Образец 3

УДК 517.927
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО
ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ
Шаталова Н.А., Покорная И.Ю.
Рассмотрим сингулярно возмущенную задачу.
 dx
 a (t ) x  f (t )

 dt

 x (0)  b  k
где
(1)
( 2)
 >0 – малый положительный параметр, t  [0,1] , t   . В
этой точке коэффициенты уравнения могут быть разрывными
функциями.
При t   уравнение

dx
 a (t ) x  f (t ) стандартно, то
dt
есть мы имеем фактически два уравнения: одно слева от точки
 , другое справа от точки  .
Под решением уравнения (1) в целом на отрезке [0,1] мы
будем
понимать
функцию
x (t )
,
удовлетворяющую
уравнению (1), как слева, так и справа от точки  , и
непрерывную в точке t   . При такой постановке вопрос о
существовании производной функции x (t ) в точке t  
снимается.
Сначала решение задачи (1), (2) будем строить на отрезке
[0,  ], а затем продолжим его по непрерывности на весь
отрезок. Решение будем искать в виде асимптотического ряда
x (t )  x(t ,  )  ( ,  ) при t  [0,  ] ,  
t

(3)
x(t ,  )  x0 (t )   x1 (t )   2 x2 (t )  ...
( ,  )   0 ( )   1 ( )   2  2 ( )  ...
Подставим выражение (3) в уравнение (1) для того, чтобы
найти члены разложения ряда (3).
d
[ x0 (t )   x1 (t )   2 x2 (t )  ...   0 ( )   1 ( ) 
dt
  2  2 ( )  ...]  a(t )[ x0 (t )   x1 (t )   2 x2 (t )  ...   0 ( ) 
  1 ( )   2  2 ( )  ...]  f (t ).

Функция П(τ,ε) существенно отличается от нуля лишь в малой
окрестности точки t=0 и называется погран-слойной функцией,
поэтому следует рассматривать разложение функции a(t) по
степеням ε·τ в окрестности этой точки в ряд Тейлора:
a(t )  a(0) 
at' (0)
a '' (0)
(   )  t
(   ) 2  ...,
1!
2!
t
. Приравнивая затем

коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях  отдельно
по  и t из левой и правой частей получим соответствующие
условия для нахождения членов разложения формального
асимтотического ряда.
учитывая
при
этом,
что

Явление, заключающееся в том, что при наличии
сингулярного возмущения могут возникать зоны, в которых
решение исходной (возмущенной) системы значительно
отличается от решения вырожденной системы при сколь угодно
малых  , получило название явление пограничного слоя. Сами
эти зоны называются пограничным слоем. Поведение решения
сингулярно возмущенной системы в пограничном слое
описывается экспоненциально затухающими функциями для
весьма широкого класса случаев.
Оказывается, что
особенностями асимптотического
представления решения исходной сингулярно возмущенной
краевой задачи с разрывными коэффициентами является
наличие двух пограничных слоев. Один из них находится в
окрестности точки
t  0 , второй в окрестности точки разрыва
- в точке t   .
Шаталова Наталия Андреевна, магистрант 2 курса отделения
МО.
Покорная Илана Юльевна, кандидат физико-математических
наук, доцент кафедры высшей математики.