Семинар 1. Делители и кратные. Свойства делимости. Признаки

7
Семинар 1.
Делители и кратные. Свойства
делимости. Признаки делимости
План занятия:





Делители числа
Кратные числа
Свойства делимости суммы и произведения
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Признаки делимости на 3 и на 9
Ребята, вы уже знаете, как определяется операция умножения.
Умеете делить целые числа друг на друга. Знаете, что такое деление с
остатком. Сегодня, опираясь на эти знания, мы узнаем, что такое
делители числа и кратные числа. Запомним признаки делимости,
которые потом пригодятся нам при решении задач.
 Делители и кратные
Мы знаем, что в большой коробке
Choco–Pie 18 печений. Мы можем
разделить их поровну между 3 ребятами.
Каждый получит по 6 печений. А если надо
разделить 18 печений на 4 ребят, то
каждый получит по 4, а еще 2 останутся.
Говорят, что число 3 является делителем
числа 18, а число 4 не является делителем
числа 18.
Делителем натурального числа α называют натуральное число, на
которое α делится без остатка
Важно запомнить, что число 1 является делителем любого натурального
числа!
Обратите внимание, любое число делится само на себя, то есть
является своим делителем.
8
Мы знаем, что в пачке Twix две палочки шоколадного
печенья. Не раскрывая упаковок, мы можем взять 4, 8 или
12 палочек. А вот 9 палочек взять таким способом не
получится.
Числа 4, 8, 12 делятся на 2 без остатка, поэтому говорят, что
они кратны числу 2. Число 9 на 2 без остатка не делится,
поэтому оно кратным ему не является.
Кратным натурального числа α называют натуральное число, которое
делится на α без остатка
Любое число является кратным самому себе.
 Основные свойства делимости натуральных чисел
Могли бы вы сказать, не выполняя вычислений, делится ли
произведение 6851 999 на 3?
Оказывается, есть несколько основных свойств делимости,
которые могут помочь нам в решении подобных заданий.
Перечислим эти свойства.
Свойство 1: Делимость произведения
Если один из двух множителей делится на некоторое число, то и все
произведение данных чисел делится на это число
Теперь, используя свойства, мы сразу можем сказать, что
произведение 6851 999 будет делиться на 3, так как число 999 делится
на 3. 999:3 333
Рассмотрим еще одно свойство делимости произведения.
Свойство 2: Делимость произведения
Если число делится на число , а число делится на число , то и число
делится на число
Например, у нас есть число 81 и надо узнать делится ли оно на 3?
Вспоминая таблицу умножения, смело утверждаем, что 81 делится на 9,
ну а 9 в свою очередь делится на 3. Следовательно и 81 делится на 3 без
остатка.
9
Свойство 3: Делимость суммы и разности
Если два числа делятся на некоторое число, то их сумма и разность тоже
делятся на это число
Попробуем продемонстрировать и это свойство:
У Шрека есть 21 плюшек, а у осла только 1. Смогут ли они разделить
поровну все их плюшки между семью гномами? Итак 21 делится на 7
получится 3 и 14 также делится на 7 получится 2 . Значит и все их
плюшки вместе взятые можно поделить между семью гномами. На
всякий случай проверим это: 21 14
35, если 35 поделить на 7, то
получим 5. По 5 плюшек на гнома!
Попробуйте самостоятельно распространить данные свойства на
произведение нескольких множителей и на сумму нескольких
слагаемых.
Задачи для решения в классе
1.1
Подумайте:
a) Может ли делитель числа быть больше самого числа? Почему?
b) Какое число является делителем всех чисел?
c) Может ли у числа быть ровно один делитель? Два делителя? Три
делителя?
d) Загадайте любое число. Попробуйте перечислить все числа,
кратные вашему. Какой вывод можно сделать?
e) Какое число можно назвать наименьшим кратным?
f) Какое число и кратно α, и является делителем α?
1.2
Верно ли, что:
a) 7 – делитель 49;
b) 16 – делитель 32;
10
c)
d)
e)
f)
6 – делитель 38;
33 – кратное 3;
121 – кратное 12;
64 – кратное 8.
1.3 Выберете из чисел 3, 4, 5, 8, 9, 10, 15, 25, 27, 30, 32 те, которые
являются:
a) делителями 15;
b) кратными 5;
c) делителями 27 и кратными 3;
d) кратными 4 и делителями 32.
1.4 Напишите все делители числа:
a) 12;
c) 33;
b) 21;
d) 42.
1.5 Напишите все двузначные числа, кратные числу:
a) 9;
c) 24;
b) 11;
d) 35.
1.6 Не вычисляя произведения, установите, делится ли оно на данное
число:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
508 12 на 3;
85 3719 на 5;
2510 74 на 37;
45 26 36 на 15;
210 29 на 3 и на 29;
3800 44 18 на 11, 100 и 9.
 Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Для выяснения, делится ли одно число на другое, всегда можно
провести деление известным нам способом – «уголком». Но это занятие
часто бывает долгим и утомительным, поэтому математики придумали
некоторые специальные приемы для получения быстрого ответа на этот
вопрос – признаки делимости.
11
Простейший из них – это признак делимости на 10, а
именно: если число оканчивается на 0, то оно делится
на 10 без остатка. Если же число оканчивается на любую
другую цифру, то оно не делится на 10.
Число делится на 10 если его последняя цифра равна 0
Рассмотрим, какие из чисел 34 390, 735, 3487 делятся на
5. Здесь нам помогут изученные свойства делимости.
Число 34 390 делится на 10, а 10 делится на 5. Поэтому,
по свойству делимости произведения, 34 390 делится на
5. Ясно, что такое рассуждение можно привести для
каждого числа, оканчивающегося на цифру 0. То есть
всякое число, на конце которого стоит 0, делится на 5.
Число 735 представим в виде суммы: 735 730 5. Оба слагаемых
делятся на 5 и, по свойству делимости суммы, их сумма 735 делится на 5.
То же самое можно привести для любого числа, оканчивающегося на
цифру 5. То есть всякое число, в конце которого стоит 5, делится на 5.
Давайте теперь проверим, делится ли 87 на 5? Число 87 можно
представить в виде суммы: 87 = 80 7. Здесь первое слагаемое делится
на 5, а второе не делится на 5. По свойству делимости суммы, сумма 87
не делится на 5.
Объединим все примеры в признак делимости на 5:
Число делится на 5 если оно заканчивается цифрой 0 или 5
Аналогично можно показать признак делимости на 2.
Число делится на 2 в том и только в том случае, когда
оно оканчивается одной из цифр – 0, 2, 4, 6, 8. Эти
цифры, как нам известно, принято называть четными.
Поэтому
признак
делимости
на
2
можно
сформулировать немного проще.
12
Число делится на 2 если оно оканчивается четной цифрой
Оказывается, что достаточно только знать последнюю цифру числа и
некоторые правила, что точно и уверенно сказать делится ли это число
на 2, на 5 или на 10 без остатка.
 Признаки делимости на 3 и на 9
Давайте проверим, от чего же зависит делимость числа на 3 и на 9.
Рассмотрим, делится ли число 8535 на 3. Для этого
представим его в виде суммы разрядных слагаемых:
8535 = 8000 + 500 + 30 + 5 =
8 1000
5 100
3 10
5
Из каждого «круглого» числа выделим единицу и раскроем скобки:
8535
8
999
1
5
5 99
5
8 999
8
8 999
5 99
3 9
99
1
3 9
8
5
3
3
3
9
1
5
5
5
Числа 999, 99 и 9 делятся на 3, а значит, по свойству делимости суммы, и
сумма первых трех слагаемых делится на 3.
Поэтому ответ на вопрос о делимости на 3 числа 8535 зависит от
делимости на 3 суммы остальных слагаемых, то есть 8 5 3 5 21.
Число 21 на 3 делится, поэтому 8535 на 3 также делится.
Ответ: 8535 делится на 3.
Данный пример иллюстрирует признак делимости на 3:
Число делится на 3 если сумма его цифр делится на 3
13
С делимостью на девять тоже нет никаких проблем.
Признак делимости на 9 формулируется аналогично
признаку делимости на 3.
Числа 999, 99 и 9 делятся на 9, а значит, ответ на вопрос
о делимости числа 8535 на 9 зависит от делимости на 9
суммы остальных слагаемых. Число 21 на 9 без остатка
не делится, поэтому и 8535 на 9 так же не делится.
Признак делимости на 9 формулируется аналогично признаку
делимости на 3:
Число делится на 9 если сумма его цифр делится на 9
Давайте подумаем, какой может быть признак
делимости на 6. Если число делится на 6, это значит, что
это число будет делиться и на 2, и на 3. Нужно всего
лишь объединить признаки делимости на 2 и на 3.
Число делится на 6, если оно четное и сумма цифр в числе делится на 3
Задачи для решения в классе
1.7
Подберите три значения так, чтобы произведение:
a) 3 делилось на 5;
c) 9 делилось на 6;
b) 12 делилось на 7;
d) 8 делилось на 14.
1.8
Какие делители произведения 3 25 62 вы можете назвать?
1.9
Определите истинность высказывания:
a) 4500
25 делится на 5;
b) 13 000 – 26 делится на 3;
14
c) 888 888 – 19 320 делится на 8;
d) 171 717
1.10
1.11
2 34 делится на 17;
Объясните, почему выражение не делится на 5:
a) 450 + 14;
c) 5 – 96;
b) 121 – 35;
d) 5551 + 25 .
Какими способами можно делить сумму и разность на число?
Найдите частное:
a) (9 + 24 ) : 3;
b) (60 – 48 ) : 6.
1.12 Докажите или опровергните утверждения:
1.13
a) Если число делится на произведение двух чисел, то оно
делится и на каждое из этих чисел.
b) Если число делится на два других числа, то оно делится и на
их произведение.
c) Если произведение двух чисел делится на данное число, то и
каждый множитель делится на это число.
Какие из чисел кратны 2, а какие – нет: 13; 36; 87; 124; 723; 994;
3948; 3953; 10 000?
1.14
Какие из чисел кратны 5, а какие – нет: 135; 343; 560; 592; 1020;
1365; 12 890?
1.15
Какие из чисел кратны 10, а какие – нет: 10; 13; 25; 30; 75; 100;
1200; 13 090; 14 009?
1.16
1.17
Какие числа, кратные 5, являются решениями неравенства:
a
a)
94
100 ;
b)
560
a
572 ;
c)
247
a
275 .
Запишите все трехзначные числа, которые больше 970 и кратны
5.
1.18
Запишите все двузначные числа, которые больше 87 и не кратны
ни 2, ни 5.
15
1.19
1.20
Докажите, не выполняя вычислений, что:
a)
сумма 530 и 2100 делится на 10;
b)
сумма 497 и 22 500 не делится на 10;
c)
разность 58 940 и 740 кратна 10;
d)
разность 8410 и 2873 не кратна 10;
e)
39 830 713 делится на 10;
f)
число 10 является делителем 47
1320 – 460).
Какие из чисел 3996; 24 357; 187 272; 594 820; 111 111 111;
1 234 567 890 – делятся на 3? Делятся на 9?
1.21
Какие цифры можно подставить вместо (?) в записи 741 56(?),
чтобы получившееся число было:
1.22
1.23
a)
кратно 3?
b)
кратно 9?
Докажите или опровергните утверждения:
a)
Если число делится на 3, то оно делится на 9.
b)
Если число делится на 9, то оно делится на 3.
Составь число из одних пятерок, чтобы оно делилось на 9. Делится
ли оно на 3?
1.24
Составь число из одних девяток, чтобы оно делилось на 5.
1.25
Придумай трехзначное число, которое:
a)
делится на 3 и на 5, но не делится на 10;
b)
делится на 9 и на 10, но не делится на 25;
c)
делится на 2 и на 9, но не делится на 5;
d)
не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 9.
16
Задачки на смекалку
1.26 Школьники 3–го класса одной московской школы совершили
автобусную экскурсию в Волоколамск. Один из них, рассказывая
дома об этой поездке, нарисовал следующую картинку:
Можно ли по этой картинке определить, куда идёт автобус, в Москву
или в Волоколамск?
1.27 В семье я рос один на свете,
И это правда, до конца.
Но сын того, кто на портрете, —
Сын моего отца.
Кто на портрете?
1.28 Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом
обрывке, и заказали соединить их в одну цепь:
Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать, сколько колец
понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что
придётся раскрыть и снова заковать четыре кольца.
Можно ли выполнить эту работу, раскрыв и заковав меньше колец?
1.29 Человек находится на острове. Из–за долгой засухи трава и
кусты на острове сильно пересохли. Внезапно на одном конце
острова возник пожар, и ветер погнал огонь в сторону человека.
Спастись в море человек не может, так как в море у самого берега
плавает множество акул. Берегов без растительности на острове нет.
Как человеку спастись?
17
1.30 Имеется круглое глубокое озеро диаметром 200 метров и два
дерева, одно из которых растет на берегу у самой воды, другое – по
центру озера на небольшом островке. Человеку, который не умеет
плавать, нужно перебраться на островок при помощи веревки, длина
которой чуть больше 200 метров. Как ему это сделать?
Задачи для решения дома
Перед решением домашних задач следует повторить, что
называется делителем числа и какие числа называются
кратными. Вспомните свойства делимости и различные
признаки делимости.
1.31 Запишите множество делителей числа 56, располагая делители в
порядке возрастания.
1.32 Запишите последовательно в порядке возрастания, начиная с
наименьшего, десять кратных числа 15.
1.33
Проверьте, делится ли произведение 21 и 23 на 7?
1.34
Проверьте, делится ли сумма 21 и 23 на 7?
1.35
Подберите три значения так, чтобы произведение:
a) 12 делилось на 17;
b) 8 делилось на 4;
c) 1598 делилось на 637.
1.36
Докажите истинность утверждений:
a) сумма 56 056 112 делится на 56;
b) разность 474747 – 47 5 делится на 47;
c) разность 16
72 делится на 8;
d) сумма 3
+ 19 делится на .
18
1.37 Вместо (?) вставьте неизвестную цифру так, чтобы получилось
истинное утверждение. Укажите все возможные варианты ответов.
a) 312(?) делится на 2;
b) 312(?) делится на 5;
c) 312(?) делится на 3;
d) 312(?) делится на 9;
e) 312(?) делится на 4;
f)
312(?) делится на 25.
1.38 Ковбой Джо зашел в бар и
попросил у бармена бутылку колы за 3 доллара, сэндвич за 6
долларов, 3 свежих газеты и 9 коробок непромокаемых спичек, цену
которых он не знал. Бармен потребовал с него 14 долларов 80 центов
в 1 долларе 100 центов , на что Джо вытащил револьвер. Бармен
пересчитал сумму и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен
пытался его обсчитать?