Радиус Фрида

Лекция 8
Аберрации в турбулентной атмосфере
Содержание
1 Структурная функция фазы
1.1 Плоская волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Колмогоровская модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Радиус Фрида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
4
2 Корреляционная матрица для атмосферы
2.1 Коэффициенты Нолла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Учет внешнего масштаба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
3 Функции Карунена-Лоэва
3.1 Диагонализация матрицы корреляционных коэффицентов . . . . . .
3.2 Функции Карунена-Лоэва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
4 Задания по Лекции 8
6
5 Вопросы по Лекции 8
6
1
1.1
Структурная функция фазы
Плоская волна
Рассмотрим два параллельных луча, расстояние между которыми — ρ, распространяющихся вдоль оси z по трассе длиной L. Набеги фаз вдоль лучей:
Рис. 1: Геометрия хода лучей при расчете структурной функции фазы
ϕ(M1 ) = k
ϕ(M2 ) = k
2
∆ϕ = k
h∆ϕ2 i =
2
RL
0
RL
n1 (z)dz,
n2 (z)dz,
0
RL RL
0
(1)
[n1 (z ) − n2 (z )] [n1 (z ) − n2 (z )] dz dz ,
0
0
00
00
0
00
0
k
RL RL
2
[n1 (z 0 ) − n2 (z 0 )] [n1 (z 00 ) − n2 (z 00 )] dz 0 dz 00 .
0 0
Раскрывая скобки и производя усреднение, получим:
ZL ZL h
i
p
2
2
2
2
Dn ( ξ + ρ ) − Dn (ξ) dz 0 dz 00 .
∆ϕ = Dϕ (ρ) = k
0
(2)
0
здесь ξ = z −z , Dn (ξ) — структурная функция показателя преломления, и учтено,
что
p
ρ2 + |z 0 − z 00 |2
(3)
hn1 (z 0 )n2 (z 00 )i = B
0
00
Рис. 2: Преобразование координат при расчете структурной функции
Область интегрирования в (2) имеет вид:
0
00
η = z +z
2
ξ = z 0 − z 00 .
(4)
В переменных (ξ, η) формула (2) принимает вид:
Dϕ (ρ) = k
2
ZL
0
dη
ξZ2 (η)
ξ1 (η)
h
i
p
2
2
Dn ( ξ + ρ ) − Dn (ξ) dξ.
А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8
(5)
2
При ξ → ∞ выражение в квадратных скобках (при разумных ограничениях на
вид Dn (ξ) ) стремится к нулю, и если L >> ρ , пределы во внутреннем интеграле
можно устремить к бесконечности. В результате получим:
Z∞ h
i
p
Dϕ (ρ) ≈ k L
Dn ( ξ 2 + ρ2 ) − Dn (ξ) dξ.
2
(6)
−∞
1.2
Колмогоровская модель
Из Колмогоровской модели турбулентности следует, что
Dn (ξ) = Cn2 ξ 2/3 ,
(7)
где Cn2 – структурная постоянная, определяющая силу турбулентности. Подставляя (7) в (6), получим:
Dϕ (ρ) = k
2
LCn2
Z∞
−∞
или, полагая x =
(ξ 2 + ρ2 )1/3 − ξ 2/3 dξ,
(8)
ξ
ρ
Dϕ (ρ) = k
2
LCn2 ρ5/3
Z∞
−∞
(1 + x2 )1/3 − x2/3 dx.
(9)
Последний интеграл не зависит от параметров задачи, а просто равен некоторому
числу. Вычислив этот интеграл, для плоской волны получим:
Dϕ (ρ) = 2.92k 2 LCn2 ρ5/3 .
(10)
По аналогии с этим выводом можно получить выражение для структурной
функции сферической волны (задание студентам):
3
Dsph (ρ) = Dpl (ρ).
(11)
8
Можно показать (задание для студентов), что если Cn2 не является постоянной
величиной вдоль оси z, а меняется достаточно плавно, то вместо (10) получим:
Dϕ (ρ) = 2.92k 2 ρ5/3
ZL
Cn2 (z)dz.
(12)
0
Формально, (10) остается в силе, если заменить Cn2 его средним значением:
1
C̄n2 =
L
ZL
Cn2 (z)dz,
0
практически именно эта величина измеряется обычно при исследовании атмосферы.
А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8
3
1.3
Радиус Фрида
Формулу (10) часто используют в следующей форме:
ρ
Dϕ (ρ) = 6.88
r0
35
(13)
.
где r0 — т.н. Фридовский радиус (D. Fried), который учитывает параметры атмосферы и длину трассы:
r0 ∼
= 1.68 k 2 LC̄n2
2
2.1
− 53
(14)
.
Корреляционная матрица аберрационных коэффициентов для атмосферы
Коэффициенты Нолла
Подставим выражение (10) для Dϕ (ρ) в формулы для элементов корреляционной
матрицы коэффициентов Цернике. После замены переменных получим:

5/3

 αik = γik D
r0
(15)
5/3

 α00 = σ 2 − γ00 D
r0
Здесь D — диаметр апертуры, а γik — числовые коэффициенты, введенные Ноллом
(R. Noll):
Z
γik = (r1 − r2 )5/3 ϕi (r1 )ϕk (r2 )d2 r1 d2 r2 .
(16)
Вот некоторые значения диагональных элементов:
γ00
γ11
γ33
γ66
2.2
= 1.029
= γ22 = 0.449
= γ44 = γ55 = 0.023
= γ77 = γ88 = γ99 = 0.0062
Учет внешнего масштаба
Величина σϕ2 , входящая только в выражение для α00 , в рамках Колмогоровской
теории не может быть найдена. При учете внешнего масштаба турбулентности L0 :
σϕ2
=
5/3
0.4Cn2 Lk 2 L0
≈
L0
r0
5/3
.
(17)
С учетом внешнего масштаба элементы матрицы αik были вычислены Винкером (Winker) [3]. Для диагональных элементов справедливо выражение:
αii = γii ·
D
r0
5/3
А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8
wi (D/L0 ).
(18)
4
Здесь считается, что параметр r0 сохраняет прежнюю величину (14), хотя и
утрачивает прежний физический смысл радиуса корреляции фазовых возмущений. Функции wi (D/L0 ) для первых нескольких порядков приведены на рис. 3.
1.0
4, i=10,11.12.13.14
5, i=15,16,17,18,19,20
0.8
w
i
0.6
0.4
1, i=1,2
2, i=3,4,5
3, i=6,7,8,9
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
D/L
0
Рис. 3: Функции wi (D/L0 ) для радиальных порядков n = 1, 2, 3, 4
3
3.1
Функции Карунена-Лоэва
Диагонализация матрицы корреляционных коэффицентов
Подбором системы функций {ϕi (r)} можно сделать матрицу корреляционных коэффицентов αik диагональной. Рассмотрим функции ϕi , удовлетворяющие интегральному уравнению:
Z
λi ϕi (r) = B(r, r0 )ϕi (r0 )d2 r0 .
(19)
Возьмем уравнение (19) для ϕi (r) и ϕk (r), умножим соответственно на ϕk (r) и
ϕi (r), проинтегрируем по апертуре и вычтем одно из другого. В результате получим:
Z
(λi − λk ) ϕi (r0 )ϕk (r0 )d2 r0 = 0.
(20)
Таким образом, функции, удовлетворяющие (19), ортогональны, если λi 6= λk .
Для равных собственных значений функции можно ортогонализировать. Такие
функции называют ф-циями Карунена-Лоэва.
3.2
Функции Карунена-Лоэва
Найдем αik :
А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8
5
1
αik = 2
S
Z Z
λk
B(r, r )ϕi (r)ϕk (r )d rd r = 2
S
0
0
2
2 0
Z
ϕi ϕk d 2 r 0 =
λk δik
.
S
(21)
т.е. αii = λi /S . Функции (19) удобны для теоретических исследований, однако
они не имеют аналитического представления, поэтому чаще для практических
применений все же используют функции Цернике.
4
Задания по Лекции 8
1. Получить выражение (11) для структурной функции сферической волны.
2. Вывести формулу (12).
5
Вопросы по Лекции 8
1. Специфика измерения
Список литературы
1. Воронцов М.А., Шмальгаузен В. И. Принципы адаптивной оптики, М.: Наука,
1985, 288 с.
2. А.В. Токовинин. Учебное пособие по адаптивной оптике обсерватории Серро
Тололо, http://www.astronet.ru/db/msg/1205112/intro.html
3. Winker D. M. // J. Opt. Soc. Am. A. 1991. 8. p.1568.
А.В.Корябин, В.И. Шмальгаузен, Лекция 8
6