Математика и компьютерные науки, профиль

Утверждена на Ученом Совете
механико-математического факультета СГУ
30. 10. 14 г. (протокол № 4)
Декан механико-математического
факультета, к.ф.-м.н., доцент
_______________ А.М. ЗАХАРОВ
Председатель научно-методической
комиссии, к.ф.-м.н., доцент
_______________ С.В.ТЫШКЕВИЧ
ПРОГРАММА
государственного экзамена
по направлению 010200 - Математика и компьютерные науки
магистерская программа
«Математический анализ и приложения»
степень Магистр
на 2014 - 2015 учебный год
1. Геометрическая теория функций комплексной переменной
1.
2.
3.
4.
Оценка коэффициентов однолистной функции.
Теорема площадей для однолистных функций.
Формула Рисса-Герглотца и интегральные представления классов функций.
Отображение многоугольников. Формула Кристофеля-Шварца
2. Теория оптимального управления
1. Необходимое условие простейшей вариационной задачи.
2. Неравенство Вейерштрасса в простейшей вариационной задача.
3. Условие трансверсальности в вариационной задаче с подвижной концевой точкой.
3. Теория однолистных функций
1. Семейство областей Левнера. Лемма о сходимости.
2. Уравнение Левнера.
4. Гармонический анализ на нульмерных группах
1. Представление компактной нульмерной группы модифицированным отрезком.
2. Нульмерная группа.
3. Система характеров компактной нульмерной группы, ее ортогональность и
замкнутость.
4. Система Хаара на компактной нульмерной группы, ее ортогональность и
замкнутость.
5. Группы Виленкина, системы Виленкина.
5. Гармонический анализ. Теория и приложения
1. Замкнутость тригонометрической системы в пространствах Lp ,1  p   . .
2. Преобразование Фурье функций из
3. Преобразование Фурье функций из
1.
2.
3.
4.
5.
.
.
6. Всплески. Теория и приложения
Система Рисса есть базис замыкания своей линейной оболочки.
Доказать, что базис Рисса -- безусловный.
Достаточное условие того, что система сдвигов есть .система Рисса
Необходимое условие того, что система сдвигов есть .система Рисса
Кратномасштабный анализ, масштабирующее уравнение в частотной и временной
области.
7. Интерполяция сплайнами и метод конечных элементов
1. B-сплайны, их свойства.
2. Теорема Карри-Шенберга, разложение кусочно-многочленной функции по базису
из B-сплайнов.
3. Метод конечных элементов, пространство конечных элементов, одномерные
конечные элементы.
8. Теория целых и мероморфных функций
1. Представление целой функции конечного
произведения.
2. Нули целой функции конечного порядка.
3. Порядок и тип целой функции.
4. Формула для нахождения порядка и типа.
5. Г-функция и ее свойства.
порядка
в
виде
бесконечного
Литература
Основная литература
1. Шабунин М.И., Сидоров Ю.В. Теория функций комплексного переменного - М.:
БИНОМ. Лаб. знаний, 2010. – 246.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа - 7-е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 570.
3. Лукомский С.Ф.Гармонический и вейвлет анализ на нульмерных группах.
Электронный ресурс. Саратов: ИЦ «Наука»,2013,
Дополнительная литература
1. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. - М. : Гостехиздат, 1956. - 632 с.
2. Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и
приложения Т. 1 : Комплексный анализ. - , Уфа,1996. – 137c.
3. Дьяченко, М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл - М.: Факториал, 1998. - 160 с.
4. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды - 2-е изд., - М. : Изд-во АФЦ, 1999.
-550с
5. Чуи Чарльз К. Введение в вэйвлеты - М. : Мир, 2001. - 412.
6. Карнеев, С.В. Карпухин В.П. МКЭ: Метод Конечных Элементов. - Тула: Грифъ и
Ко, 2000, 61.
7. Мешков О.Ф. Некоторые вопросы теории обобщенных функций Саратов: Изд-во
Сарат. ун-та, 2001. – 44.
8. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщенные функции и действия над ними - М.:
Добросвет, 2000. - 412 с.
9. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. - 2-е
изд. - М. : Наука: Физматлит, 1966. - 628 с.
10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного
- 6-е изд., стер. - М. ; СПб. : Лань, 2002. - 688 с.
11. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А.. Теория всплесков - М. : Физматлит,
2005. – 612