Серия 57. Симметрия Серия 57. Симметрия Серия 57

Ñåðèÿ 57. Ñèììåòðèÿ
1. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îñíîâàíèé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
2. à) Âûñîòû AP è BQ òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ D è E . Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà,
ñèììåòðè÷íàÿ D îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BC , ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé, ñèììåòðè÷íîé E îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC .
á) Âûâåäèòå îòñþäà, ÷òî âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
3. à) Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòè, ñèììåòðè÷íûå îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC îòíîñèòåëüíî åãî ñòîðîí,
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå H .
á) Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà H ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC .
4. Ïóñòü D òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC . Îêðóæíîñòè, îïèñàííûå âîêðóã òðåóãîëüíèêîâ ABC , ABD,
ACD, BCD îáîçíà÷èì ÷åðåç S , S1 , S2 , S3 , à èõ öåíòðû ÷åðåç O, O1 , O2 , O3 . Äîêàæèòå, ÷òî: à) îêðóæíîñòè S , S1 , S2 , S3
ðàâíû; á) îòðåçêè OD, O1 C , O2 B , O3 A ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì; â) ÷åòûðåõóãîëüíèêè ABCD è
OO1 O2 O3 ðàâíû.
5. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåëè ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå åãî áèññåêòðèñàì. Äîêàæèòå, ÷òî â îáðàçîâàâøåìñÿ
òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñû èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà áóäóò âûñîòàìè.
6. Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ðàâåí 1, à âñå âûñîòû èìåþò öåëóþ äëèíó. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé.
Ñåðèÿ 57. Ñèììåòðèÿ
1. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îñíîâàíèé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
2. à) Âûñîòû AP è BQ òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ D è E . Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà,
ñèììåòðè÷íàÿ D îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BC , ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé, ñèììåòðè÷íîé E îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC .
á) Âûâåäèòå îòñþäà, ÷òî âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
3. à) Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòè, ñèììåòðè÷íûå îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC îòíîñèòåëüíî åãî ñòîðîí,
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå H .
á) Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà H ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC .
4. Ïóñòü D òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC . Îêðóæíîñòè, îïèñàííûå âîêðóã òðåóãîëüíèêîâ ABC , ABD,
ACD, BCD îáîçíà÷èì ÷åðåç S , S1 , S2 , S3 , à èõ öåíòðû ÷åðåç O, O1 , O2 , O3 . Äîêàæèòå, ÷òî: à) îêðóæíîñòè S , S1 , S2 , S3
ðàâíû; á) îòðåçêè OD, O1 C , O2 B , O3 A ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì; â) ÷åòûðåõóãîëüíèêè ABCD è
OO1 O2 O3 ðàâíû.
5. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåëè ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå åãî áèññåêòðèñàì. Äîêàæèòå, ÷òî â îáðàçîâàâøåìñÿ
òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñû èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà áóäóò âûñîòàìè.
6. Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ðàâåí 1, à âñå âûñîòû èìåþò öåëóþ äëèíó. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé.
Ñåðèÿ 57. Ñèììåòðèÿ
1. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îñíîâàíèé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
2. à) Âûñîòû AP è BQ òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ D è E . Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà,
ñèììåòðè÷íàÿ D îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BC , ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé, ñèììåòðè÷íîé E îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC .
á) Âûâåäèòå îòñþäà, ÷òî âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
3. à) Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòè, ñèììåòðè÷íûå îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC îòíîñèòåëüíî åãî ñòîðîí,
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå H .
á) Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà H ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC .
4. Ïóñòü D òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC . Îêðóæíîñòè, îïèñàííûå âîêðóã òðåóãîëüíèêîâ ABC , ABD,
ACD, BCD îáîçíà÷èì ÷åðåç S , S1 , S2 , S3 , à èõ öåíòðû ÷åðåç O, O1 , O2 , O3 . Äîêàæèòå, ÷òî: à) îêðóæíîñòè S , S1 , S2 , S3
ðàâíû; á) îòðåçêè OD, O1 C , O2 B , O3 A ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì; â) ÷åòûðåõóãîëüíèêè ABCD è
OO1 O2 O3 ðàâíû.
5. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåëè ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå åãî áèññåêòðèñàì. Äîêàæèòå, ÷òî â îáðàçîâàâøåìñÿ
òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñû èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà áóäóò âûñîòàìè.
6. Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ðàâåí 1, à âñå âûñîòû èìåþò öåëóþ äëèíó. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé.
Ñåðèÿ 57. Ñèììåòðèÿ
1. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíû îñíîâàíèé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðîäîëæåíèé áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
2. à) Âûñîòû AP è BQ òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ D è E . Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà,
ñèììåòðè÷íàÿ D îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé BC , ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé, ñèììåòðè÷íîé E îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC .
á) Âûâåäèòå îòñþäà, ÷òî âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
3. à) Äîêàæèòå, ÷òî îêðóæíîñòè, ñèììåòðè÷íûå îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC îòíîñèòåëüíî åãî ñòîðîí,
ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå H .
á) Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà H ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC .
4. Ïóñòü D òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC . Îêðóæíîñòè, îïèñàííûå âîêðóã òðåóãîëüíèêîâ ABC , ABD,
ACD, BCD îáîçíà÷èì ÷åðåç S , S1 , S2 , S3 , à èõ öåíòðû ÷åðåç O, O1 , O2 , O3 . Äîêàæèòå, ÷òî: à) îêðóæíîñòè S , S1 , S2 , S3
ðàâíû; á) îòðåçêè OD, O1 C , O2 B , O3 A ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì; â) ÷åòûðåõóãîëüíèêè ABCD è
OO1 O2 O3 ðàâíû.
5. ×åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ïðîâåëè ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå åãî áèññåêòðèñàì. Äîêàæèòå, ÷òî â îáðàçîâàâøåìñÿ
òðåóãîëüíèêå áèññåêòðèñû èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà áóäóò âûñîòàìè.
6. Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ðàâåí 1, à âñå âûñîòû èìåþò öåëóþ äëèíó. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ðàâíîñòîðîííèé.