Серия 38. Первая, напечатанная из

Ñåðèÿ 38. Ïåðâàÿ, íàïå÷àòàííàÿ èç-ïîä Ëèíóêñà.
1. Íà ñòîðîíå CD êâàäðàòà ABCD ïîñòðîåí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê CDN , âåðøèíà N êîòîðîãî ëåæèò âíå êâàäðàòà, à
íà äèàãîíàëè AC ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ACM , âíóòðè êîòîðîãî ëåæèò òî÷êà D. Äîêàæèòå, ÷òî BN ||AM .
2. Äâå âûñîòû òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå ñòîðîí, íà êîòîðûå îíè îïóùåíû. Íàéòè óãëû òðåóãîëüíèêà.
3. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç äàííîé òî÷êè, ðàâíû.
Îïðåäåëåíèå: Ïóñòü òî÷êà O öåíòð íåêîòîðîé îêðóæíîñòè, à òî÷êè A, B è C ëåæàò íà ýòîé îêðóæíîñòè. Óãîë ∠AOC
â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò öåíòðàëüíûì óãëîì ýòîé îêðóæíîñòè, à óãîë ∠ABC âïèñàííûì â íå¸. Ïðî îáà ýòè óãëà ãîâîðÿò
òàêæå, ÷òî îíè îïèðàþòñÿ íà äóãó BC .
4. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü ðàâåí ïîëîâèíå öåíòðàëüíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà òó æå äóãó. â
ñëó÷àå, êîãäà öåíòð îêðóæíîñòè ëåæèò: à) íà ñòîðîíå óãëà; á) âíóòðè óãëà; â) âíå óãëà. ã) äîêàæèòå, ÷òî âïèñàííûå óãëû,
îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó, ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180◦.
5. à) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ äàííîé åãî ñòîðîíû è
ïðîäîëæåíèé äâóõ äðóãèõ ñòîðîí.
6. Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïè
Ñåðèÿ 38. Ïåðâàÿ, íàïå÷àòàííàÿ èç-ïîä Ëèíóêñà.
1. Íà ñòîðîíå CD êâàäðàòà ABCD ïîñòðîåí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê CDN , âåðøèíà N êîòîðîãî ëåæèò âíå êâàäðàòà, à
íà äèàãîíàëè AC ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ACM , âíóòðè êîòîðîãî ëåæèò òî÷êà D. Äîêàæèòå, ÷òî BN ||AM .
2. Äâå âûñîòû òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå ñòîðîí, íà êîòîðûå îíè îïóùåíû. Íàéòè óãëû òðåóãîëüíèêà.
3. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç äàííîé òî÷êè, ðàâíû.
Îïðåäåëåíèå: Ïóñòü òî÷êà O öåíòð íåêîòîðîé îêðóæíîñòè, à òî÷êè A, B è C ëåæàò íà ýòîé îêðóæíîñòè. Óãîë ∠AOC
â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò öåíòðàëüíûì óãëîì ýòîé îêðóæíîñòè, à óãîë ∠ABC âïèñàííûì â íå¸. Ïðî îáà ýòè óãëà ãîâîðÿò
òàêæå, ÷òî îíè îïèðàþòñÿ íà äóãó BC .
4. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü ðàâåí ïîëîâèíå öåíòðàëüíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà òó æå äóãó. â
ñëó÷àå, êîãäà öåíòð îêðóæíîñòè ëåæèò: à) íà ñòîðîíå óãëà; á) âíóòðè óãëà; â) âíå óãëà. ã) äîêàæèòå, ÷òî âïèñàííûå óãëû,
îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó, ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180◦.
5. à) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ äàííîé åãî ñòîðîíû è
ïðîäîëæåíèé äâóõ äðóãèõ ñòîðîí.
6. Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïè
Ñåðèÿ 38. Ïåðâàÿ, íàïå÷àòàííàÿ èç-ïîä Ëèíóêñà.
1. Íà ñòîðîíå CD êâàäðàòà ABCD ïîñòðîåí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê CDN , âåðøèíà N êîòîðîãî ëåæèò âíå êâàäðàòà, à
íà äèàãîíàëè AC ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ACM , âíóòðè êîòîðîãî ëåæèò òî÷êà D. Äîêàæèòå, ÷òî BN ||AM .
2. Äâå âûñîòû òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå ñòîðîí, íà êîòîðûå îíè îïóùåíû. Íàéòè óãëû òðåóãîëüíèêà.
3. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç äàííîé òî÷êè, ðàâíû.
Îïðåäåëåíèå: Ïóñòü òî÷êà O öåíòð íåêîòîðîé îêðóæíîñòè, à òî÷êè A, B è C ëåæàò íà ýòîé îêðóæíîñòè. Óãîë ∠AOC
â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò öåíòðàëüíûì óãëîì ýòîé îêðóæíîñòè, à óãîë ∠ABC âïèñàííûì â íå¸. Ïðî îáà ýòè óãëà ãîâîðÿò
òàêæå, ÷òî îíè îïèðàþòñÿ íà äóãó BC .
4. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü ðàâåí ïîëîâèíå öåíòðàëüíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà òó æå äóãó. â
ñëó÷àå, êîãäà öåíòð îêðóæíîñòè ëåæèò: à) íà ñòîðîíå óãëà; á) âíóòðè óãëà; â) âíå óãëà. ã) äîêàæèòå, ÷òî âïèñàííûå óãëû,
îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó, ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180◦.
5. à) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ äàííîé åãî ñòîðîíû è
ïðîäîëæåíèé äâóõ äðóãèõ ñòîðîí.
6. Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïè
Ñåðèÿ 38. Ïåðâàÿ, íàïå÷àòàííàÿ èç-ïîä Ëèíóêñà.
1. Íà ñòîðîíå CD êâàäðàòà ABCD ïîñòðîåí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê CDN , âåðøèíà N êîòîðîãî ëåæèò âíå êâàäðàòà, à
íà äèàãîíàëè AC ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ACM , âíóòðè êîòîðîãî ëåæèò òî÷êà D. Äîêàæèòå, ÷òî BN ||AM .
2. Äâå âûñîòû òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå ñòîðîí, íà êîòîðûå îíè îïóùåíû. Íàéòè óãëû òðåóãîëüíèêà.
3. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç äàííîé òî÷êè, ðàâíû.
Îïðåäåëåíèå: Ïóñòü òî÷êà O öåíòð íåêîòîðîé îêðóæíîñòè, à òî÷êè A, B è C ëåæàò íà ýòîé îêðóæíîñòè. Óãîë ∠AOC
â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò öåíòðàëüíûì óãëîì ýòîé îêðóæíîñòè, à óãîë ∠ABC âïèñàííûì â íå¸. Ïðî îáà ýòè óãëà ãîâîðÿò
òàêæå, ÷òî îíè îïèðàþòñÿ íà äóãó BC .
4. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü ðàâåí ïîëîâèíå öåíòðàëüíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà òó æå äóãó. â
ñëó÷àå, êîãäà öåíòð îêðóæíîñòè ëåæèò: à) íà ñòîðîíå óãëà; á) âíóòðè óãëà; â) âíå óãëà. ã) äîêàæèòå, ÷òî âïèñàííûå óãëû,
îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó, ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180◦.
5. à) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ äàííîé åãî ñòîðîíû è
ïðîäîëæåíèé äâóõ äðóãèõ ñòîðîí.
6. Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïè
Ñåðèÿ 38. Ïåðâàÿ, íàïå÷àòàííàÿ èç-ïîä Ëèíóêñà.
1. Íà ñòîðîíå CD êâàäðàòà ABCD ïîñòðîåí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê CDN , âåðøèíà N êîòîðîãî ëåæèò âíå êâàäðàòà, à
íà äèàãîíàëè AC ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ACM , âíóòðè êîòîðîãî ëåæèò òî÷êà D. Äîêàæèòå, ÷òî BN ||AM .
2. Äâå âûñîòû òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå ñòîðîí, íà êîòîðûå îíè îïóùåíû. Íàéòè óãëû òðåóãîëüíèêà.
3. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç äàííîé òî÷êè, ðàâíû.
Îïðåäåëåíèå: Ïóñòü òî÷êà O öåíòð íåêîòîðîé îêðóæíîñòè, à òî÷êè A, B è C ëåæàò íà ýòîé îêðóæíîñòè. Óãîë ∠AOC
â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò öåíòðàëüíûì óãëîì ýòîé îêðóæíîñòè, à óãîë ∠ABC âïèñàííûì â íå¸. Ïðî îáà ýòè óãëà ãîâîðÿò
òàêæå, ÷òî îíè îïèðàþòñÿ íà äóãó BC .
4. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü ðàâåí ïîëîâèíå öåíòðàëüíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ íà òó æå äóãó. â
ñëó÷àå, êîãäà öåíòð îêðóæíîñòè ëåæèò: à) íà ñòîðîíå óãëà; á) âíóòðè óãëà; â) âíå óãëà. ã) äîêàæèòå, ÷òî âïèñàííûå óãëû,
îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó, ëèáî ðàâíû, ëèáî äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî 180◦.
5. à) Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ âñåõ åãî ñòîðîí.
á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ñóùåñòâóåò âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ äàííîé åãî ñòîðîíû è
ïðîäîëæåíèé äâóõ äðóãèõ ñòîðîí.
6. Äîêàæèòå, ÷òî âîêðóã ëþáîãî òðåóãîëüíèêà ìîæíî îïè