Ответ: Уравнение искомой кривой

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ)
№1. Исследовать и построить кривые:
а) x =
t3
t 3 − 2t 2
t2
t 2 − 3t + 9
sin t + cos t
cos 2t
,
=
,
=
y
x
y
=
x
,
y
;
б)
=
=
;
в)
.
sin t
sin t
1+ t2
1+ t2
t −1
t −3
№2. Прямая OL вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω.
Точка М движется по прямой OL cо скоростью, пропорциональной расстоянию
|OM|. Составить уравнение траектории, описываемой точкой М (логарифмическая
Ответ: r = r0ekϕ , где ϕ = ω t .
спираль).
№3. Круг радиуса а катится по прямой без скольжения. Составить уравнение
траектории точки М, жестко связанной с кругом и находящейся на расстоянии d от
его центра (при d = a циклоида, при d < a – укороченная циклоида, при d > a –
Ответ: x = at − d sin t , y = a − d cos t .
удлиненная циклоида).
№4. Окружность радиуса r катится без скольжения по окружности радиуса R,
оставаясь вне ее. Составить уравнение траектории точки М катящейся окружности
(эпициклоида).
Ответ: x = ( R + r )cos
r
R+r
r
R+r
t − r cos
t , y = ( R + r )sin t − r sin
t.
R
R
R
R
№5. Окружность радиуса r катится без скольжения по окружности радиуса R,
оставаясь внутри нее. Составить уравнение траектории точки М катящейся
окружности (гипоциклоида).
Ответ: x = ( R − r )cos
r
R−r
r
R−r
t + r cos
t , y = ( R − r )sin t − r sin
t.
R
R
R
R
№6. Найти кривую, задаваемую уравнением r = r(t), c < t < d, зная, что r’(t) = λ(t)a,
где λ(t) > 0 – непрерывная функция, а – постоянный ненулевой вектор.
Ответ: Уравнение искомой кривой
r(t) = µ(t)a+b,
где b – постоянный вектор, µ(t) – первообразная для функции λ(t), c < t < d.
d
Геометрически возможны следующие случаи: прямая, коллинеарная а, если ∫ λ (t ) dt
c
1
d
расходится при t = c и при t = d; луч, имеющий направление вектора a, если ∫ λ (t ) dt
c
сходится при t = c, но расходится при t = d; луч, имеющий направление вектора –a,
d
если
∫ λ (t ) dt
расходится при t = c, но сходится при t = d; открытый отрезок,
c
d
коллинеарный а, если ∫ λ (t ) dt сходится.
c
r (t ) = a –
№7. Найти кривую, задаваемую уравнением r = r(t), -∞ < t < +∞, если постоянный ненулевой вектор.
Ответ: Уравнение искомой кривой
r(t) = a t2/2 + bt + c,
где b, c – произвольные постоянные векторы. Если b ≠ 0, то это уравнение (при
фиксированных b, c) задает параболу с осью, имеющей направление вектора a. Если
b = 0, то получим дважды взятый луч, параллельный а.
№8. Пусть γ – замкнутая кривая класса С1. Доказать, что для любого вектора а
найдется точка x ∈ γ , в которой касательная к γ ортогональна а.
Указание: применить теорему Ролля к функции (а, r(t) - r(t0)).
№9. В пространстве две точки движутся так, что расстояние между ними остается
постоянным. Доказать, что проекции их скоростей на направление прямой,
соединяющей эти точки, равны между собой.
Указание: использовать тот факт, что (r2(t) – r1(t))2 = const, где r1, r2 – радиусвекторы движущихся точек, t - время.
№10. Доказать, что если на некотором сегменте [a, b] вектор-функция r(t)
непрерывна вместе со своей производной r , причем r || r , но r ≠ 0 и r ≠ 0, то
годограф вектор-функции r = r(t) есть отрезок прямой линии.
Решение: Положим
r
= λ , λ(t) – непрерывная на сегменте [a, b] функция,
r
сохраняющая определенный знак. Имеем r – λr = 0, откуда r = ae ∫
λ dt
. Так как
λ dt
λ dt
производная от функции e ∫ равна λ e ∫ , то она сохраняет знак на сегменте [a, b],
λ dt
т.е. e ∫ - монотонная непрерывная функция t.
2
№11. Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением r = [ω, r].
Ответ: окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через
начало радиусов-векторов коллинеарно вектору ω, а плоскости этих окружностей
перпендикулярны указанной прямой.
№12. Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением r = [е, [r, e]],
где е – постоянный единичный вектор.
Ответ: прямые, по которым пересекаются плоскости, перпендикулярные вектору е,
с плоскостями, проходящими через прямую, проведенную через полюс О
коллинеарно вектору е.
№13. Найти кривые, определяемые дифференциальным уравнением r = ае + [e, r],
где а = const, е – постоянный вектор.
Решение: Введем декартову прямоугольную систему координат, располагая ось Oz
коллинеарно вектору е. Тогда ае + [e, r] = -yi + xj + ae, и данное дифференциальное
уравнение принимает следующий вид:
x = − y, y = x, z = a . Из соотношений
x = − y, y = x находим x 2 + y 2 = C1 - семейство круговых цилиндров, оси которых
совпадают с прямой, проходящей через начало радиусов-векторов коллинеарно
вектору е. Далее:
dx
y dy x
=− ,
= ,
dz
a dz a
откуда
xdy − ydx x 2 + y 2
,
=
dz
a
xdy − ydx ⎛
y2 ⎞
a
= ⎜ 1 + 2 ⎟ dz ,
x2
x ⎠
⎝
y
x = dz , z + C = a arctg y 2
y2
x
1+ 2
x
ad
семейство прямых геликоидов, для которых осью является упомянутая выше ось
цилиндров. Интегральные линии – винтовые. Наконец, z = at + C3 . Из полученных
соотношений легко выразить x, y, z через t.
№14. Составить уравнения касательной и нормали к следующим кривым:
а) r = {a / 2 (t + 1 / t ), b / 2 (t − 1 / t )} (гипербола);
3
б) r = {a cos3 t , a sin 3 t} (астроида);
в) r = {a (t − sin t ), a(1 − cos t )} (циклоида);
г) r = { 12 t 2 − 14 t 4 ,
t + 13 t 3} в точке t = 0;
1 2
2
д) r = {a ϕ cos ϕ , a ϕ sin ϕ} (спираль Архимеда).
№15. Под каким углом пересекаются кривые x 2 = 4 y, y = 8 /( x 2 + 4) ?
Ответ: arctg3.
№16. Вычислить кривизну следующих кривых:
а) y = − ln cos x ;
Ответ: |cos x|;
б) x = 3t 2 , y = 3t − t 3 при t = 1;
Ответ: 1/6;
в) x = a (cos t + t sin t ), y = a (sin t − t cos t ) при t = π/2;
Ответ: 2π/a;
г) x = a (2cos t − cos 2t ), y = a (2sin t − sin 2t ) ;
Ответ:
3
;
8a | sin t / 2 |
д) r = aϕ ;
Ответ:
2 +ϕ2
;
a (1 + ϕ 2 )3/2
е) r = aϕ k ;
Ответ:
k (k + 1) + ϕ 2
;
aϕ k −1 ( k 2 + ϕ 2 )3/2
ж) r = aϕ в точке φ = 0;
Ответ:
1
1 + ln 2 a
.
№17. Вычислить длину следующих кривых:
а) y = x 3/2 ;
Ответ:
1
[(4 + 9 x)3/2 − 8] ;
27
б) y = x 2 ;
Ответ:
x
1
1 + 4 x 2 + ln(2 x + 1 + 4 x 2 ) ;
2
4
в) y = ln x ;
1 + x2
− 2;
Ответ: 1 + x + ln
x( 2 − 1)
2
ϕ
г) r = a(1 + cos ϕ ) ;
Ответ: 4a sin
д) r = {a(cos t + t sin t ), a (sin t − t cos t )} ;
Ответ: a t2 /2;
е) r = {a (t − sin t ), a (1 − cos t )} ;
t
Ответ: 4a(1 − cos ) ;
2
a
a
ж) r = { (2cos t + cos 2t ),
(2sin t + sin 2t )} ;
3
3
Ответ:
4
2
;
8a
t
sin ;
3
2
Ответ: 1 + e
з) y = e ;
x
2x
1
1 + e2 x − 1
+ ln
− ln( 2 − 1) − 2 ;
2
1 + e2 x + 1
t
и) r = {a(ln ctg − cos t ), a sin t} ;
2
Ответ: a ln sin t .
№18. Составить натуральные уравнения кривых:
3
а) y = x ;
⎡
36 R 2 ⎤
Ответ: (27 s + 8) = ⎢ 4 + 9
;
(27 s + 8) 2 ⎥⎦
⎣
б) y = x 2 ;
Ответ: s =
в) y = ln x ;
1 + x2 − 1
x
Ответ: s = 1 + x + ln
;
, k=
x
(1 + x 2 )3/2
г) y = e ;
Ответ: s = 1 + e
3/2
2
1
4
3
1
4 R 2 − 1 ⋅ 3 2 R + ln ⎡⎢
4 ⎣
3
4 R 2 − 1 + 3 2 R ⎤⎥ ;
⎦
2
x
1
1 + e2 x − 1
ex
, k=
+ ln
;
2
(1 + e2 x )3 / 2
1 + e2 x + 1
2x
д) r = {a(cos t + t sin t ), a (sin t − t cos t )} ;
Ответ: R 2 = 2as .
№19. Найти параметрические уравнения кривых, зная их натуральные уравнения
(здесь R = 1/k):
Ответ: r = Ceϕ - логарифмическая спираль;
а) R = a s ;
s
s2
Ответ: r = {∫ cos 2 ds,
2a
0
б) Rs = a ;
2
в) R 2 = 2a s ;
s
∫ sin
0
s2
ds} - клотида;
2a 2
Ответ: r = {a(cos t + t sin t ), a (sin t − t cos t )} эвольвента окружности;
г) R 2 + a 2 = a 2 e−2 s −a ;
Ответ: r = {a cos t , a ln tg|
π
4
+
t
| −a sin t} - трактрисса.
2
№20. Пусть р – расстояние от начала радиусов-векторов до касательной к кривой γ в
точке М, а r – расстояние от точки О до точки М. Доказать, что k =
Решение: p =| rn | . Предположим, что rn > 0; тогда p = rn. Отсюда
dp
dr
= r′n + rn′ = −r τk = −rr′k = − r r ′k = − r k ,
ds
ds
откуда и получаем требуемое соотношение.
5
dp
.
rdr
№21. Найти касательную прямую и нормальную плоскость в точке А(3, -7, 2)
кривой r = {u 4 + u 2 + 1, 4u 3 + 5u + 2, u 4 − u 3} .
Касательная:
№22.
Ответ: u = -1 в точке А.
x−3 y +7 z −2
=
=
, нормальная плоскость: 6 x − 17 y + 7 z − 151 = 0 .
6
−17
7
Написать
уравнение
соприкасающейся
r = {u 2 , u , u 3 − 20} в точке А(9, 3, 7).
плоскости
к
кривой
Ответ: 9 x − 27 y − z + 7 = 0 .
№23. Показать, что кривая r = {au + b, cu + d , u 2 } имеет во всех точках одну и ту
же соприкасающуюся плоскость.
Указание: Для соприкасающейся плоскости находим уравнение cx − ay = bc − ad , не
содержащее параметра u. Подставляя в это уравнение выражение для х, у через и,
получаем тождество, откуда заключаем, что кривая действительно лежит в своей
соприкасающейся плоскости.
№24. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и
бинормали кривой y 2 = x, x 2 = z в точке (1, 1, 1).
Ответ:
соприкасающаяся
6x − 8 y − z + 3 = 0 ;
плоскость:
главная
нормаль
x = 1 − 31λ , y = 1 − 26λ , z = 1 + 22λ ; бинормаль x = 1 + 6λ , y = 1 − 8λ , z = 1 − λ .
№25. Составить уравнения касательной, нормальной плоскости, соприкасающейся
плоскости, главной нормали и бинормали кривой r = {t 2 , 1 − t , t 3} в точке t = 1.
Ответ:
касательная
x = 1 + 2λ , y = −λ , z = 1 + 3λ ;
нормальная
плоскость
2 x − y + 3 z − 5 = 0 ; соприкасающаяся плоскость 3 x + 3 y − z − 2 = 0 ; главная нормаль
x = 1 − 8λ , y = 11λ , z = 1 + 9λ ; бинормаль x = 1 − 3λ , y = −3λ , z = 1 + λ .
№26. Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости для
кривой, заданной пересечением двух поверхностей: F1 ( x, y, z ) = 0, F2 ( x, y, z ) = 0 .
∂F1
∂y
Ответ: Касательная X = x + λ
∂F2
∂y
∂F1
∂z
, Y = y+λ
∂F2
∂z
6
∂F1
∂z
∂F2
∂z
∂F1
∂x
, Z = z+λ
∂F2
∂x
∂F1
∂x
∂F2
∂x
∂F1
∂y
.
∂F2
∂y
Нормальная плоскость X − x Y − y Z − z = 0 .
∂F1
∂F1
∂F1
∂x
∂y
∂z
∂F2
∂F2
∂F2
∂x
∂y
∂z
№27. Кривая, по которой сфера пересекается с круговым цилиндром в два раза
меньшего радиуса, причем цилиндр проходит через центр сферы, называется
кривой
Вивиани.
Составить
уравнение
кривой
Вивиани
в
неявной
и
параметрической форме. Найти уравнения касательной, нормальной плоскости,
бинормали, главной нормали и соприкасающейся плоскости.
Решение: Выбирая соответствующим образом систему координат, напишем
уравнения кривой Вивиани в виде
x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , ( x − a / 2) 2 + y 2 = a 2 / 4 ,
или x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , x 2 + y 2 − ax = 0 .
Для составления параметрических уравнений положим x −
a a
a
= cos t , y = sin t .
2 2
2
a2
a2
t
(1 + cos t ) 2 + sin 2 t + z 2 = a 2 , z = a sin
4
4
2
Тогда
(знак можно опустить, так как если к t прибавить 2π, то х и у не изменятся, а z
изменит знак). Итак:
a
a
t
r = { (1 + cos t ), sin t , a sin } .
2
2
2
a
a
t
t
r = { (1 + cos t ) − λ sin t , sin t + λ cos t , a sin + λ cos } .
2
2
2
2
Касательная:
Нормальная плоскость:
t
x sin t − y cos t − z cos = 0 .
2
a
t
a
t
t
Бинормаль: r = { (1 + cos t ) + λ sin (2 + cos t ), sin t − λ cos (1 + cos t ), a sin + 2λ} .
2
2
2
2
2
Главная нормаль:
λ
a
t
a
t
t
r = { (1 + cos t ) − λ[cos 2 (1 + cos t ) + 2cos t ], sin t − sin t (6 + cos t ), a sin − λ sin }
2
2
2
2
2
2
Соприкасающаяся плоскость:
t
t
a
t
sin (2 + cos t ) x − cos (1 + cos t ) y + 2 z − sin (5 + cos t ) = 0 .
2
2
2
2
7
№28. Найти длину дуги одного витка между двумя точками пересечения с
плоскостью xOz кривой x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ), z = 4a cos t / 2 .
Ответ: s = 8a 2 .
№29. Найти длину замкнутой кривой x = cos3 t , y = sin 3 t , z = cos 2t . s = 10.
Указание: кривая имеет четыре точки возврата с изменением знака ds/dt в точках
t = 0, π/2, π, 3π/2.
№30. Репараметризовать кривую r = {ch t , sh t , t} натуральным параметром.
⎧⎪ 2 + s 2
,
Ответ: r = ⎨
2
⎪⎩
⎛ s
s
2 + s2
, ln ⎜
+
⎜ 2
2
2
⎝
⎞ ⎫⎪
⎟⎬ .
⎟
⎠ ⎭⎪
№31. Найти векторы τ, n, β репера Френе, кривизну и кручение кривой Вивиани
Ответ:
(см. задачу №26).
{− cos
n=
2 t
2
⎡⎣ − cos
τ=
{− sin t ,
cos t , cos(t / 2)}
1 + cos 2 (t / 2)
(1 + cos t ) − 2cos t , − 12 sin t (6 + cos t ), − sin 2t }
2 t
2
2
(1 + cos t ) − 2cos t ⎤⎦ + sin t (6 + cos t ) + sin
1
4
2
2
,
,
2 t
2
t
⎧ t
⎫
⎨sin (2 + cos t ), − cos (1 + cos t ), 2 ⎬ ,
2
⎩ 2
⎭
β=
2
13 + 3cos t
k=
1
13 + 3cos t
,
a 2(1 + cos 2 (t / 2))3
χ=
12cos(t / 2)
.
a(13 + 3cos t )
№32. Найти кривизну и кручение следующих кривых
а) r = {t − sin t , 1 − cos t , 4sin 2}
t
Ответ:
б) r = {cos3 t , sin 3 t , cos 2t}
№33. В каждой точке кривой
положительном
направлении
1
cos t 2 (cos t − 5)
2 t
k=
1 + sin , χ =
.
4
2
4(3 − cos t )
Ответ: k =
3
4
, χ=
.
25sin t cos t
25sin t cos t
x = t − sin t , y = 1 − cos t , z = 4sin t 2
главной
нормали
отложен
отрезок,
в
равный
учетверенной кривизне кривой в этой точке. Найти уравнение соприкасающейся
плоскости кривой, описанной концом отрезка.
Ответ: у = 1.
№34. Вычислить радиусы кривизны и кручения кривой x3 = 3a 2 y, 2 xz = a 2 .
8
2
2
x ⎛ x2 a2 ⎞
x ⎛ x2 a2 ⎞
Ответ: R = ⎜ 2 + 2 ⎟ , r = − ⎜ 2 + 2 ⎟ .
2⎝ a
2x ⎠
2⎝ a
2x ⎠
№35. Вывести формулы для вычисления кривизны и кручения кривой, заданной
уравнениями y = y ( x), z = z ( x) , и найти репер Френе этой кривой.
Ответ: k =
{1, y′, z′}
τ=
1 + y′2 + z ′2
,
n=
y′′2 + z′′2 + ( y′z′′ − y′′z′) 2
(1 + y′2 + z′2 )3
,
χ=
y′′z′′′ − y′′′z′′
,
y′′2 + z′′2 + ( y′z′′ − y′′z′)2
{− z′z′′ − y′y′′, y′′ − z′( y′z′′ − y′′z′), y′( y′z′′ − y′′z′) + z′′}
( z′z′′ + y′y′′) 2 + [ y′′ − z′( y′z′′ − y′′z′)]2 + [ y′( y′z′′ − y′′z′) + z′′]2
β=
{ y′z′′ − y′′z′, − z′′, y′′}
( y′z′′ − y′′z′) 2 + z′′2 + y′′2
,
.
№36. Найти кривые, пересекающие прямолинейные образующие гиперболического
параболоида xy = az под прямыми углами.
Ответ: два семейства кривых: y 2 + z 2 = const , xy = az и x 2 + z 2 = const , xy = az .
№37.
При
каком
значении
b
кручение
винтовой
r = {a cos t , a sin t , bt} (a = const ) имеет максимальное значение?
линии
Ответ: а = b.
№38. Выразить первую, вторую и третью производные радиус-вектора по
натуральному параметру через τ, n, β, k и χ.
Ответ:
№39. Доказать, что ( τ, β,
dr
d 2r
d 3r
dk
2
n
τ
n + k χβ .
= τ,
=
k
,
=
−
k
+
ds
ds 2
ds 3
ds
dβ
)=χ.
ds
№40. Доказать, что если β = const, то кривая плоская.
№41. Доказать, что если соприкасающиеся плоскости кривой имеют один и тот же
наклон, то кривая плоская.
9