вычисление площадей, объемов

c ÌàòÁþðî ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå, òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Èíòåãðàë: âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé è îáúåìîâ
Ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû
Åñëè ôèãóðà îãðàíè÷åíà êðèâîé y = f (x), f (x) ≥ 0, ïðÿìûìè x = a, x = b è îòðåçêîì
[a, b] îñè Ox, òî åå ïëîùàäü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z
b
S=
f (x) dx.
a
Åñëè ôèãóðà îãðàíè÷åíà êðèâûìè y = f1 (x) è y = f2 (x), f1 (x) ≤ f2 (x) , ïðÿìûìè x = a,
x = b, òî åå ïëîùàäü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z b
S=
(f2 (x) − f1 (x)) dx.
a
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè x = x(t), y = y(t), òî ïëîùàäü, îãðàíè÷åííàÿ ýòîé
êðèâîé, ïðÿìûìè x = a, x = b è îòðåçêîì [a, b] âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z
β
S=
y(t)x0 (t) dt,
a = x(α), b = x(β).
α
Åñëè ôèãóðà îãðàíè÷åíà êðèâîé, çàäàííîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ρ = ρ(ϕ), ëó÷àìè
ϕ = α è ϕ = β , òî åå ïëîùàäü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z
1 β 2
ρ (ϕ) dϕ.
S=
2 α
Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ
Åñëè äóãà êðèâîé y = f (x), a ≤ x ≤ b, âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè Ox, òî ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z b p
S = 2π
y 1 + y 02 dx.
a
Åñëè äóãà êðèâîé çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè y = y(t), x = x(t), t1 ≤ t ≤ t2 , òî
Z t2 p
02
S = 2π
y x02
t + yt dt.
t1
1
www.MatBuro.ru :: Ðåøåíèå çàäà÷ ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå
Îáúåì òåëà âðàùåíèÿ
Åñëè òåëî îáðàçîâàíî â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Ox êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè,
îãðàíè÷åííîé êðèâîé y = f (x), îñüþ Ox è ïðÿìûìè x = a è x = b, òî åãî îáúåì âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z
b
Vx = π
y 2 dx.
a
Åñëè òåëî îáðàçîâàíî â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Oy êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè,
îãðàíè÷åííîé êðèâîé x = f (y), îñüþ Oy è ïðÿìûìè y = c è y = d, òî åãî îáúåì âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z
d
Vy = π
x2 dy.
c
Åñëè òåëî îáðàçîâàíî â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Oy êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè,
îãðàíè÷åííîé êðèâîé y = f (x), îñüþ Ox è ïðÿìûìè x = a è x = b, òî åãî îáúåì âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Z
b
V = 2π
xy dx.
a
Äëèíà êðèâîé
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì y = f (x), a ≤ x ≤ b, òî
l=
Z bp
1 + y 02 dx.
a
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè y = ϕ(t), x = ψ(t), α ≤ t ≤ β , òî
Z
β
l=
p
α
02
x02
t + yt dt.
Åñëè êðèâàÿ çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ρ = ρ(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β , òî
Z
β
p
ρ2 + ρ02 dϕ.
l=
α
2