Метод координат 1

Ìåòîä êîîðäèíàò I
Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå d ìåæäó òî÷êàìè A(x1 ; y1 ) è B(x2 ; y2 ) ðàâíî :
d=
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
Çàäà÷à 2. Òî÷êà M (x0 ; y0 ) ñåðåäèíà îòðåçêà ñ êîíöàìè â òî÷êàõ A(x1 ; y1 ) è B(x2 ; y2 ). Äîêàæèòå, ÷òî
x0 =
x1 + x2
y1 + y2
è y0 =
.
2
2
Çàäà÷à 3. Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â òî÷êå A(a; b) çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì:
(x − a)2 + (y − b)2 = R2 .
Çàäà÷à 4. Äàíû òî÷êè A(−9; 2), B(1; 6), C(7; 3) è D(−3; −1). Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûð¼õóãîëüíèê ABCD
ïàðàëëåëîãðàìì.
Çàäà÷à 5. Äàíû òî÷êè A(−1; 5) è B(3; −7). Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ñåðåäèíû
îòðåçêà AB .
Çàäà÷à 6. Äàíû òî÷êè A(3; 5), B(−6; −2) è C(0; −6). Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîáåäðåí-
íûé.
Çàäà÷à 7. Äàíû òî÷êè A(2; 4), B(6; −4) è C(−8; −1). Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC ïðÿìîóãîëüíûé.
Çàäà÷à 8. Äàíà òî÷êà M (−1; 3). Íàéäèòå êîîðäèíàòû òî÷êè, ñèììåòðè÷íîé òî÷êå M îòíîñèòåëüíî:
à) îñè Ox; á) îñè Oy ; â) íà÷àëà êîîðäèíàò; ã) òî÷êè K(3; 1); ä) áèññåêòðèñû 1 è 3 êîîðäèíàòíûõ óãëîâ;
å) áèññåêòðèñû 2 è 4 êîîðäèíàòíûõ óãëîâ.
Çàäà÷à 9. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ 3x + 2y − 5 = 0
è x − 3y + 2 = 0 ïàðàëëåëüíî îñè îðäèíàò.
Çàäà÷à 10. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå M (3; 1) ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à 11. Íàéäèòå ðàäèóñ è êîîðäèíàòû öåíòðà îêðóæíîñòè, çàäàííîé óðàâíåíèåì: à) (x − 3)2 +
(y + 2)2 = 16; á) x2 + y 2 − 2(x − 3y) − 15 = 0; â) x2 + y 2 = x + y + 21 .
Çàäà÷à 12. Äàíû òî÷êè A(0; 0), B(4; 0) è C(0; 6). Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
òðåóãîëüíèêà ABC .
Çàäà÷à 13. Íàéäèòå äëèíó õîðäû, êîòîðóþ íà ïðÿìîé y = 3x âûñåêàåò îêðóæíîñòü
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 25.
Çàäà÷à 14. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ 3x − 4y + 25 = 0 êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè x2 + y 2 = 25, è íàéäèòå
êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ.
Çàäà÷à 15. Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ îñåé êîîðäèíàò è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
A(2; 1).
Çàäà÷à 16. Äàíû òî÷êè A(0; 0), B(−2; 1), C(3; 3), D(2; −1) è îêðóæíîñòü (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Âûÿñíèòå, ãäå ðàñïîëîæåíû ýòè òî÷êè: íà îêðóæíîñòè, âíóòðè èëè âíå îêðóæíîñòè.
Íàáðàëè ≥ 8 áàëëîâ ïîëó÷àåòå 3;
Íàáðàëè ≥ 11 áàëëîâ ïîëó÷àåòå 4;
Íàáðàëè ≥ 14 áàëëîâ ïîëó÷àåòå 5;