Листок по планиметрии (площади)

Ïëîùàäè
1. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè:
à) ñ îñíîâàíèÿìè 11 è 4 è äèàãîíàëÿìè 9 è 12;
á) ñ îñíîâàíèÿìè 6 è 3 è äèàãîíàëÿìè √7 è 8.
2. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 2 2 è 3, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
ðàâíà 3. Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó.
3.  òðåóãîëüíèê âïèñàíà îêðóæíîñòü ðàäèóñà 4. Îäíà èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàçäåëåíà òî÷êîé êàñàíèÿ íà ÷àñòè, ðàâíûå 6 è 8. Íàéäèòå äâå
äðóãèå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.
4. Òî÷êè B1 è C1 îñíîâàíèÿ âûñîò BB1 è CC1 òðåóãîëüíèêà ABC ,
ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà S , à óãîë BAC ðàâåí α. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AB1 C1 .
5. Äèàãîíàëè òðàïåöèè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îäíà èç íèõ ðàâíà 6. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû îñíîâàíèé, ðàâåí 4,5. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè.
6. Èç òî÷êè P , ðàñïîëîæåííîé âíóòðè îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC , îïóùåíû ïåðïåíäèêóëÿðû íà åãî ñòîðîíû. Äëèíû ñòîðîí è îïóùåííûõ íà íèõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû a è k, b è m, c è n.
Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ABC ê ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ñëóæàò îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ.
7. Ïåðèìåòð âûïóêëîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ðàâåí 4. Äîêàæèòå, ÷òî åãî
ïëîùàäü íå ïðåâîñõîäèò 1.
8. Äîêàæèòå, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ABC :
a) 1r = r1 + r1 + r1 ,
ãäå r ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè, à ra , rb è rc ðàäèóñû âíåâïèñàííûõ √
îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà;
á) S = r · ra · rb · rc , ãäå S ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà.
9. (
) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñòîðîíû âïèñàííîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ðàâíû a, b, c è d, òî åãî ïëîùàäü S ìîæåò áûòü
âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå:
a
b
c
Ôîðìóëà Áðàõìàãóïòû.
S=
p
(p − a)(p − b)(p − c)(p − d),
ãäå p = 21 (a + b + c + d) ïîëóïåðèìåòð ÷åòûð¼õóãîëüíèêà.
10. Îñòðîóãîëüíûé ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê è òðàïåöèÿ âïèñàíû
â îêðóæíîñòü. Îäíî îñíîâàíèå òðàïåöèè ÿâëÿåòñÿ äèàìåòðîì îêðóæíîñòè, à áîêîâûå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû áîêîâûì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà.
Äîêàæèòå, ÷òî òðàïåöèÿ è òðåóãîëüíèê ðàâíîâåëèêè.
11. Âíóòðè ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà èìååòñÿ òî÷êà, óäàë¼ííàÿ îò åãî
âåðøèí íà ðàññòîÿíèÿ 5, 6 è 7. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà.
1
12. Ñòîðîíû ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ðàâíû a, b, c è d. Èçâåñòíî, ÷òî â ýòîò
÷åòûð¼õóãîëüíèê ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è îêîëî
íåãî ìîæíî îïèñàòü
√
îêðóæíîñòü. Äîêàæèòå, ÷òî åãî ïëîùàäü ðàâíà abcd.
13. Ïóñòü a, b, c, d ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòîðîíû ÷åòûð¼õóãîëüíèêà.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè S åãî ïëîùàäü, òî S ≤ 12 (ac + bd), ïðè÷¼ì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ âïèñàííîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà, äèàãîíàëè
êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
14. Êàæäàÿ äèàãîíàëü âûïóêëîãî ïÿòèóãîëüíèêà ABCDE îòñåêàåò îò
íåãî òðåóãîëüíèê åäèíè÷íîé ïëîùàäè. Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ïÿòèóãîëüíèêà ABCDE .
15. Íà îòðåçêå AC âçÿòà òî÷êà B è íà îòðåçêàõ AB , BC è AC ïîñòðîåíû êàê íà äèàìåòðàõ ïîëóîêðóæíîñòè S1 , S2 è S ïî îäíó ñòîðîíó
îò AC . Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ âñåõ òð¼õ ïîëóîêðóæíîñòåé, åñëè èçâåñòíî, ÷òî å¼ öåíòð óäàë¼í îò ïðÿìîé AC íà ðàññòîÿíèå a.
16. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé îïèñàííîãî âîêðóã
îêðóæíîñòè ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûð¼õóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ñëóæàò òî÷êè êàñàíèÿ ñòîðîí ïåðâîãî ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ñ îêðóæíîñòüþ.
2