, то (f ) = 0 и доказывать нечего; в противном случае будем рассматривать f как голо— ; обозначим его степень через d. Пусть
морфное отображение f : X → C
a1 ; : : : ; am | нули функции f , а b1 ; : : : ; bn | ее полюсы. Ясно, что ordaj f
— в точке aj (для всяравен индексу ветвления отображения f : X → C
кого j ), а ordbk f равен индексу ветвления отображения
f : X → C— в
Pm
точке
bk , взятому с обратным знаком.PПоэтому j =1
aj f = d, а
Pord
Pn
n
m
k=1 ordbk f = −d. Так как deg(f ) = j =1 ordaj f + k=1 ordbk f , все
доказано.
Доказательство.
Определение 4.7. Дивизоры D1 и D2 на компактной римановой поверхности называются линейно эквивалентными (или просто эквивалентными ), если дивизор D1 − D2 главный.
Классы дивизоров относительно линейной эквивалентности называются просто классами дивизоров.
2
На самом деле главные дивизоры | наименее интересные, но такая терминология
общепринята (она происходит из аналогии главных дивизоров с главными идеалами
в кольцах).
3
Следствие 4.8. Степени линейно эквивалентных дивизоров равны.
mx x и D2 = nx x | дивизоры
на X . Говорят, что D1 мажорирует D2 , если mx > nx для всех x.
Определение 4.9.
Пусть
D1
=
P
Дивизор D = m1 a1 + : : : + mn an
mj > 0 для всех j (т. е. если D > 0).
Определение 4.10.
фективным
, если
P
называется
эф-
Для дальнейшего примем следующее соглашение: если функция f
тождественно равна нулю, то orda f = +∞ для всякой точки a (иными
словами, функция, тождественно равная нулю, имеет в каждой точке
«нуль бесконечного порядка»).
Пусть D | дивизор на компактной римановой
поверхности X . Тогда обозначим через L(D) векторное пространство
мероморфных функций f , для которых (f ) + D > 0. Размерность этого
векторного пространства будем обозначать l(D) (вскоре мы увидим,
что она всегда конечна).
Обозначение 4.11.
L(D) действительно является векторным пространством, поскольку
orda (f + g ) > min(orda (f ); orda (g )) | при сложении какие-то члены ряда
Лорана могут, самое худшее, сократиться, за счет чего порядок нуля
увеличится, а порядок полюса уменьшится. Заметим также, что 0 ∈
L(D) именно в силу нашего соглашения.
В наиболее важном для приложений случае, когда D = m1 a1 + : : : +
mn an эффективен, пространство L(D) состоит из мероморфных функций, не имеющих полюсов вне a1 ; : : : ; an , а в каждой aj имеющих полюс
порядка 6 aj .
D | дивизор на компактной римановой поверхности, то пространство L(D )конечномерно.
Предложение 4.12. Если
Ясно, что если D1 6 D2 , то L(D1 ) ⊂ L(D2 ); так как
при этом всякий дивизор, очевидно, мажорируется эффективным, достаточно рассмотреть случай, когда D = m1 a1 + : : : + mn an > 0. Чтобы
установить конечномерность L(D) в этом случае, выберем локальную
координату в каждой из точек aj и рассмотрим линейное отображение
' : L(D) → Cm1 +:::+mn , ставящее в соответствие мероморфной функции
f ∈ L(D) совокупность коэффициентов при отрицательных степенях
переменной в ее рядах Лорана во всех точках a1 ; : : : ; an . Ядро отображения ' состоит из мероморфных функций, не имеющих полюсов, то
есть голоморфных функций на X , то есть констант; значит, оно одномерно. Поэтому dim L(D) 6 1 + m1 + : : : + mn < ∞:
Доказательство.
4
(из доказательства).
Если
4.14. Если дивизоры
D1
Следствие 4.13
зор, то
l(D) 6 deg D + 1.
Предложение
l(D1 ) = l(D2 ).
Доказательство.
то отображение
f
D
и
| эффективный диви-
D2
эквивалентны,
то
Если D2 = (h) + D1 , где h | мероморфная функция,
7 fh является изоморфизмом L(D2 ) на L(D1 ).
→
Вот еще одно простое, но полезное замечание.
D | дивизор на компактной римановой по< 0, то l(D) = 0
Предложение 4.15. Если
верхности и
deg D
Рассуждая от противного, пусть мероморфная функция f ∈ L(D) не является тождественным нулем. Тогда (f ) + D > 0, откуда deg((f ) + D) > 0; так как deg(f ) = 0, получаем, что и deg D > 0 |
противоречие.
Доказательство.
4.2. Дифференциальные формы и вычеты
Голоморфные дифференциальные формы на комплексных многообразиях определяются так же, как дифференциальные формы на гладких
многообразиях, с заменой в определениях гладких функций на голоморфные. В частности, голоморфные формы на римановой поверхности
определяются следующим образом.
Определение 4.16. Пусть X | риманова поверхность, и пусть X =
S
U | покрытие X координатными окрестностями с локальными координатами z : U → C. Тогда голоморфной формой на X называется
набор выражений f dz для каждого , где f : U → C | голоморфные
функции, удовлетворяющих следующему условию: на U ∩ U имеем
f dz = f dz ;
то есть f = f
dz
:
dz
(4.1)
Мероморфные формы определяются аналогично, с тем изменением, что
f предполагаются не голоморфными, а мероморфными функциями
на U .
Здесь выражение dz =dz следует понимать как производную функции z ◦ (z )−1 по z . Аналогичным способом можно было бы определить
функции на X : как набор функций f : U → C, удовлетворяющих условию, что на U ∩ U имеем f = f .
5
Сейчас мы определим две основные операции с мероморфными формами. Первая из них | взятие дифференциала.
Определение 4.17. Пусть f | мероморфная функция на римановой поверхности X . Тогда ее дифференциалом называется мероморфS
ная форма df , определенная следующим образом. Если X =
U |
покрытие X координатными окрестностями с локальными координатами z : U → C, то на координатной окрестности U имеем df =
(df=dz )dz .
Определение 4.16 корректно, поскольку для локальных представлений df соотношения (4.1) выполняются ввиду правила дифференцирования сложной функции:
@f
@z
=
@f @z
:
@z @z
Вторая основная операция | умножение формы на функцию.
Определение 4.18. Пусть ! | мероморфная форма на римановой
поверхности
X и g | мероморфная функция на X . Тогда, если X =
S
U | покрытие координатными окрестностями с локальными координатами z : U → C и ! на U равна f dz , то произведение ! на g
называется мероморфная форма, которая на U записывается в виде
gf dz .
Выполнение соотношений (4.1) очевидно: надо обе части умножить
на g .
Предложение 4.19. Пусть
!
вой поверхности
не является тождественным нулем, то
X;
если
и
| мероморфные формы на римано-
существует такая мероморфная функция
h, что ! = h.
S
Пусть X =
U | покрытие координатными
окрестностями с локальными координатами z : U → C, и пусть на U
форма ! равна f dz , а форма равна g dz ; так как на U ∩ U имеем
f = f ·(dz =dz ), g = g ·(dz =dz ), то f =g = f =g , и функции f =g
склеиваются в одну мероморфную функцию h; ясно, что ! = h .
Доказательство.
Для мероморфных форм, как и для мероморфных функций, корректно определены понятия нуля, полюса и порядка в точке.
6
Пусть ! | мероморфная форма на
римановой поверхности X , и пусть a ∈ X . Если в координатной окрестности U 3 a с локальной координатой z форма ! записывается в виде
f dz , то число orda f не зависит от выбора координатной окрестности
и локальных координат в окрестности точки a; это число называется
порядком формы ! в точке a и обозначается orda ! .
Если orda ! = m > 0, говорят, что ! имеет нуль порядка m в точке a.
Если orda ! = −m < 0, говорят, что ! имеет полюс порядка m в точке a.
Предложение-определение 4.20.
Чтобы проверить независимость orda ! от выбора
локальных координат, предположим, что z | другая локальная координата в окрестности a и ! записывается в этой координате в виде
f dz , то f = f · (dz =dz ); поскольку функция dz =dz , будучи производной голоморфного автоморфизма, не имеет ни нулей, ни полюсов,
имеем orda (f ) = orda (f ).
Доказательство.
Из принципа аналитического продолжения ясно, что если мероморфная форма ! на связной римановой поверхности X не является тождественным нулем, то множество нулей и полюсов формы ! дискретно; в
частности, если X компактна, то множество нулей и полюсов конечно.
Пусть X | компактная риманова поверхность, соответствующая уравнению
Пример 4.21.
w2 = (z − a1 )(z − a2 )(z − a3 )(z − a4 );
— обозначим отображение,
где числа a1 ; : : : ; a4 различны. Через : X → C
соответствующее мезоморфной функции z .
Найдем нули и полюсы формы dz . Над C\{a1 ; : : : ; a4 } отображение является неразветвленным накрытием и тем самым в окрестности любой точки из −1 (C \ {a1 ; : : : ; a4 }) функцию z можно взять в качестве
локальной координаты. Поэтому на этом множестве dz нулей не имеет
(и полюсов тем более не имеет, так как функция z на этом множестве
голоморфна). В окрестности каждой из точек aj в качестве локальной координаты можно выбрать функцию u, для которой u2 = z − aj ;
следовательно, z = u2 + aj , dz = 2udu и форма dz имеет в этой точке
нуль порядка 1. Рассмотрим, наконец, −1 (∞); ясно, что это множество
состоит из двух точек (обозначим их ∞1 и ∞2 ), так что в качестве локальной координаты в окрестности каждой из этих точек можно взять
t = 1=z ; так как z = 1=t, то dz = −dt=t2 форма dz в каждой из этих
точек имеет полюс порядка 2.
7
Посмотрим еще на форму dz=w. В каждой из aj функция w имеет нуль первого порядка.
p В окрестности точек ∞1 и ∞2 имеем w =
±z 2 (1=z ), где (t) = (1 − a1 t)(1 − a2 t)(1 − a3 t)(1 − a4 t), | какая-то
фиксированная ветвь корня в окрестности нуля. Поэтому w имеет полюсы порядка 2 в точках ∞1 и ∞2 . Следовательно, dz=w | голоморфная
форма, не имеющая ни нулей, ни полюсов.
Если ! | мероморфная форма на компактной
P римановой поверхности X , тот через (! ) обозначается дивизор
a∈X orda ! · a. Всякий дивизор вида (! ) называется каноническим дивизором.
Определение
4.22.
Всякие два канонических дивизора
эквивалентны. Класс эквивалентности дивизоров, содержащий канонические дивизоры, называется каноническим классом.
Предложение-определение 4.23.
Если ! и | мероморфные формы, то по предложению 4.19 существует мероморфная функция h, для которой ! = h .
Следовательно, (! ) = (h) + ( ), так что (! ) ∼ ( ).
Доказательство.
На самом деле канонический класс ничего, кроме дивизоров мероморфных форм, не содержит: если D = (! ) и D0 = (f ) + D ∼ D, то
D0 = (f!), где f! | тоже мероморфная форма.
Поскольку степень дивизора зависит только от его класса
(следствие4.8), имеет смысл говорить о степени класса дивизоров. В
частности, естественно полюбопытствовать, какова степень канонического класса.
Предложение 4.24. На компактной римановой поверхности рода
степень канонического класса равна
2g − 2.
g
Мы дадим два доказательства этого важного факта: в первом будет
больше алгебры, во втором | больше топологии.
Достаточно
посчитать deg(! ) для какой-нибудь одной мероморфной формы ! ; выберем в
качестве таковой форму df , где f | непостоянная мероморфная функция на X | она найдется, например, ввиду теоремы существования
Римана. Будем рассматривать f как голоморфное отображение из X
— . Обозначим степень отображения f через n. Пусть p1 ; : : : ; pr | точвC
ки ветвления функции f , не являющиеся полюсами; индекс ветвления f
в точке qj обозначим ej .
Первое доказательство предложения 4.24.
8
Если f имеет индекс ветвления e в точке p, для которой f (p) = b 6=
∞, то ordp (df ) = e − 1. В самом деле, пусть t | локальная координата в
точке p, для которой t(p) = 0. Тогда в этих координатах имеем f (t) =
b + cp tp + cp+1 tp+1 + : : :, где cp 6= 0, так что производная f имеет в
этой точке нуль порядка e − 1. (В частности, если f неразветвлена в
точке p ∈ f −1 (C), то df не имеет в этой точке ни нуля, ни полюса).
Осталось рассмотреть точки p ∈ f −1 (∞), то есть полюсы функции f .
Обозначим эти точки через q1 ; : : : ; qm , и пусть fj | порядок полюса в
точке qj , совпадающий, очевидно, с индексом ветвления.
Ясно, что df
P
имеет полюс порядка fj + 1 в точке qj . Поскольку
fj = deg f = n,
можно подсчитать deg(df ) следующим образом:
deg(df ) =
X
(ej − 1) −
X
(fj + 1) =
X
X
(ej − 1) +
(fj − 1) − 2
fj =
X
X
=
(ej − 1) +
(fj − 1) − 2n:
X
С другой стороны, по формуле Римана|Гурвица имеем
X
X
2n − ( (ej − 1) +
(fj − 1)) = 2 − 2g:
Следовательно, deg(! ) = 2g − 2, как и утверждалось.
Второе доказательство более «геометрично». Для него нам придется
вспомнить что такое индекс особой точки векторного поля.
Зафиксируем на плоскости R2 какую-нибудь ориентацию; Пусть
U ⊂ R2 | открытое подмножество, p ∈ U и v | векторное поле без
нулей на U \ {p}. Тогда индекс точки p относительно векторного поля v определяется следующим образом. Пусть ⊂ p | окружность с
центром в точке p; снабдим ориентацией, индуцированной с R2 .3 , и
аналогичным образом ориентируем единичную окружность с центром
в начале координат (обозначим ее S 1 ). Тогда индекс p относительно v
определяется как степень отображения f → S 1 , переводящего z ∈ в
v(z )=|v(z )|. Вот основной интересующий нас пример.
R3 с C, на котором выбрана естествен⊂ C | открытое подмножество, p ∈ U и
Лемма 4.25. Отождествим
U
' : U \ {p} → C | голоморфная функция, имеющая в p устранимую особенность или полюс. Если обозначит через v векторное поле на U \{p},
ная ориентация. Пусть
3
Это ориентация определяется следующим образом: для всякой точки
состоящая из положительно ориентированного касательного вектора к
вектора
zp
z∈
(в указанном порядке) должна быть положительно ориентирована.
9
пара,
в точке
z
и
в котором от каждой точки
ки
p относительно v
равен
z отложен вектор '(z ), то индекс точ-
ordp '.
Пусть ordp ' = n. Тогда ' = (z − a)n '1 , где '1 голоморфна и не имеет нулей в окрестности a. Если радиус окружности ,
участвующей в определении индекса, равен r, то индекс точки a относительно v равен степени отображения
Доказательство.
f : a + reit 7→ eint ·
'(a + reit )
:
|'(a + reit )|
Отображение a + reit 7→ eint имеет степень n, а отображение a + reit 7→
'(a + reit )=|'(a + reit )| гомотопно отображению в точку, так как оно
продолжается на внутренность . Следовательно, deg f = n.
Если ' : U → U 0 | сохраняющий ориентацию диффеоморфизм,
'(p) = p0 и v0 | векторное поле на U 0 , в которое ' переводит поле v,
то индекс p относительно v равен индексу p0 относительно v 0 . Поэтому
индекс точки p относительно векторного поля v корректно определен
и в случае, когда X | ориентированная поверхность, U ⊂ X | открытое подмножество, p ∈ U и v | векторное поле без нулей на U \ p.
Будем обозначать этот индекс через indv (p). Теперь сформулируем без
доказательства топологический факт, которым мы будем пользоваться.
S⊂
X | конечноеPподмножество и v | векторное поле без нулей на X \ S .
Тогда сумма
p∈S indv (p) равна эйлеровой характеристике поверхности X .
Предложение 4.26. Пусть
X
| ориентированная поверхность,
Пусть ! | мероморфная
форма
на X , и пусть S | множество ее нулей и полюсов. Если X =
S
U | покрытие координатными окрестностями с локальными координатами z : U → V ⊂ C, то пусть ! |U записывается в виде f dz .
Мы утверждаем, что набор функций 1=f задает векторное поле без
нулей на X \ S .
В самом деле, на каждом V \ S (аккуратнее говоря, V \ z (S ∩ U ))
рассмотрим векторное поле, определенное следующим образом: от точки t отложен вектор 1=f (t); перенося его с помощью диффеоморфизма
z−1 на U , получим векторное поле на U \ S | обозначим его v . Однако же на U ∩ U векторные поля v и v совпадают: это вытекает из
равенства 1=f = (1=f )(dz =dz ), которое, в свою очередь, вытекает
из равенства f = f · (dz =dz ).
Второе доказательство предложения 4.24.
10
Обозначим полученное векторное поле через v . В силу леммы 4.25,
для всякой точки p ∈ S индекс p относительно v равен − ordp ! . По
предложению 4.26 имеем теперь
X
2 − 2g =
(− ordp ! ) = − deg(! );
p∈ S
откуда deg(! ) = 2g − 2.
Голоморфные формы можно
интегрировать по кусочно-гладким пуS
тям. Именно, пусть X = U | покрытие координатными окрестностями с локальными координатами z , и пусть ! | голоморфная форма,
записывающаяся на U в виде f dz . Если путь : [p; q ] → X целиком
лежит в каком-то U , то мы полагаем
Z
∈ ! =
(f ◦ z−1 )dz ;
z ◦
Если при этом
лежит в U ∩ U , то
Z
Z
−1
(f ◦ z )dz =
(f ◦ z−1 )dz
z ◦
z ◦
ввиду соотношения f = f · (dz =dz ) и формулы замены переменной,
так что наше определение корректно.
В случае, когда целиком в одну координатную окрестность не
помещается, следует разбить на участки, лежащие в координатных
окрестностях, и просуммировать интегралы по этим участкам.4
Пусть ! | мероморфная форма на
римановой поверхности X ; пусть p ∈ X , и пусть | положительно ориентированная простая замкнутая кривая, однократно обходящая точку p и не содержащая в своей внутренности полюсов формы ! , отличных
от p.5 Пусть также U 3 p | координатная окрестность и z : U → C |
локальная координата, для которой z (p) = 0; предположим, что в U
имеем ! = f (z )dz . Тогда следующие два числа совпадают:
Предложение-определение 4.27.
4
Мы всего лишь повторили, применительно к нашему частному случаю, опреде-
ление интеграла 1-формы по пути.
5
Более аккуратное определение выглядит так. Пусть
окрестность и
вая
z: U → C
U ∈ p
должна обладать тем свойством, что
z◦
| положительно ориентированная
простая замкнутая кривая, содержащая в своей внутренности
образов полюсов
!,
| координатная
| соответствующая локальная координата. Тогда кри-
отличных от
p.
11
z (p)
и не содержащая
R
(1) 21i ! ;
(2) коэффициент при z −1 в лорановском разложении f в проколотой
окрестности нуля.
Число, определенное условием (1) или (2), называется вычетом формы ! в точке p и обозначается Resp (! ).
Эквивалентность двух вышеприведенных определений вычета хорошо известна из курса комплексного анализа.
Вот основное свойство вычетов.
Предложение 4.28
(теорема о вычетах).
Сумма вычетов во всех
полюсах мероморфной формы на компактной римановой поверхности
равна нулю.
Это немедленно следует из теоремы Стокса, примененной к поверхности с краем, получаемой удалением малых дисков,
содержащих полюсы. Для наглядности развернем это рассуждение.
Пусть ! | мероморфная форма на римановой поверхности X . Триангулируем X таким образом, чтобы все полюсы формы ! были вершинами триангуляции, а каждый замкнутый 2-симплекс целиком содержался в какой-нибудь координатной окрестности.
Теперь окружим каждый полюс диском с гладкой границей (не содержащим других полюсов) и удалим внутренности всех этих дисков
из X ; получающаяся в итоге поверхность с краем X 0 тем самым оказывается разбита на треугольники и четырехугольники (рис. 1).
Снабдим границу каждого треугольника и четырехугольника ориентацией, индуцированной с ориентации X . Интеграл ! по каждой из
этих границ равен нулю по теореме Коши; если просуммировать все эти
равные нулю интегралы, то интегралы по «внутренним» участкам границ сократятся, а интегралы по участкам границ дисков, окружающих
полюсы, сложатся в сумму интегралов по границам этих дисков; стало
быть, эта сумма равна нулю, а она лишь множителем 2i отличается от
суммы вычетов.
Доказательство.
12
p
А. 1. К доказательству теоремы о вычетах. В точке p у формы ! полюс.
13