1-е октября

Ïàðàëëåëîãðàìì
01.10.11
1. Äàí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, O òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé. Îáÿçàòåëüíî ëè îí ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì,
åñëè à) Ñòîðîíû AB è CD ðàâíû, à ñòîðîíû BC è AD - ïàðàëëåëüíû; á) AO = OC , à ñòîðîíû AB è CD ïàðàëëåëüíû; â)
AB = CD è OB = OD?
2. Íà ñòîðîíàõ AD è BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD âçÿòû òàêèå òî÷êè K è M , ÷òî AK : KD = CM : M B . Äîêàæèòå, ÷òî à) AM CK
ïàðàëëåëîãðàìì; á) Îòðåçîê M K ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïàðàëëåëîãðàììà ABCD.
3. Ïîñòðîèòü ïàðàëëåëîãðàìì ïî äâóì äèàãîíàëÿì è âûñîòå.
4. Äîêàæèòå, ÷òî: à) â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò òî÷êè, ëåæàùåé íà îñíîâàíèè, äî äâóõ äðóãèõ ñòîðîí
ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê áîêîâîé ñòîðîíå. Åñëè ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó âçÿòü íà ïðîäîëæåíèè
îñíîâàíèÿ, òî âûñîòà, îïóùåííàÿ íà áîêîâóþ ñòîðîíó, áóäåò ðàâíà ìîäóëþ ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò ýòîé òî÷êè äî áîêîâûõ
ñòîðîí. á) â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò âíóòðåííåé òî÷êè äî òðåõ åãî ñòîðîí ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå
òðåóãîëüíèêà. Êàê èçìåíèòñÿ ýòî ïðåäëîæåíèå, åñëè òî÷êà âçÿòà âíå òðåóãîëüíèêà?
Ïàðàëëåëîãðàìì
01.10.11
1. Äàí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, O òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé. Îáÿçàòåëüíî ëè îí ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì,
åñëè à) Ñòîðîíû AB è CD ðàâíû, à ñòîðîíû BC è AD - ïàðàëëåëüíû; á) AO = OC , à ñòîðîíû AB è CD ïàðàëëåëüíû; â)
AB = CD è OB = OD?
2. Íà ñòîðîíàõ AD è BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD âçÿòû òàêèå òî÷êè K è M , ÷òî AK : KD = CM : M B . Äîêàæèòå, ÷òî à) AM CK
ïàðàëëåëîãðàìì; á) Îòðåçîê M K ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïàðàëëåëîãðàììà ABCD.
3. Ïîñòðîèòü ïàðàëëåëîãðàìì ïî äâóì äèàãîíàëÿì è âûñîòå.
4. Äîêàæèòå, ÷òî: à) â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò òî÷êè, ëåæàùåé íà îñíîâàíèè, äî äâóõ äðóãèõ ñòîðîí
ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê áîêîâîé ñòîðîíå. Åñëè ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó âçÿòü íà ïðîäîëæåíèè
îñíîâàíèÿ, òî âûñîòà, îïóùåííàÿ íà áîêîâóþ ñòîðîíó, áóäåò ðàâíà ìîäóëþ ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò ýòîé òî÷êè äî áîêîâûõ
ñòîðîí. á) â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò âíóòðåííåé òî÷êè äî òðåõ åãî ñòîðîí ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå
òðåóãîëüíèêà. Êàê èçìåíèòñÿ ýòî ïðåäëîæåíèå, åñëè òî÷êà âçÿòà âíå òðåóãîëüíèêà?
Ïàðàëëåëîãðàìì
01.10.11
1. Äàí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, O òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé. Îáÿçàòåëüíî ëè îí ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì,
åñëè à) Ñòîðîíû AB è CD ðàâíû, à ñòîðîíû BC è AD - ïàðàëëåëüíû; á) AO = OC , à ñòîðîíû AB è CD ïàðàëëåëüíû; â)
AB = CD è OB = OD?
2. Íà ñòîðîíàõ AD è BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD âçÿòû òàêèå òî÷êè K è M , ÷òî AK : KD = CM : M B . Äîêàæèòå, ÷òî à) AM CK
ïàðàëëåëîãðàìì; á) Îòðåçîê M K ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïàðàëëåëîãðàììà ABCD.
3. Ïîñòðîèòü ïàðàëëåëîãðàìì ïî äâóì äèàãîíàëÿì è âûñîòå.
4. Äîêàæèòå, ÷òî: à) â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò òî÷êè, ëåæàùåé íà îñíîâàíèè, äî äâóõ äðóãèõ ñòîðîí
ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê áîêîâîé ñòîðîíå. Åñëè ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó âçÿòü íà ïðîäîëæåíèè
îñíîâàíèÿ, òî âûñîòà, îïóùåííàÿ íà áîêîâóþ ñòîðîíó, áóäåò ðàâíà ìîäóëþ ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò ýòîé òî÷êè äî áîêîâûõ
ñòîðîí. á) â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò âíóòðåííåé òî÷êè äî òðåõ åãî ñòîðîí ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå
òðåóãîëüíèêà. Êàê èçìåíèòñÿ ýòî ïðåäëîæåíèå, åñëè òî÷êà âçÿòà âíå òðåóãîëüíèêà?
Ïàðàëëåëîãðàìì
01.10.11
1. Äàí âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, O òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé. Îáÿçàòåëüíî ëè îí ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì,
åñëè à) Ñòîðîíû AB è CD ðàâíû, à ñòîðîíû BC è AD - ïàðàëëåëüíû; á) AO = OC , à ñòîðîíû AB è CD ïàðàëëåëüíû; â)
AB = CD è OB = OD?
2. Íà ñòîðîíàõ AD è BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD âçÿòû òàêèå òî÷êè K è M , ÷òî AK : KD = CM : M B . Äîêàæèòå, ÷òî à) AM CK
ïàðàëëåëîãðàìì; á) Îòðåçîê M K ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïàðàëëåëîãðàììà ABCD.
3. Ïîñòðîèòü ïàðàëëåëîãðàìì ïî äâóì äèàãîíàëÿì è âûñîòå.
4. Äîêàæèòå, ÷òî: à) â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò òî÷êè, ëåæàùåé íà îñíîâàíèè, äî äâóõ äðóãèõ ñòîðîí
ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê áîêîâîé ñòîðîíå. Åñëè ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó âçÿòü íà ïðîäîëæåíèè
îñíîâàíèÿ, òî âûñîòà, îïóùåííàÿ íà áîêîâóþ ñòîðîíó, áóäåò ðàâíà ìîäóëþ ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé îò ýòîé òî÷êè äî áîêîâûõ
ñòîðîí. á) â ðàâíîñòîðîííåì òðåóãîëüíèêå ñóììà ðàññòîÿíèé îò âíóòðåííåé òî÷êè äî òðåõ åãî ñòîðîí ïîñòîÿííà è ðàâíà âûñîòå
òðåóãîëüíèêà. Êàê èçìåíèòñÿ ýòî ïðåäëîæåíèå, åñëè òî÷êà âçÿòà âíå òðåóãîëüíèêà?
Äîìàøíåå çàäàíèå
íà 03.10.11
1. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðîòèâîëåæàùèì ñòîðîíàì. Äîêàæèòå, ÷òî âåðøèíû ýòîãî
òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðîâåäåííûìè ïðÿìûìè.
2. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD âûïóêëûé, òî÷êè A è C ðàâíîóäàëåíû îò ïðÿìîé BD, à ∠BAC = ∠ACD. Îáÿçàòåëüíî ëè ABCD ïàðàëëåëîãðàìì?
3. Îêðóæíîñòü, ïîñòðîåííàÿ íà ñòîðîíå AD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD êàê íà äèàìåòðå, ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó B è ñåðåäèíó
ñòîðîíû BC . Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà.
4.  òðåóãîëüíèêå ABC ñî ñòîðîíàìè AB = c è AC = b ÷åðåç ñåðåäèíó ñòîðîíû BC ïðîâåëè ïåðïåíäèêóëÿð ê áèññåêòðèñå óãëà A,
ïåðåñåêàþùèé ïðÿìûå AB è AC â òî÷êàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî BX = CY = |b˘c|
.
2
Äîìàøíåå çàäàíèå
íà 03.10.11
1. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðîòèâîëåæàùèì ñòîðîíàì. Äîêàæèòå, ÷òî âåðøèíû ýòîãî
òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðîâåäåííûìè ïðÿìûìè.
2. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD âûïóêëûé, òî÷êè A è C ðàâíîóäàëåíû îò ïðÿìîé BD, à ∠BAC = ∠ACD. Îáÿçàòåëüíî ëè ABCD ïàðàëëåëîãðàìì?
3. Îêðóæíîñòü, ïîñòðîåííàÿ íà ñòîðîíå AD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD êàê íà äèàìåòðå, ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó B è ñåðåäèíó
ñòîðîíû BC . Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà.
4.  òðåóãîëüíèêå ABC ñî ñòîðîíàìè AB = c è AC = b ÷åðåç ñåðåäèíó ñòîðîíû BC ïðîâåëè ïåðïåíäèêóëÿð ê áèññåêòðèñå óãëà A,
ïåðåñåêàþùèé ïðÿìûå AB è AC â òî÷êàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî BX = CY = |b˘c|
.
2
Äîìàøíåå çàäàíèå
íà 03.10.11
1. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðîòèâîëåæàùèì ñòîðîíàì. Äîêàæèòå, ÷òî âåðøèíû ýòîãî
òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðîâåäåííûìè ïðÿìûìè.
2. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD âûïóêëûé, òî÷êè A è C ðàâíîóäàëåíû îò ïðÿìîé BD, à ∠BAC = ∠ACD. Îáÿçàòåëüíî ëè ABCD ïàðàëëåëîãðàìì?
3. Îêðóæíîñòü, ïîñòðîåííàÿ íà ñòîðîíå AD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD êàê íà äèàìåòðå, ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó B è ñåðåäèíó
ñòîðîíû BC . Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà.
4.  òðåóãîëüíèêå ABC ñî ñòîðîíàìè AB = c è AC = b ÷åðåç ñåðåäèíó ñòîðîíû BC ïðîâåëè ïåðïåíäèêóëÿð ê áèññåêòðèñå óãëà A,
.
ïåðåñåêàþùèé ïðÿìûå AB è AC â òî÷êàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî BX = CY = |b˘c|
2
Äîìàøíåå çàäàíèå
íà 03.10.11
1. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðîòèâîëåæàùèì ñòîðîíàì. Äîêàæèòå, ÷òî âåðøèíû ýòîãî
òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðîâåäåííûìè ïðÿìûìè.
2. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD âûïóêëûé, òî÷êè A è C ðàâíîóäàëåíû îò ïðÿìîé BD, à ∠BAC = ∠ACD. Îáÿçàòåëüíî ëè ABCD ïàðàëëåëîãðàìì?
3. Îêðóæíîñòü, ïîñòðîåííàÿ íà ñòîðîíå AD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD êàê íà äèàìåòðå, ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó B è ñåðåäèíó
ñòîðîíû BC . Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà.
4.  òðåóãîëüíèêå ABC ñî ñòîðîíàìè AB = c è AC = b ÷åðåç ñåðåäèíó ñòîðîíû BC ïðîâåëè ïåðïåíäèêóëÿð ê áèññåêòðèñå óãëà A,
ïåðåñåêàþùèé ïðÿìûå AB è AC â òî÷êàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî BX = CY = |b˘c|
.
2
Äîìàøíåå çàäàíèå
íà 03.10.11
1. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåäåíû ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ïðîòèâîëåæàùèì ñòîðîíàì. Äîêàæèòå, ÷òî âåðøèíû ýòîãî
òðåóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðîâåäåííûìè ïðÿìûìè.
2. ×åòûðåõóãîëüíèê ABCD âûïóêëûé, òî÷êè A è C ðàâíîóäàëåíû îò ïðÿìîé BD, à ∠BAC = ∠ACD. Îáÿçàòåëüíî ëè ABCD ïàðàëëåëîãðàìì?
3. Îêðóæíîñòü, ïîñòðîåííàÿ íà ñòîðîíå AD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD êàê íà äèàìåòðå, ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíó B è ñåðåäèíó
ñòîðîíû BC . Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà.
4.  òðåóãîëüíèêå ABC ñî ñòîðîíàìè AB = c è AC = b ÷åðåç ñåðåäèíó ñòîðîíû BC ïðîâåëè ïåðïåíäèêóëÿð ê áèññåêòðèñå óãëà A,
ïåðåñåêàþùèé ïðÿìûå AB è AC â òî÷êàõ X è Y ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî BX = CY = |b˘c|
.
2
Çàäà÷à íà 4: Äàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ABC . Ñòîðîíà BC ðàçäåëåíà íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìè K è L, à òî÷êà M
äåëèò ñòîðîíó AC â îòíîøåíèè 1 : 2, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû A. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà óãëîâ AKM è ALM ðàâíà 30◦ .
Çàäà÷à íà 5: Òî÷êà X ñåðåäèíà äèàãîíàëè AC â ïðàâèëüíîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF , Y cåðåäèíà ñòîðîíû DE . Äîêàæèòå,
÷òî òðåóãîëüíèê F XY ïðàâèëüíûé.
Çàäà÷à íà 4: Äàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ABC . Ñòîðîíà BC ðàçäåëåíà íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìè K è L, à òî÷êà M
äåëèò ñòîðîíó AC â îòíîøåíèè 1 : 2, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû A. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà óãëîâ AKM è ALM ðàâíà 30◦ .
Çàäà÷à íà 5: Òî÷êà X ñåðåäèíà äèàãîíàëè AC â ïðàâèëüíîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF , Y cåðåäèíà ñòîðîíû DE . Äîêàæèòå,
÷òî òðåóãîëüíèê F XY ïðàâèëüíûé.
Çàäà÷à íà 4: Äàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ABC . Ñòîðîíà BC ðàçäåëåíà íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìè K è L, à òî÷êà M
äåëèò ñòîðîíó AC â îòíîøåíèè 1 : 2, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû A. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà óãëîâ AKM è ALM ðàâíà 30◦ .
Çàäà÷à íà 5: Òî÷êà X ñåðåäèíà äèàãîíàëè AC â ïðàâèëüíîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF , Y cåðåäèíà ñòîðîíû DE . Äîêàæèòå,
÷òî òðåóãîëüíèê F XY ïðàâèëüíûé.
Çàäà÷à íà 4: Äàí ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ABC . Ñòîðîíà BC ðàçäåëåíà íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìè K è L, à òî÷êà M
äåëèò ñòîðîíó AC â îòíîøåíèè 1 : 2, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû A. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà óãëîâ AKM è ALM ðàâíà 30◦ .
Çàäà÷à íà 5: Òî÷êà X ñåðåäèíà äèàãîíàëè AC â ïðàâèëüíîì øåñòèóãîëüíèêå ABCDEF , Y cåðåäèíà ñòîðîíû DE . Äîêàæèòå,
÷òî òðåóãîëüíèê F XY ïðàâèëüíûé.