Лекция 31

Лекция 31
Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве
3.1. Плоскость в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно
данному вектору
Пусть в пространстве OXYZ даны точка M0(x0, y0, z0) и ненулевой вектор
n ( A; B; C ) . Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M0
перпендикулярно вектору.
Возьмем произвольную точку M ( x; y; z) на плоскости, тогда векторы n и M 0 M
взаимно перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю: (n, M o M ) 0 .
Отсюда получим уравнение
A( x
Вектор n
x0 ) B( y
y0 ) C ( z
z0 )
0.
( A; B; C ) называется нормальным вектором плоскости.
Общее уравнение плоскости
Общим уравнением плоскости называется уравнение первой степени относительно
переменных x, y и z :
Ax By Cz D 0 .
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Пусть в пространстве OXYZ даны
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
три точки M1 ( x1; y1; z1 ) , M 2 ( x2 ; y2 ; z21) и
, не лежащие на одной прямой. Возьмем произвольную точку M ( x; y; z) на
плоскости, тогда векторы M 1M , M 1M 2 и M1M 3 расположены в одной плоскости, они
компланарны и их смешанное произведение равно нулю: M1M M1M 2 M1M 3
0 . Отсюда
получим уравнение плоскости
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z2 z1
x3
y3
z3
x1
y1
0.
z1
Уравнение плоскости в отрезках
В пространстве OXYZ возьмем
M 3 (0;0; c)
три точки M1 (a;0;0) , M 2 (0; b;0) и
.
Подставим координаты этих точек в уравнение плоскости, проходящей через три данные
точки:
x a y z
a b 0
a
0 c
0.
Отсюда получим уравнение
bcx acy abz abc 0
или
x
a
y
b
z
c
1.
Нормальное уравнение плоскости
Уравнение
x cos
где
, ,
y cos
p 0,
z cos
- углы между нормальным вектором плоскости и координатными осями OX,
OY,OZ соответственно, p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на
плоскость, называется нормальным уравнением плоскости.
Чтобы привести общее уравнение плоскости
Ax By Cz D 0
к нормальному необходимо умножить его на множитель
1
A
2
B2
C2
,
где знак выбирается противоположным знаку коэффициента D.
3.2. Основные задачи в пространстве
Угол между плоскостями
В пространстве OXYZ заданы две плоскости
( A1; B1; C1 ) и n2
:
A1 x B1 y C1 z D1
0,
A2 x B2 y C2 z
0.
Угол между этими плоскостями равен углу
n1
и
D2
между их нормальными векторами
( A2 ; B2 ; C2 ) . Следовательно,
cos
A1 A2
2
1
A
2
1
B
B1 B2 C1C2
C12
A22
B22 C22
.
Из этой формулы следуют условия перпендикулярности и параллельности
плоскостей.
Если плоскости
векторы n1
и
( A1; B1; C1 ) и n2
перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные
( A2 ; B2 ; C2 ) . Значит, скалярное произведение n1 , n2
A1 A2 B1B2 C1C2 0 .
Это равенство есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух
плоскостей.
0 или
Если плоскости
n1 ( A1; B1; C1 ) и n2
пропорциональны:
и
параллельны, то параллельны и их нормальные вектора
( A2 ; B2 ; C2 ) . Следовательно, координаты этих векторов должны быть
A1 B1 C1
.
A2 B2 C2
Это равенство есть необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть в пространстве OXYZ заданы точка M 0( x0 , y0 , z0 ) и плоскость
Ax By Cz D 0 . Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле
Ax0 By 0 Cz 0 D
.
d
A2 B 2 C 2
►Пример 1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки
M 1 (1;1;1), M 2 (1;0;0) и M 3 (0;0;1) .
Пусть M ( x; y; z) - произвольная точка плоскости, тогда векторы M 1M ,
M 1M 2 и M1M 3 расположены в этой плоскости, они компланарны и их смешанное
произведение равно нулю: M1M M1M 2 M1M 3
0 . Отсюда получим уравнение плоскости
x 1 y 1 z 1
0
1
1
1
1
0
0
или
y z 1 0.
x
◄
►Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1 (1;0; 1), M 2 (0;1;1) ) и параллельной вектору s
(1;1;0) .
Если M ( x; y; z) - произвольная точка плоскости, то векторы M 1M , M 1M 2 и
s компланарны. Следовательно,
x 1 y
1 2
1
0
z 1
2
0
0
или
x
y z
0.
◄
►Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1 (0; 1;1) и
линию пресечения плоскостей x 2 y 3z 4
0и x
y 6z 8 0 .
Линия пересечения двух плоскостей - прямая. На этой прямой найдем две точки.
Для этого решим систему из двух уравнений:
x 2 y 3 z 4 0,
x y 6 z 8 0.
Для еѐ решения применим метод Гаусса:
1
2 3 4
1 1
6
8
~
1
2 3 4
0 3
9 12
~
1
2 3 4
0 1
3 4
.
Система имеет бесконечно много решений, еѐ общее решение:
x
3 p 4, y
3 p 4, z
p, p
R.
Два частных решения, две точки M 2 ( 4; 4;0) и M 3 ( 1; 1;1) .
Теперь необходимо записать уравнение плоскости, проходящей через три точки
M 1 (0; 1;1) , M 2 ( 4; 4;0) и M 3 ( 1; 1;1) :
x
4
1
y 1 z 1
3
1
0
0
0
или
y 3z 4 0 .
◄
3.3. Прямая в пространстве
Общее уравнение прямой
Прямую в пространстве можно определить как линию пересечения двух
непараллельных плоскостей. Пусть заданы две плоскости A1x B1 y C1z
A2 x B2 y C2 z
D2
D1
0и
0 . Если нормальные векторы этих плоскостей не коллинеарные, то
система
A1 x B1 y C1 z D1 0,
A2 x B2 y C 2 z D2 0
определяет прямую.
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Зададим прямую l в пространстве при помощи точки M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) этой прямой и
ненулевого вектора s (m; n; p ) параллельного прямой l. Эти условия однозначно
определяют прямую, так как через точку параллельно вектору можно провести только
одну прямую. Вектор s (m; n; p ) называется направляющим вектором прямой. Пусть
M ( x; y; z) - произвольная точка прямой l (см. рис. 1).
Z
M
l
M0
s
r
r0
O
Y
X
Рис. 1
Тогда вектор M 0M коллинеарен вектору s , следовательно,
M 0M
R.
t s, t
Три вектора r 0 , r и M 0M связаны соотношением
r
M 0M ,
r0
поэтому справедливо равенство
r r 0 t s, t R .
Полученное равенство называется векторным уравнение прямой. Здесь множитель t
может принимать любые числовые значения в зависимости от положения точки M на
прямой.
Если векторное равенство записать в координатной форме, то получим
параметрическое уравнение прямой:
x x0 mt ,
y y0 nt, t R,
z z0 pt,
где скалярный множитель t называется параметром.
Примеры
1. Написать уравнение прямой l, проходящей через точку M0(1,-1,2)
перпендикулярно плоскости 2x – 3y + z + 2 = 0.
Вектор n ( 2; 3;1) перпендикулярен данной плоскости и, значит, параллелен
прямой l. Теперь параметрическое уравнение прямой имеет вид
x
y
1 2t ,
1 3t ,
z
2 t.
2. Найти значения m, при которых прямая
x
1 mt ,
y
2 t,
z
t
лежит в плоскости 2x – y + z = 0.
Прямая лежит в плоскости, если координаты всех точек прямой удовлетворяют
уравнению плоскости. Отсюда следует, что после подстановки x, y и z из уравнения
прямой в уравнение данной плоскости, получим равенство
2 (1+mt)–(2–t)+t = 0,
которое должно выполняться при всех значениях t. Полученное равенство справедливо
при всех t только тогда, когда m =-1.
Коническое уравнение прямой
Пусть s
(m; n; p ) - направляющий вектор прямой и точка M 0 ( x0 ; y0 ; z 0 ) лежит на
этой прямой. Если M ( x; y; z) - произвольная точка прямой, то вектор MM 0 коллинеарен
вектору s и координаты этих векторов пропорциональны:
x x0
m
y
y0
z
n
z0
p
.
Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой.
Уравнение прямой проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через две точки M1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) . Тогда вектор
M 1M 2
x2
x1; y2
y1; z2
z1
возьмем в качестве направляющего вектора прямой и из канонического уравнения прямой
получим
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
.
z 2 z1
Это уравнение называется уравнением прямой проходящей через две точки.
Угол между двумя прямыми, условие параллельности и перпендикулярности
прямых
Две прямые заданы уравнениями
x x1
l1
y
y1
n1
z z1
x x2
и
p1
l2
y
y2
n2
z z2
.
p2
Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами s1
s2
(m2 ; n2 ; p 2 ) :
(m1; n1; p1 ) и
cos
m1m2
2
1
n1n2
2
1
m
2
1
n
p1 p2
2
2
p
n22
m
p22
Условие параллельности и перпендикулярности прямых равносильно коллинеарности и
перпендикулярности направляющих векторов этих прямых.
Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы
s1
(m1; n1; p1 ) и s 2
(m2 ; n2 ; p 2 ) . Значит, скалярное произведение
m1m2 n1n2 p1 p2 0 .
Если прямые параллельны, то параллельны и их нормальные вектора,
следовательно, координаты этих векторов должны быть пропорциональны:
m1 n1 p1
.
m2 n2 p2
3.4. Прямая и плоскость в пространстве
В пространстве заданы прямая и плоскость своими уравнениями
x x0
m
y
y0
z
z0
n
p
,
Ax By Cz D 0 .
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле
sin
Am Bn Cp
A2
B2
C2
m2
n2
p2
Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор
прямой s
(m; n; p ) и нормальный вектор плоскости n
A
B
m
n
( A; B; C ) коллинеарны, т.е.
C
p .
Прямая и плоскость параллельны, когда эти векторы перпендикулярны, т.е.
Am Bn Cp
0.
Точка пересечения прямой с плоскостью
Для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости необходимо решить
систему двух уравнений
x x0
m
y
y0
n
z
z0
p
Ax By Cz D 0 .
,
Уравнение прямой запишем в параметрическом виде:
x
x0
mt ,
y
y0
nt,
z
z0
pt.
После подстановки получим
A( x0
mt ) B( y0
nt) C ( z0
pt) D
0.
Отсюда
Ax0 By0 Cz0 D
.
Am Bn Cp
t
Далее необходимо вычислить координаты точки.
3.5. Поверхности второго порядка
Сфера
( x x1 ) 2
y1 ) 2
(y
( z z1 ) 2
R2 .
Цилиндрические поверхности
Поверхности, составленные из всех прямых, пересекающих данную
линию l и параллельных данной
прямой, называются цилиндрическими
поверхностями.
x2
a2
y2
b2
1
x2
a2
y2
b2
1 - гиперболический цилиндр
y2
2 px - параболический цилиндр
- эллиптический цилиндр
Конические поверхности
Поверхность составленная из всех прямых пересекающих данную
линию l , и проходящих через данную точку p , называются конической
поверхностью.
x2
Уравнение конической поверхности: 2
a
y2
b2
z2
c2
Эллипсоид
x2
a2
Гиперболоид
y2
b2
z2
c2
1 - эллипсоид
0.
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1 - однополостный гиперболоид
x2
a2
y2
b2
z2
c2
1 - двуполостный гиперболоид
Параболоид
2z
2z
x2
p
x2
p
y2
- эллиптический параболоид
q
y2
- гиперболический параболоид.
q